Poids de calage « optimaux » dans les cas de non-réponse des unités lors de l’échantillonnage d’enquête
Section 3. Une étude en simulation

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Les propriétés des estimateurs ont été étudiées au moyen d’une simulation Monte Carlo. Nous nous sommes servis d’une population authentique, appelée KYBOK, composée de $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 832}$ municipalités administratives en Suède en 1992. (Cette population a également été utilisée à des fins de simulation dans Särndal et Lundström (2005) et Andersson et Särndal (2016).)

La variable à l’étude $y_k$ est celle des « dépenses d’administration et d’entretien » $(t_y\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}023983).$ La population se divise en quatre groupes pour ce qui est de la taille, du plus petit au plus grand. La taille des groupes est $N_1\mathrm{<mo>=</mo>\; 218},$ $N_2\mathrm{<mo>=</mo>\; 272},$ $N_3\mathrm{<mo>=</mo>\; 290}$ et $N_4\mathrm{<mo>=</mo>\; 52.}$ Le vecteur marqué d’un cercle est $x_k^o={\left(x_{1k}^o\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{4k}^o\right)}^{\prime },$ où $x_{ik}^o\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ si l’unité $k$ fait partie du groupe de population $i$ et, autrement, 0, $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}4.$ La variable quantitative marquée d’un astérisque $x_k^{*}$ est la racine carrée des « recettes facturées par anticipation », dont la corrélation avec $y_k$ est fortement positive.

La taille de l’échantillon/taille de l’échantillon prévue était de 300 et nous avons utilisé la probabilité de réponse exponentielle

$${\theta }_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}-\text{exp}\left(-c\cdot x_k^{*}\right)\mathrm{,}k\in U\mathrm{,}(3.1)$$

où $c$ est retenu en fonction de la probabilité de réponse moyenne souhaitée; dans cette étude, elle variait entre 0,60 et 0,86 (la dernière valeur étant la probabilité de réponse retenue, par exemple, dans Särndal et Lundström (2005)). Deux plans d’échantillonnage ont été envisagés séparément : l’échantillonnage aléatoire simple et l’échantillonnage de Poisson. Dans le dernier cas, ${\pi }_k\propto x_k^{*}.$ Pour chaque combinaison du plan, taille de l’échantillon/taille de l’échantillon prévue et probabilité de réponse moyenne, 10 000 échantillons ont été produits. Pour cet échantillon $s,$ un ensemble de réponses $r$ a été créé à l’aide de schémas indépendants de Bernoulli, avec une probabilité ${\theta }_k$ de succès, $k\in s.$

Les estimateurs qui nous intéressent surtout sont ${\widehat{t}}_{y\text{cal}},$ ${\widehat{t}}_{y\text{opt}}$ et ${\widehat{t}}_{y\text{optm}},$ mais dans cette étude en simulation, nous inclurons aussi un exemple de modélisation de la propension paramétrique reposant sur ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}.$ Un choix simple est le modèle logistique (logit)

$${\theta }_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\text{exp}\left(x^{\prime }B\right)}{1+\text{exp}\left(x^{\prime }B\right)}\mathrm{,}(3.2)$$

où nous supposons que $x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\left(1x^{*}\right).$ Pour chaque échantillon accompagné de la non-réponse observée, une estimation du maximum de vraisemblance a permis d’obtenir $\widehat{B},$ ce qui donne des estimations ${\left(\widehat{\theta }\right)}_{k\in r}.$ Pour obtenir ${\widehat{t}}_{y\text{cal}\text{logit}},$ les poids déterminés par le plan d’échantillonnage $d_k$ sont alors remplacés par $d_k\left(1/{\widehat{\theta }}_k\right)$ avant le calage. Il y a une erreur de spécification dans le modèle logit (3.2) puisque la vraie probabilité de réponse est déterminée par (3.1).

Un estimateur arbitraire ${\widehat{t}}_y$ est déterminé au moyen du biais empirique (estimé à l’aide d’une simulation) $\left(\widehat{B}\right),$ de la variance $\left(\widehat{V}\right)$ et de l’erreur quadratique moyenne $\left(\widehat{\text{EQM}}\right)$

$$\widehat{B}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{E}\left({\widehat{t}}_y\right)-t_y\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{K}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K}{\widehat{t}}_{yj}-t_y$$

$$\widehat{V}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{K}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K}{\left({\widehat{t}}_{yj}-\widehat{E}\left({\widehat{t}}_y\right)\right)}^2$$

$$\widehat{\text{EQM}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{B}}^2+\widehat{V}\mathrm{,}$$

où $K\mathrm{<mo>=</mo>\; 10}000.$

À noter que des expressions telles que « le biais a augmenté » devraient être interprétées dans ce qui suit comme une augmentation du biais en valeur absolue.

3.1  Résultats

Puisqu’il s’agit d’un point de repère pour une étude dans laquelle les renseignements auxiliaires ne sont pas utilisés à l’étape du plan, examinons d’abord les résultats de l’échantillonnage aléatoire simple au tableau 3.1. Dans ce cas, ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{t}}_{y\text{opt}}.$ (En réalité, pour obtenir l’égalité, les renseignements « marqués d’un astérisque » sont $x_k^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\mathrm{1,}{x}_k^{*}\right)}^{\prime }$ pour ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}.)$ Comme il est établi dans l’ensemble de cette étude, le biais de ${\widehat{t}}_{y\text{cal}\text{logit}}$ est bien plus important que le biais de ${\widehat{t}}_{y\text{cal}},$ qui est un effet naturel de l’élaboration de ${\widehat{t}}_{y\text{cal}\text{logit}}$ reposant sur un modèle de non-réponse non spécifié. De plus, parmi ces deux estimateurs, ${\widehat{t}}_{y\text{cal}\text{logit}}$ comporte toujours la plus grande variance.

Si nous examinons plutôt les résultats de l’échantillonnage de Poisson au tableau 3.2, nous pouvons d’abord observer que, pour ${\widehat{t}}_{y\text{cal}},$ le biais et la variance sont plus importants que lors de l’échantillonnage aléatoire simple. Par contre, ${\widehat{t}}_{y\text{opt}}$ a un biais très réduit lors de l’échantillonnage de Poisson comparativement à l’échantillonnage aléatoire simple, alors qu’il y a une légère augmentation de la variance. Ensuite, si nous nous tournons vers l’estimateur modifié proposé ${\widehat{t}}_{y\text{optm}},$ nous constatons une autre réduction du biais, sauf pour ${\overline{\theta }}_U\mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,86}\text{.}$ En fait, le biais a un comportement monotone et le signe passe de positif à négatif pour ${\overline{\theta }}_U\approx \text{0,64}.$ Toutefois, comparativement à ${\widehat{t}}_{y\text{opt}},$ la variance de ${\widehat{t}}_{y\text{optm}}$ augmente en raison de l’inclusion de ${\widehat{\overline{\theta }}}_U$ dans (2.4), ce qui donne un compromis entre le biais et la variance. En outre, nous constatons que, parmi ces deux estimateurs, ${\widehat{t}}_{y\text{optm}}$ présente les valeurs de l’EQM les plus grandes, puisque la majeure partie de l’EQM est la variance pour ces bas niveaux de biais.

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