Un algorithme d’optimisation appliqué au problème de stratification unidimensionnelle
Section 4. Algorithme génétique biaisé à clés aléatoires

Table des matières

L’algorithme génétique biaisé à clés aléatoires (appelé BRKGA dans la suite de notre exposé), que proposent Gonçalves et Resende (2011), est une méthode métaheuristique qui a été appliquée à plusieurs problèmes d’optimisation. Voir Festa (2013) et Oliveira et coll. (2017), par exemple. Le principe sous-tendant cette méthode rappelle la théorie biologique de l’évolution des espèces.

L’algorithme prend une « population » initiale de solutions possibles au problème cible, laquelle vient d’un mécanisme aléatoire spécifié. Cette population évolue ensuite au gré des itérations en conservant les meilleures solutions disponibles à chaque itération (solutions retenues) et en remplaçant les solutions non retenues par des solutions produites par perturbation aléatoire et évoquant les croisements et les mutations des populations naturelles. Au fil des itérations, les solutions sont conservées ou évoluent selon la valeur de la fonction à optimiser.

Dans l’algorithme BRKGA, les solutions candidates sont codées, c’est-à-dire sont représentées par des vecteurs dont les éléments sont des nombres dans l’intervalle ( 0 ;   1 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaqadaqaaiaaicdacaGG7aGaaGjbVl aaigdaaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@37B7@ Avec un vecteur observé, une procédure de décodage doit être appliquée. Cette procédure fait correspondre la valeur d’un vecteur à une solution possible du problème d’optimisation cible. C’est ce qui relie l’algorithme au problème d’optimisation précis à traiter. La figure 4.1 présente le pseudocode d’un algorithme BRKGA générique.

La démarche est décrite et illustrée en détail à la section 4.1 avec un exemple de problème de stratification unidimensionnelle et une description de toutes les étapes à la figure 4.1.

Figure 4.1 Pseudocode pour un algorithme BRKGA

Description de la figure 4.1 

Figure présentant le pseudo-code pour un algorithme BRKGA.

  1. On génère la population initiale composée de p MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCaaaa@369A@ vecteurs aléatoires (clés) v , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCODaiaacY caaaa@3754@ où chaque valeur est tirée aléatoirement de la distribution uniforme [ 0 ;   1 ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaamWaaeaaca aIWaGaai4oaiaaysW7caaIXaaacaGLBbGaayzxaaGaaiOlaaaa@3C0A@
  2. On applique la procédure de décodage à chaque vecteur v MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCODaaaa@36A4@ de la population, ce qui donne p MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCaaaa@369A@ solutions possibles du problème d’optimisation.
  3. On calcule la valeur de la fonction objective pour chaque solution dans la population.
  4. On choisit les p e ( 1 < p e < p ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCamaaBa aaleaacaWGLbaabeaakmaabmaabaGaaGymaiabgYda8iaadchadaWg aaWcbaGaamyzaaqabaGccqGH8aapcaWGWbaacaGLOaGaayzkaaaaaa@3F10@ meilleures solutions (appelées solutions retenues) selon les valeurs de la fonction objective et les ajoute à la population à considérer à l’itération suivante.
  5. On génère p m ( 1 < p m < p ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCamaaBa aaleaacaWGTbaabeaakmaabmaabaGaaGymaiabgYda8iaadchadaWg aaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH8aapcaWGWbaacaGLOaGaayzkaaaaaa@3F20@ nouveaux vecteurs aléatoires comme à l’étape 1), ce qu’on appelle les mutations, et les ajoute à la population à considérer à l’itération suivante.
  6. On génère les ( p − p e − p m ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaaca WGWbGaeyOeI0IaamiCamaaBaaaleaacaWGLbaabeaakiabgkHiTiaa dchadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaaakiaawIcacaGLPaaaaaa@3E2F@ vecteurs restants appelés croisements pour compléter la population qui sera considérée à l’itération suivante, et ce, en croisant un des p e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCamaaBa aaleaacaWGLbaabeaaaaa@37B0@ vecteurs d’une solution retenue avec un des ( p − p e ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaaca WGWbGaeyOeI0IaamiCamaaBaaaleaacaWGLbaabeaaaOGaayjkaiaa wMcaaaaa@3B25@ vecteurs d’une des solutions non retenues à la présente itération.
  7. On fait des itérations à partir de l’étape 2) tant que les critères d’arrêt ne sont pas remplis.

4.1 Algorithme BRKGA pour le problème de stratification unidimensionnelle

On considère d’abord le vecteur de population X U = { x 1 ,   x 2 ,   … ,   x N } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGybWaaSbaaSqaaiaadwfaaeqaaO Gaeyypa0ZaaiWaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiil aiaaysW7caWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiilaiaaysW7cq WIMaYscaGGSaGaaGjbVlaadIhadaWgaaWcbaGaamOtaaqabaaakiaa wUhacaGL9baaaaa@449B@ et calcule l’ensemble C = { c 1 ,   c 2 ,   … ,   c K } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGdbGaeyypa0ZaaiWaaeaacaWGJb WaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiaaysW7caWGJbWaaSbaaSqa aiaaikdaaeqaaOGaaiilaiaaysW7cqWIMaYscaGGSaGaaGjbVlaado gadaWgaaWcbaGaam4saaqabaaakiaawUhacaGL9baaaaa@4334@ contenant les K MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGlbaaaa@328B@ valeurs distinctes de x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4baaaa@32B8@ observées dans la population. Si X U = { 1 ,   3 ,   3 ,   5 ,   6 ,   7 ,   7 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   10 ,   11 } , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGybWaaSbaaSqaaiaadwfaaeqaaO Gaeyypa0ZaaiWaaeaacaaIXaGaaiilaiaaysW7caaIZaGaaiilaiaa ysW7caaIZaGaaiilaiaaysW7caaI1aGaaiilaiaaysW7caaI2aGaai ilaiaaysW7caaI3aGaaiilaiaaysW7caaI3aGaaiilaiaaysW7caaI 3aGaaiilaiaaysW7caaI4aGaaiilaiaaysW7caaI5aGaaiilaiaays W7caaIXaGaaGimaiaacYcacaaMe8UaaGymaiaaicdacaGGSaGaaGjb VlaaigdacaaIXaaacaGL7bGaayzFaaGaaiilaaaa@5E47@ par exemple, C = { 1 ,   3 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGdbGaeyypa0ZaaiWaaeaacaaIXa GaaiilaiaaysW7caaIZaGaaiilaiaaysW7caaI1aGaaiilaiaaysW7 caaI2aGaaiilaiaaysW7caaI3aGaaiilaiaaysW7caaI4aGaaiilai aaysW7caaI5aGaaiilaiaaysW7caaIXaGaaGimaiaacYcacaaMe8Ua aGymaiaaigdaaiaawUhacaGL9baacaGGUaaaaa@507C@ Si K > 100 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGlbGaeyOpa4JaaGymaiaaicdaca aIWaGaaiilaaaa@3672@ nous calculons les dix percentiles supérieurs de x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4baaaa@32B8@ pour dégager l’ensemble Q = { q 90 ,   q 91 ,   … ,   q 99 ,   q 100 } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGrbGaeyypa0ZaaiWaaeaacaWGXb WaaSbaaSqaaiaaiMdacaaIWaaabeaakiaacYcacaaMe8UaamyCamaa BaaaleaacaaI5aGaaGymaaqabaGccaGGSaGaaGjbVlablAciljaacY cacaaMe8UaamyCamaaBaaaleaacaaI5aGaaGyoaaqabaGccaGGSaGa aGjbVlaadghadaWgaaWcbaGaaGymaiaaicdacaaIWaaabeaaaOGaay 5Eaiaaw2haaiaac6caaaa@4BF0@ Si K ≤ 100 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGlbGaeyizImQaaGymaiaaicdaca aIWaGaaiilaaaa@371F@ nous calculons les percentiles choisis de x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4baaaa@32B8@ pour dégager l’ensemble Q = { q 5 ,   q 10 ,   … ,   q 95 ,   q 100 } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGrbGaeyypa0ZaaiWaaeaacaWGXb WaaSbaaSqaaiaaiwdaaeqaaOGaaiilaiaaysW7caWGXbWaaSbaaSqa aiaaigdacaaIWaaabeaakiaacYcacaaMe8UaeSOjGSKaaiilaiaays W7caWGXbWaaSbaaSqaaiaaiMdacaaI1aaabeaakiaacYcacaaMe8Ua amyCamaaBaaaleaacaaIXaGaaGimaiaaicdaaeqaaaGccaGL7bGaay zFaaGaaiOlaaaa@4B25@ Nous avons retenu le point de démarcation de 100 pour K MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGlbaaaa@328B@ après une certaine expérimentation initiale de notre méthode avec quelques-unes des populations considérées dans l’expérience numérique que nous décrivons à la section 5. Les définitions autres de l’ensemble Q MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGrbaaaa@3291@ aident à diversifier le jeu de solutions possibles issu de l’algorithme BRKGA.

Dans l’application de l’algorithme au problème de stratification unidimensionnelle, chaque solution est représentée par un vecteur v = { v 1 ,   … ,   v H } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bGaeyypa0ZaaiWaaeaacaWG2b WaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiaaysW7cqWIMaYscaGGSaGa aGjbVlaadAhadaWgaaWcbaGaamisaaqabaaakiaawUhacaGL9baaaa a@3F77@ à H MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibaaaa@3288@ positions où les H − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibGaeyOeI0IaaGymaaaa@3430@ premières positions contiennent des valeurs entre 0 et 1 et où la position H MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibaaaa@3288@ reçoit la valeur d’un percentile de la distribution de la variable de stratification x . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4bGaaiOlaaaa@336A@

Nous prenons ensuite x min MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiGac2gacaGGPb GaaiOBaaqabaaaaa@35B6@ comme valeur la plus petite de C MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGdbaaaa@3283@ et v H MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaadIeaaeqaaa aa@33AF@ comme élément choisi au hasard dans Q . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGrbGaaiOlaaaa@3343@ À la première itération, nous tirons les valeurs des H − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibGaeyOeI0IaaGymaaaa@3430@ premières positions de chaque vecteur v MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2baaaa@32BA@ indépendamment de la distribution uniforme [ 0 ;   1 ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaWadaqaaiaaicdacaGG7aGaaGjbVl aaigdaaiaawUfacaGLDbaacaGGUaaaaa@3820@

La procédure de décodage permettant de dégager de chaque vecteur v MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2baaaa@32BA@ généré une solution du problème de stratification unidimensionnelle se définit ainsi :

b h = x min + v h ( v H − x min )     pour     h = 1 ,   … ,   H − 1.           ( 4.1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaadIgaaeqaaO Gaeyypa0JaamiEamaaBaaaleaaciGGTbGaaiyAaiaac6gaaeqaaOGa ey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaWGObaabeaakmaabmaabaGaamODam aaBaaaleaacaWGibaabeaakiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaciyB aiaacMgacaGGUbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiaaysW7caaMe8Uaae iCaiaab+gacaqG1bGaaeOCaiaaysW7caaMe8UaamiAaiabg2da9iaa igdacaGGSaGaaGjbVlablAciljaacYcacaaMe8UaamisaiabgkHiTi aaigdacaGGUaGaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaGzbVlaaywW7caGGOaGa aGinaiaac6cacaaIXaGaaiykaaaa@6509@

Une fois obtenues les H − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibGaeyOeI0IaaGymaaaa@3430@ premières valeurs pour b h , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaadIgaaeqaaO Gaaiilaaaa@3475@ celles-ci doivent être mises par ordre croissant de sorte que les éléments du vecteur résultant b = ( b ( 1 ) ,   b ( 2 ) ,   … ,   b ( H − 1 ) ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWHIbGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWGIb WaaSbaaSqaamaabmaabaGaaGymaaGaayjkaiaawMcaaaqabaGccaGG SaGaaGjbVlaadkgadaWgaaWcbaWaaeWaaeaacaaIYaaacaGLOaGaay zkaaaabeaakiaacYcacaaMe8UaeSOjGSKaaiilaiaaysW7caWGIbWa aSbaaSqaamaabmaabaGaamisaiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGLPa aaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaa@48EC@ forment les bornes de solution pour le vecteur v MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2baaaa@32BA@ correspondant, b ( h ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaamaabmaabaGaam iAaaGaayjkaiaawMcaaaqabaaaaa@3544@ étant la statistique de h e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGObWaaWbaaSqabeaacaqGLbaaaa aa@33BD@ ordre des valeurs b 1 ,   … ,   b H − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaO GaaiilaiaaysW7cqWIMaYscaGGSaGaaGjbVlaadkgadaWgaaWcbaGa amisaiabgkHiTiaaigdaaeqaaaaa@3CB7@ calculées en (4.1).

Pour citer un exemple de décodage, supposons que H = 4 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibGaeyypa0JaaGinaiaacYcaaa a@34FC@ x min = 10 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiGac2gacaGGPb GaaiOBaaqabaGccqGH9aqpcaaIXaGaaGimaiaacYcaaaa@38EB@ K = 300 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGlbGaeyypa0JaaG4maiaaicdaca aIWaGaaiilaaaa@3672@ Q = { 200 ;   215 ;   280,5;   300 ;   318 ;   400 ;   425 ;   478 ;   500 ;   510 } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGrbGaeyypa0ZaaiWaaeaacaaIYa GaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaikdacaaIXaGaaGynaiaacUda caaMe8UaaeOmaiaabIdacaqGWaGaaeilaiaabwdacaqG7aGaaGjbVl aaiodacaaIWaGaaGimaiaacUdacaaMe8UaaG4maiaaigdacaaI4aGa ai4oaiaaysW7caaI0aGaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaisdaca aIYaGaaGynaiaacUdacaaMe8UaaGinaiaaiEdacaaI4aGaai4oaiaa ysW7caaI1aGaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaiwdacaaIXaGaaG imaaGaay5Eaiaaw2haaiaac6caaaa@6293@ Considérons aussi le vecteur v = ( 0,48;   0,35;   0,20 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bGaeyypa0ZaaeWaaeaacaqGWa GaaeilaiaabsdacaqG4aGaae4oaiaaysW7caqGWaGaaeilaiaaboda caqG1aGaae4oaiaaysW7caqGWaGaaeilaiaabkdacaqGWaaacaGLOa Gaayzkaaaaaa@424D@ généré comme nous l’avons décrit. Il s’ensuit que b 1 = 10 + 0,48 × ( 200 − 10 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaO Gaeyypa0JaaGymaiaaicdacqGHRaWkcaqGWaGaaeilaiaabsdacaqG 4aGaey41aq7aaeWaaeaacaqGYaGaaeimaiaabcdacqGHsislcaqGXa GaaeimaaGaayjkaiaawMcaaaaa@41D3@ que b 2 = 10 + 0,35 × ( 200 − 10 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaO Gaeyypa0JaaGymaiaaicdacqGHRaWkcaqGWaGaaeilaiaabodacaqG 1aGaey41aq7aaeWaaeaacaqGYaGaaeimaiaabcdacqGHsislcaqGXa GaaeimaaGaayjkaiaawMcaaaaa@41D0@ et que b 3 = 10 + 0,20 × ( 200 − 10 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaO Gaeyypa0JaaGymaiaaicdacqGHRaWkcaqGWaGaaeilaiaabkdacaqG WaGaey41aq7aaeWaaeaacaqGYaGaaeimaiaabcdacqGHsislcaqGXa GaaeimaaGaayjkaiaawMcaaiaac6caaaa@427D@ Après tri, on obtient alors b = ( 48;   76,5;   101,2 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWHIbGaeyypa0ZaaeWaaeaacaqG0a GaaeioaiaabUdacaaMe8Uaae4naiaabAdacaqGSaGaaeynaiaabUda caaMe8UaaeymaiaabcdacaqGXaGaaeilaiaabkdaaiaawIcacaGLPa aacaGGUaaaaa@4248@

Le vecteur b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWHIbaaaa@32A6@ étant donné, les valeurs de N h MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGobWaaSbaaSqaaiaadIgaaeqaaa aa@33A7@ et S h x 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGtbWaa0baaSqaaiaadIgacaWG4b aabaGaaGOmaaaaaaa@3566@ s’obtiennent facilement pour chacune des H MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibaaaa@3288@ strates. Nous dégageons les valeurs des tailles d’échantillon n h MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGUbWaaSbaaSqaaiaadIgaaeqaaa aa@33C7@ pour les diverses strates en appliquant la méthode de répartition optimale proposée par de Moura Brito et coll. (2015). Nous calculons ainsi les tailles d’échantillon n h MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGUbWaaSbaaSqaaiaadIgaaeqaaa aa@33C7@ de manière à minimiser une somme pondérée des variances (ou des CV) des estimateurs des totaux de m MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGTbaaaa@32AD@ variables d’enquête, la taille totale d’échantillon n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGUbaaaa@32AE@ étant fixe.

Comme nous prenons ici comme cible de la minimisation la variance de l’estimateur pour le total de la variable de stratification x , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4bGaaiilaaaa@3368@ nous posons m = 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGTbGaeyypa0JaaGymaaaa@346E@ et utilisons la formulation (D) qui vient de de Moura Brito et coll. (2015) pour résoudre le problème de répartition optimale unidimensionnelle avec l’équation (2.6) comme variance à minimiser. À noter que cette méthode donne l’optimum global pour le problème de répartition.

Nous poursuivons avec l’algorithme selon la figure 4.1 en générant un ensemble initial de p MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbaaaa@32B0@ vecteurs v . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bGaaiOlaaaa@336C@ À l’étape 2, nous décodons chacun de ces vecteurs v MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2baaaa@32BA@ pour dégager une solution possible b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWHIbaaaa@32A6@ du problème de stratification optimale. À l’étape 3, nous obtenons la répartition optimale correspondant à b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWHIbaaaa@32A6@ et calculons la valeur de la fonction objective. Nous exécutons ensuite les étapes 4 à 6 pour trouver la population suivante de solutions possibles et reprenons la procédure jusqu’à ce que les critères d’arrêt soient remplis. À l’étape 4, nous dégageons les p e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaa aa@33C6@ solutions retenues et les ajoutons à la population suivante. À l’étape 5, nous produisons p m MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaa aa@33CE@ mutations et les ajoutons à la population suivante. À l’étape 6, nous produisons ( p − p e − p m ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaqadaqaaiaadchacqGHsislcaWGWb WaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaOGaeyOeI0IaamiCamaaBaaaleaacaWG TbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa@3A45@ croisements à l’aide de l’opérateur de « croisement uniforme » proposé par Spears et De Jong (1991) pour tirer un nouveau vecteur v MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2baaaa@32BA@ d’une des p e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaa aa@33C6@ solutions retenues et d’une des ( p − p e − p m ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaqadaqaaiaadchacqGHsislcaWGWb WaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaOGaeyOeI0IaamiCamaaBaaaleaacaWG TbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa@3A45@ solutions non retenues actuelles. Nous procédons ainsi : une fois choisis les deux vecteurs ( v e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaGGOaGaaCODamaaBaaaleaacaWGLb aabeaaaaa@347C@ et v n ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaO Gaaiykaaaa@3490@ à croiser, nous générons un vecteur auxiliaire à clés aléatoires ( v a ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaqadaqaaiaahAhadaWgaaWcbaGaam yyaaqabaaakiaawIcacaGLPaaaaaa@355F@ avec des tirages indépendants de la distribution uniforme [ 0 ;   1 ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaWadaqaaiaaicdacaGG7aGaaGjbVl aaigdaaiaawUfacaGLDbaacaGGUaaaaa@3820@ Soit r c > 0,5 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaO GaeyOpa4JaaeimaiaabYcacaqG1aaaaa@36F2@ une probabilité préspécifiée qu’une valeur soit copiée du vecteur retenu v e . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaO GaaiOlaaaa@348C@ Nous formons alors le vecteur croisé v c MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaa aa@33CE@ en en tirant les valeurs de v e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaa aa@33D0@ aux positions où la valeur correspondante dans v a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bWaaSbaaSqaaiaadggaaeqaaa aa@33CC@ est moindre que r c MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaa aa@33C6@ (ce qui équivaut à 0,7 dans l’exemple de la figure 4.2) et de v n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWH2bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaa aa@33D9@ à toutes les autres positions.

Pour produire chacun des ( p − p e − p m ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaadaqadaqaaiaadchacqGHsislcaWGWb WaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaOGaeyOeI0IaamiCamaaBaaaleaacaWG TbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa@3A45@ vecteurs de la génération suivante, l’algorithme choisit un vecteur v e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaa aa@33CC@ au hasard (par la fonction d’échantillon en R ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaqGsbGaaiykaaaa@333D@ dans les p e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaa aa@33C6@ vecteurs retenus et un autre vecteur v n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaa aa@33D5@ dans les p − p e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbGaeyOeI0IaamiCamaaBaaale aacaWGLbaabeaaaaa@35A8@ vecteurs non retenus et il croise les vecteurs ainsi obtenus. La sélection des vecteurs à partir des deux sous-ensembles se fait avec remise, ce qui implique que, individuellement, des vecteurs retenus ou non retenus peuvent être sélectionnés pour être croisés plus d’une fois.

Figure 4.2 Croisement uniforme avec rc=0,7

Description de la figure 4.2 

Tableau présentant le croisement uniforme avec r c = 0,7 . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCamaaBa aaleaacaWGJbaabeaakiabg2da9iaabcdacaqGSaGaae4naiaac6ca aaa@3B8E@

Tableau
Figure 4.2
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Figure 4.2. Les données sont présentées selon Vecteurs\positions (titres de rangée) et 1, 2 et 3(figurant comme en-tête de colonne).
Vecteurs\positions 1 2 3
v e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCODamaaBa aaleaaieWacaWFLbaabeaaaaa@37C2@ 0,31 0,77 0,65
v n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCODamaaBa aaleaaieWacaWFUbaabeaaaaa@37CB@ 0,26 0,18 0,36
v a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCODamaaBa aaleaaieWacaWFHbaabeaaaaa@37BE@ 0,58 0,89 0,11
v c MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpu0dc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaG+aOpa6d8 qacaWH2bWaaSbaaSqaaGqadiaa=ngaaeqaaaaa@3AA1@ 0,31 0,18 0,65

Prenons maintenant un exemple avec H = 4 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGibGaeyypa0JaaGinaiaacYcaaa a@34FC@ x min = 10 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiGac2gacaGGPb GaaiOBaaqabaGccqGH9aqpcaaIXaGaaGimaiaacYcaaaa@38EB@ K = 300 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGlbGaeyypa0JaaG4maiaaicdaca aIWaGaaiilaaaa@3672@ p = 8 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbGaeyypa0JaaGioaiaacYcaaa a@3528@ p e = 3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbWaaSbaaSqaaiaadwgaaeqaaO Gaeyypa0JaaG4maiaacYcaaaa@3643@ p m = 3 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGWbWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaO Gaeyypa0JaaG4maiaacYcaaaa@364B@ r c = 0,7 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaO Gaeyypa0JaaeimaiaabYcacaqG3aaaaa@36F2@ et Q = { 200 ;   215 ;   280,5;   300 ;   318 ;   400 ;   425 ;   478 ;   500 ;   510 } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9y8WrFj0xc9vqFj0db9qqvqFr0dXdHiVc=b YP0xH8peeu0xXdcrpe0db9Wqpepec9ar=xfr=xfr=tmeaabaqaciGa caGaaeqabaqaaeaadaaakeaacaWGrbGaeyypa0ZaaiWaaeaacaaIYa GaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaikdacaaIXaGaaGynaiaacUda caaMe8UaaeOmaiaabIdacaqGWaGaaeilaiaabwdacaqG7aGaaGjbVl aaiodacaaIWaGaaGimaiaacUdacaaMe8UaaG4maiaaigdacaaI4aGa ai4oaiaaysW7caaI0aGaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaisdaca aIYaGaaGynaiaacUdacaaMe8UaaGinaiaaiEdacaaI4aGaai4oaiaa ysW7caaI1aGaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaiwdacaaIXaGaaG imaaGaay5Eaiaaw2haaiaac6caaaa@6293@ La figure 4.3 illustre l’application de toutes les étapes de l’algorithme au problème de stratification unidimensionnelle pour deux itérations consécutives de cet algorithme.

Nous avons mis en œuvre dans le package stratbr en R disponible à partir de CRAN (voir de Moura Brito et coll., 2017a) l’approche BRKGA ici décrite du problème de stratification optimale unidimensionnelle. Le package a permis d’obtenir tous les résultats présentés à la section 5.

Figure 4.3 Illustration de la méthode BRKGA de stratification optimale

Description de la figure 4.3 

Diagramme illustrant l’application de toutes les étapes de l’algorithme BRKGA au problème de stratification unidimensionnelle pour deux itérations consécutives de cet algorithme. Les étapes sont la génération de la population initiale, le décodage, le calcul de la fonction objective, l’ordre, la production des solutions retenues et non retenues, la génération des mutations et des croisements, la production de la nouvelle population et ensuite, on itère à nouveau à partir de l’étape de décodage jusqu’à ce qu’on atteigne le critère d’arrêt.

Renseignements supplémentaires

ISSN : 1712-5685

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Le succès du système statistique du Canada repose sur un partenariat bien établi entre Statistique Canada et la population, les entreprises, les administrations canadiennes et les autres organismes. Sans cette collaboration et cette bonne volonté, il serait impossible de produire des statistiques précises et actuelles.

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Statistique Canada s'engage à fournir à ses clients des services rapides, fiables et courtois. À cet égard, notre organisme s'est doté de normes de service à la clientèle qui doivent être observées par les employés lorsqu'ils offrent des services à la clientèle.

Droit d'auteur

Publication autorisée par le ministre responsable de Statistique Canada.

© Sa Majesté la Reine du chef du Canada, représentée par le ministre de l’Industrie 2019

L'utilisation de la présente publication est assujettie aux modalités de l'Entente de licence ouverte de Statistique Canada.

N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : semi-annuel

Ottawa

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Table des matières

Résumé - Page principale de l'article
Section 1. Introduction
Section 2. Échantillonnage stratifié
Section 3. Le problème de stratification unidimensionnelle
Section 4. Algorithme génétique biaisé à clés aléatoires
Section 5. Résultats du calcul
Section 6. Conclusions
Annexe A
Bibliographie

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