Un algorithme d’optimisation appliqué au problème de stratification unidimensionnelle
Section 2. Échantillonnage stratifié

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Dans un échantillonnage stratifié, la première étape consiste à répartir les éléments de la population cible entre des sous-groupes bien définis, de préférence homogènes, mutuellement exclusifs et exhaustifs appelés strates. Chaque élément (unité) de la population est visé par l’enquête et fournit l’information recherchée. Les unités d’enquête peuvent être les ménages, les particuliers, les exploitations agricoles, les établissements et entreprises de commerce, etc.

On recommande de stratifier l’échantillon pour plusieurs raisons :

• on peut accroître la précision des estimations de population dans l’ensemble à un coût total fixe;
• on peut contrôler les tailles d’échantillon et la précision des estimations des strates, s’il y a lieu;
• on peut favoriser un équilibre de la charge de travail;
• on peut répartir les frais de déplacement entre les éléments d’enquête, si la stratification comporte une dimension géographique.

Lorsque la formation des strates est telle que la variabilité intrastrate est légère pour un jeu clé de variables, la stratification est jugée efficace, car elle mène à une meilleure précision des estimations par rapport aux autres plans de stratification.

La figure 2.1 présente la notation de base de notre exposé. Dans un échantillonnage stratifié, la population $U$ se répartit en $H>1$ sous-populations non vides appelées strates (Lohr, 2010), d’une taille $N_1,N_2,\dots ,N_h,\dots ,N_H.$ Ces sous-populations ne se recouvrent pas et leur réunion forme la population entière :

$$N_1+N_2+\dots +N_H=N.(2.1)$$

Cochran (1977) énumère les facteurs influant sur l’efficacité d’un plan d’échantillonnage stratifié: choix de la (des) variable(s) de stratification; nombre de strates $\left(H\right);$ délimitation des strates; taille totale de l’échantillon $\left(n\right);$ répartition de l’échantillon total entre les strates; mode de sélection dans l’échantillonnage intrastrate. On définit les strates à l’aide d’une ou de plusieurs variables dont les valeurs sont connues pour chaque élément de la population. Dans la séquence, il y a sélection indépendante dans l’échantillonnage de chacune des $H$ strates. Les tailles d’échantillon des strates sont telles que $n_1+n_2+\dots +n_H=n.$

Il y a échantillonnage aléatoire simple stratifié (EASS) là où l’échantillonnage intrastrate se fait par sélection aléatoire simple sans remise. C’est le cas où l’estimateur de Horvitz-Thompson (HT) du total de la population (dans l’ensemble) $Y={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{Y}_h}$ est donné par Cochran (1977) sous la forme suivante :

$${\widehat{Y}}_{\text{EASS}}={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h{\overline{y}}_h}(2.2)$$

où ${\overline{y}}_h={\displaystyle {\sum }_{i\in s_h}{y}_i/n_h}$ est la moyenne d’échantillon des éléments échantillonnés dans la strate $h.$

La variance d’échantillonnage (var) et le coefficient de variation (CV) de l’estimateur ${\widehat{Y}}_{\text{EASS}}$ se formulent respectivement ainsi :

$$\text{Var}\left({\widehat{Y}}_{\text{EASS}}\right)={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h\left(N_h-n_h\right)S_{hy}^2/n_h}(2.3)$$

$$\text{CV}\left({\widehat{Y}}_{\text{EASS}}\right)=\sqrt{\text{Var}\left({\widehat{Y}}_{\text{EASS}}\right)}/Y(2.4)$$

où $S_{hy}^2={\displaystyle {\sum }_{i\in U_h}{\left(y_i-{\overline{Y}}_h\right)}^2/\left(N_h-1\right)}$ est la variance de population de la variable d’enquête $y$ dans la strate  $h.$

On définit des quantités analogues de l’estimateur HT pour le total $X={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{X}_h}$ de la variable de stratification $x:$

$${\widehat{X}}_{\text{EASS}}={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h{\overline{x}}_h}(2.5)$$

$$\text{Var}\left({\widehat{X}}_{\text{EASS}}\right)={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h\left(N_h-n_h\right)S_{hx}^2/n_h}(2.6)$$

$$\text{CV}\left({\widehat{X}}_{\text{EASS}}\right)=\sqrt{\text{Var}\left({\widehat{X}}_{\text{EASS}}\right)}/X(2.7)$$

où ${\overline{x}}_h={\displaystyle {\sum }_{i\in s_h}{x}_i/n_h}$ est la moyenne d’échantillon de $x$ pour les éléments échantillonnés dans la strate  $h$ et où $S_{hx}^2={\displaystyle {\sum }_{i\in U_h}{\left(x_i-{\overline{X}}_h\right)}^2/\left(N_h-1\right)}$ est la variance de population de la variable $x$ dans la même strate  $h.$

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