Réconciliation bayésienne dans le modèle de Fay-Herriot par suppression aléatoire
Section 4. Études empiriques

• Précédent
• Suivant

Le but de ces études empiriques est double : d’abord, nous démontrons que le modèle BFH peut être ajusté comme on l’indique à la section 2 et que les méthodes de réconciliation à suppression du dernier domaine et à suppression aléatoire peuvent s’appliquer; ensuite, nous comparons les méthodes de réconciliation dans une étude par simulation qui exploite un ensemble de données bien utilisé dans les études consacrées à l’estimation sur petits domaines.

Dans le processus de génération des données, nous prenons les données sur les superficies en maïs et en soya dans Battese, Harter et Fuller (1988), lesquelles sont disponibles pour 12 comtés (domaines) en Iowa. Nous dressons le tableau résultant des superficies en maïs et en soya au niveau des comtés à l’aide d’un certain nombre de segments échantillonnés dans la population (nombre connu de segments). Nous disposons également de données satellitaires Landsat sur le nombre de pixels de maïs et de soya dans les segments échantillonnés (deux covariables). Nous pouvons ajouter des moyennes de population finie pour le nombre de pixels caractérisés comme maïs et soya dans chaque comté. Avec cet ensemble de données, nous construisons de nouveaux jeux de données avec tout nombre de domaines.

La génération des données se fait en deux étapes. D’abord, nous ajustons le modèle au niveau des unités $y_{ij}=x_{ij}^{\prime }\beta +e_{ij},$ $i=1,\dots ,l,j=1,\dots ,n_i,$ où $e_{ij}\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}\left(0,{\sigma }^2\right),$ par rapport aux données disponibles pour les $l=12$ comtés de l’Iowa. Les tailles d’échantillon de domaines sont $n_1=n_2=n_3=1,$ $n_4=2,n_5=n_6=n_7=n_8=3,$ $n_9=4,n_{10}=n_{11}=5,$ et $n_{12}=6.$ Par la méthode des moindres carrés, nous estimons $\beta$ et ${\sigma }^2$ par $\widehat{\beta }$ et ${\widehat{\sigma }}^2,$ respectivement. Pour les domaines dont la taille d’échantillon est supérieure à l’unité, nous posons que $s_i^2$ est égal à la variance estimée de la moyenne d’échantillon ${\overline{y}}_i\left({\overline{y}}_i={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n_i}{y}_{ij}/n_i}\right)$ et nous prenons $S^2$ comme moyenne géométrique. Pour les domaines dont la taille d’échantillon correspond à l’unité, nous posons $s_i^2$ égal à $S^2.$ Le vecteur des covariables ${\overline{X}}_i$ est à trois éléments, à savoir l’entier un (comme valeur à l’origine) et ensuite les moyennes de population des pixels caractérisés comme maïs et soya.

Comme deuxième étape, nous illustrons le processus de génération de données pour tout nombre désiré $l$ de petits domaines. Nous échantillonnons les covariables $x_i,i=1,\dots ,l,$ avec remise à partir de ${\overline{X}}_i,i=1,\dots ,12.$ Nous tirons alors les moyennes au niveau des domaines à l’aide de

$${\theta }_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left(x_i^{\prime }\widehat{\beta },{\widehat{\sigma }}^2\right),i=1,\dots ,l,$$

où $\widehat{\beta }$ et ${\widehat{\sigma }}^2$ sont les estimations déjà définies par les moindres carrés. Nous dégageons les variances d’échantillon $s_i^2$ en deux étapes. Nous tirons d’abord les tailles d’échantillon d’une distribution uniforme, $n_i\stackrel{\text{iid}}{{\displaystyle \sim }}\text{Uniforme}\left(\mathrm{5,}25\right)\mathrm{,}$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l.$ En deuxième lieu, nous posons $s_i^2\mathrm{<mo>=</mo>}{S}^2{V}_i/\left(n_i-1\right),$ où $V_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}{\chi }_{n_i-1}^2$ et $S^2$ sont définis comme ci-dessus. Enfin, nous tirons les estimations d’enquête sur petits domaines par ${\widehat{\theta }}_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left({\theta }_i\mathrm{,}{s}_i^2\right),i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l.$ Nous posons la cible de réconciliation comme égale à la somme des ${\widehat{\theta }}_i$ et des variantes de cette valeur ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\widehat{\theta }}_i}$ majorées ou minorées de 50 %. Dans la pratique du NASS pour les estimations culturales des comtés, cette cible est une valeur déjà établie au niveau de l’État. Pour évaluer les méthodes de réconciliation dans des cas extrêmes, nous considérons d’autres scénarios de simulation où une taille d’échantillon de domaines est fixée à 2 ou 50 ou où le facteur $S^2$ est multiplié par 10.

Dans ce qui suit, nous présentons les résultats empiriques surtout d’un scénario de simulation avec 12 domaines. Nous examinons brièvement des exemples avec un plus grand nombre de domaines. Ainsi, l’Iowa compte 99 comtés et le NASS a pour intérêt notamment de réconcilier les estimations de superficie ensemencée et récoltée et de production (en boisseaux) par rapport à un total préétabli au niveau de l’État. Lorsque le nombre de domaines est si petit, aucune correction n’est à apporter aux procédures de réconciliation avec suppression du dernier domaine ou suppression aléatoire dont nous avons parlé dans les sections précédentes. Toutefois, le calcul peut être inacceptable lorsque le nombre de domaines est extrêmement grand (un million, disons), auquel cas il faudrait apporter certaines modifications aux procédures actuellement appliquées.

Il est utile d’examiner les calculs dans un scénario de simulation avec 12 domaines. Pour l’inférence a posteriori dans le modèle BFH, nous avons recouru à 1 000 tirages aléatoires exécutés en seulement quelques secondes. En revanche, il est plus difficile d’exécuter un échantillonneur de Gibbs dans une réconciliation à suppression d’un domaine à la fois ou à suppression aléatoire. Nous pouvons toutefois proposer un échantillonneur de Gibbs efficace. Nous avons effectué un long passage de 20 000 itérations avec les 10 000 premières en « rodage » et avec choix de chaque 10^e itération par la suite. Nous avons contrôlé ce processus par tâtonnement en prenant les autocorrélations, le test de stationnarité de Geweke et les tailles effectives d’échantillon. Pour les 1 000 itérations sélectionnées, les valeurs d’autocorrélation sont toutes négligeables. Pour la réconciliation à suppression aléatoire, les valeurs p du test de Geweke pour les trois coefficients de régression et ${\delta }^2$ sont respectivement de 0,651; 0,087; 0,828 et 0,699 (la stationnarité n’est pas rejetée). Les tailles effectives d’échantillon sont toutes de 1 000. Ajoutons que les tracés temporels ne montrent aucun signe de non-stationnarité. Ainsi, l’échantillonneur de Gibbs est efficace et ne prend que quelques secondes malgré l’abondance des itérations.

Nous évaluons le rendement des méthodes de réconciliation avec un ensemble de mesures : moyennes a posteriori (MP), écarts-types a posteriori (ETP) et, si la chose est pratique, coefficients de variation a posteriori (CVP), erreurs-types numériques (ETN) des estimations et intervalles de plus haute densité a posteriori (HDP) à 95 %. Les résultats numériques figurent aux tableaux 4.1 à 4.8.

Nous présentons au tableau 4.1 une version condensée des résultats de base qui sert à comparer la moyenne, l’erreur-type et le coefficient de variation des données observées aux MP, ETP et CVP du modèle BFH et des modèles de réconciliation à suppression du dernier domaine (DD) et à suppression aléatoire (SA). Les résultats au tableau 4.1 s’appliquent à deux scénarios de simulation où $S^2\mathrm{<mo>=</mo>}$163 pour une légère variation des données observées et $S^2\mathrm{<mo>=</mo>}$1 630 pour une variation relativement supérieure de ces mêmes données. Quand $S^2\mathrm{<mo>=</mo>}$163, il n’y a à peu près pas de différences entre les données observées et les quantités a posteriori pour les modèles BFH, DD et SA. Vu les petits coefficients de variation des estimations d’enquête, il est difficile de réduire encore plus la variabilité pour tout modèle. Ainsi, les CVP sont comparables aux CV des estimations d’enquête. Par ailleurs, deux points intéressants ressortent du scénario où $S^2=$ 1 630. D’abord, les MP du modèle BFH peuvent être très différentes de celles des modèles DD et SA et ces deux dernières MP sont très proches l’une de l’autre. Ensuite, les ETP sont bien moindres que les erreurs-types des données observées; on relève des gains appréciables de précision avec le modèle BFH. Il reste que les ETP sont de quatre à cinq fois moindres que ceux des données observées et que les ETP des modèles DD et SA sont environ le double de ceux du modèle BFH. Il en va de même des CVP. Enfin, les modèles DD et SA sont très proches dans les trois mesures (MP, ETP et CVP); le modèle SA présente des ETP qui sont seulement un peu moindres. Comme on pouvait s’y attendre, le modèle DD s’écarte légèrement du modèle SA, mais on doit aussi remarquer que la réconciliation du modèle BFH est importante, puisque nous obtenons des réponses différentes de celles de ce modèle du moins pour ce qui est des écarts-types et des coefficients de variation a posteriori. La réconciliation est une procédure à bruit aléatoire qui aide à protéger le modèle contre les défauts de spécification et qui, par conséquent, doit créer une plus ample variabilité des estimations sur petits domaines.

Dans le scénario de simulation de base, nous comparons les méthodes de réconciliation à suppression à une des méthodes de DGSM qui donne des estimations a posteriori réconciliées sans suppression. Pour reprendre la notation dans DGSM, nous devons reformuler l’équation de réconciliation sous la forme suivante :

$${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\omega }_i{\theta }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{a}{l}\mathrm{<mo>=</mo>}t\mathrm{,}$$

où ${\omega }_i\mathrm{<mo>=</mo>}1/l\mathrm{,}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\omega }_i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Soit ${\widehat{\theta }}_i{}^{\left(B\right)}$ la moyenne a posteriori du modèle BFH. Définissons ${\overline{\widehat{\theta }}}_B\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\omega }_i}{\widehat{\theta }}_i^{\left(B\right)},$

$${\varphi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_i}{{\widehat{\theta }}_i^{\left(B\right)}}\mathrm{,}{r}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_i}{{\varphi }_i}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{,}$$

et $S^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}{\omega }_i^2/{\varphi }_i\text{}.$ À noter que, parmi les spécifications de DGSM, nous avons choisi ${\varphi }_i$ au hasard (sans traitement préférentiel). Dans ce cas, les estimateurs de Bayes réconciliés de DGSM sont

$${\widehat{\theta }}_i^{\left(BM\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\theta }}_i^{\left(B\right)}+\left(t-{\overline{\widehat{\theta }}}_B\right)r_i/S^{*}\text{},i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{.}$$

Nous présentons les résultats empiriques avec l’estimateur ${\widehat{\theta }}_i^{\left(BM\right)}$ dans la note du tableau 4.1. La plus grande différence entre les estimations réconciliées selon les méthodes de réconciliation est celle du domaine 10 (données observées : 172,9; BFH : 129,2; DD : 145,5; SA : 145,3; DGSM : 126,4). En général, les MP des modèles DD et SA sont plus proches de celles des données observées. Dans les autres cas, les estimations se comparent relativement bien à celles des modèles DD et SA, mais avec quelques légères différences; le modèle DGSM ne présente pas d’écarts-types a posteriori ni d’intervalles de crédibilité.

Nous présentons des résultats plus détaillés pour $S^2=$  163 aux tableaux 4.2 à 4.8 et aux figures 4.1 à 4.4. Notre intérêt est surtout de comparer les modèles à suppression d’un domaine à la fois (le dernier) et à suppression aléatoire.

Par les résultats au tableau 4.2, nous concluons que les MP du modèle BFH (sans réconciliation) sont légèrement différentes de celles des estimations directes et, comme on pouvait s’y attendre, supérieures et inférieures respectivement aux valeurs des estimations directes (en moins et en plus). Sauf pour deux domaines et comme il était à prévoir, les ETP sont inférieurs aux écarts-types des estimations directes. Ainsi, l’estimation directe la plus petite (76,997) est celle qui rétrécit le plus et présente un écart-type plus grand (5,881 contre 5,995); les résultats concordent avec le rétrécissement caractéristique d’une estimation sur petits domaines. Il convient de noter que les CVP sont tous petits et que les ETN le sont raisonnablement aussi.

Nous présentons aux tableaux 4.3 et 4.4 les estimations du modèle BFH à suppression du dernier domaine et à suppression aléatoire dans le cas d’une distribution antérieure uniforme (en équipondération). Les poids a posteriori diffèrent à peine de 0,083; le plus grand (0,097) est celui du dernier domaine et le plus petit (0,056), du $8^{\text{e}}$  domaine. La suppression aléatoire comme la suppression du dernier domaine améliore la précision et les ETP des estimations réconciliées sont tous inférieurs aux erreurs-types des données observées pour les deux méthodes de réconciliation. Les ETN sont supérieures à celles du modèle sans réconciliation, mais la chose importe peu, puisqu’il s’agit d’erreurs des moyennes a posteriori (la caractéristique de la MP est à trois chiffres).

Nous comparons les trois méthodes (BFH, DD, SA) à l’aide des résultats au tableau 4.5. Les MP sont comparables et la réconciliation (SA et DD) ne déforme (rétrécit) pas les estimations bien au-delà du rétrécissement caractéristique du modèle BFH. Ajoutons que, dans les modèles DD et SA, les ETP sont presque toujours inférieurs à ceux du modèle BFH. Pour 8 des 12 domaines, les ETP sont moindres dans le modèle SA que dans le modèle DD. Pour ces domaines, les ETP baissent en gros de 1 % dans le modèle SA par rapport au modèle DD et environ de 4 % par rapport au modèle BFH.

Pour étudier à quel point les ETP sont sensibles aux différentes cibles de réconciliation, nous présentons les résultats pour trois choix de cibles au tableau 4.6. Les ETP varient seulement un peu selon les cibles et l’emportent toujours sur les erreurs-types des estimations directes.

Dans la conception d’un jeu complexe de simulations, nous envisageons de recourir à des probabilités (poids) inégales pour la réconciliation à suppression aléatoire. Nous mentionnons les résultats au tableau 4.7. Nous comparons les poids uniformes (EW) aux poids inversement proportionnels (IW) aux tailles d’échantillon, ainsi qu’aux poids directement proportionnels (DW) à ces mêmes tailles. Là encore, nous relevons de légères différences entre les trois MP et les trois ETP. Les ETP demeurent inférieurs à ceux des estimations directes.

Au moyen des résultats au tableau 4.8, nous étudions dans quelle mesure les tailles d’échantillon extrêmes pour le dernier comté (à supprimer) influent sur l’inférence a posteriori. Nous posons à cette fin que la taille d’échantillon du dernier comté se situe à l’extérieur de la fourchette de simulation qui va de 5 à 25 en prenant les valeurs 2 et 50. Nous considérons d’abord le cas où la taille d’échantillon du dernier comté est de 2. Comme pour les résultats précédents, les MP présentent de légères différences par rapport à l’absence de réconciliation, à la suppression du dernier domaine et à la suppression aléatoire pour tous les comtés. Les ETP des modèles DD et SA sont inférieurs à ceux du modèle BFH et neuf de ces ETP sont moindres dans le modèle SA que dans le modèle DD. Pour le dernier comté, nous observons cependant des écarts-types a posteriori relativement importants (10,00; 8,771; 8,525) avec une baisse qui est en gros de 15 % de l’ETP du modèle SA par rapport au modèle sans réconciliation. Ensuite, nous considérons le cas où la taille d’échantillon du dernier comté est de 50. La configuration est semblable sauf que les ETP du dernier comté sont comparables à ceux des modèles BFH, DD et SA et que, là encore, la baisse est environ de 10 % (6,282; 5,958; 5,702) des ETP du modèle SA par rapport à l’absence de réconciliation. Il semblerait que, si on prend délibérément le comté avec la taille d’échantillon la plus extrême (en moins ou en plus) comme dernier comté, il peut y avoir une incidence sur la procédure de réconciliation. En revanche, nous relevons des variations légères lorsque les domaines dont la taille d’échantillon est extrême ne sont pas systématiquement supprimés. Quand la taille d’échantillon est de 2, les nouvelles valeurs MP et ETP sont les suivantes : BFH : 124,307; 9,993; DD : 123,371; 9,000; SA : 123,540; 8,887. Quand la taille d’échantillon est de 50, les nouvelles valeurs MP et ETP sont les suivantes : BFH : 118,167; 6,284; DD : 117,802; 6,094; SA : 117,716; 5,948.

À des fins de comparaison, nous présentons les différentes densités a posteriori aux figures 4.1 à 4.4. Il s’agit aux figures 4.1 et 4.2 des densités a posteriori des 12 paramètres de domaine quand chaque domaine est retranché à son tour. Nous observons que la densité a posteriori varie légèrement selon les modes, mais sans rien de remarquable. Aux figures 4.3 et 4.4, nous présentons les densités a posteriori des 12 paramètres de domaine pour le modèle FH (sans contrainte) et les deux réconciliations à suppression aléatoire et à suppression du dernier domaine. Des différences existent entre les trois densités, mais sans rien d’alarmant.

Nous livrons enfin les résultats empiriques d’un scénario de simulation avec 99 domaines correspondant aux 99 comtés de l’Iowa. Nous générons les données comme nous l’avons décrit et ajustons les modèles BFH sans réconciliation et avec réconciliation à suppression aléatoire et à suppression du dernier domaine au moyen de 20 000 itérations de l’échantillonneur de Gibbs. Dans l’ajustement de chaque modèle, les 10 000 premières itérations servent au « rodage » et, par la suite, nous gardons chaque 10^e itération. L’ajustement du modèle BFH prend 15 secondes et celui des modèles à réconciliation par suppression, moins de trois minutes chacun. Pour les paramètres du modèle de réconciliation à suppression aléatoire et avec les coefficients de régression $\beta$ et la variance ${\sigma }^2,$ les valeurs p du test de Geweke sont respectivement de 0,822; 0,128; 0,752 et 0,219 et les tailles effectives d’échantillon sont toutes de 1 000 pour les 1 000 itérations sélectionnées (échantillonneur de Gibbs efficace). À noter que la cible est 12 162,93 et la somme des MP du modèle BFH, de 12 168,49, une différence de 5,56. À la figure 4.5, nous présentons le tracé des coefficients de variation pour la réconciliation à suppression aléatoire, la réconciliation à suppression du dernier domaine et le modèle BFH par rapport aux estimations directes par domaine. Les différences entre ces modèles ne sont pas remarquables. La plupart des points dont les CV des estimations directes sont supérieurs à 0,04 environ se situent sous la droite à 45 °. Toutefois, certains points (en losange) pour le modèle BFH se trouvent au-dessus de cette même droite et quatre d’entre eux sont à remarquer, peut-être parce qu’ils rétrécissent trop. Nous en concluons qu’il est logique d’opter pour la réconciliation à suppression aléatoire.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant