Réconciliation bayésienne dans le modèle de Fay-Herriot par suppression aléatoire
Section 2. Modèle de Fay-Herriot bayésien

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Supposons que les données observées sont $\left({\widehat{\theta }}_i\mathrm{,}{s}_i\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ où ${\widehat{\theta }}_i$ et $s_i$ sont respectivement une estimation et son erreur-type (que nous supposons connue pour simplifier) de la quantité à l’étude, c’est-à-dire la ${\theta }_i.$ totale du $i^{\text{e}}$ domaine. Le modèle BFH est

$${\widehat{\theta }}_i|{\theta }_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left({\theta }_i\mathrm{,}{s}_i^2\right)\mathrm{,}$$

$${\theta }_i|\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left(x_i^{\prime }\beta ,{\sigma }^2\right)\mathrm{,}$$

$$\pi \left(\beta ,{\sigma }^2\right)\mathrm{,}(2.1)$$

où $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ $x_i$ est un jeu de covariables à $p$ composantes (dont la valeur à l’origine) et $\pi \left(\beta ,{\sigma }^2\right),$ la codistribution antérieure pour $\left(\beta ,{\delta }^2\right).$ Nous posons a priori que $\pi \left(\beta ,{\sigma }^2\right)=\pi \left(\beta \right)\pi \left({\sigma }^2\right),$ c’est-à-dire que $\beta$ et ${\sigma }^2$ sont indépendants avec

$$\pi \left(\beta \right)\propto 1\text{et}\pi \left({\sigma }^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}1/{\left(1+{\sigma }^2\right)}^2.(2.2)$$

Par le théorème de Bayes, la densité a posteriori conjointe des $l\mathrm{<mo>+</mo>}p+1$ paramètres du modèle est

$$\pi \left(\theta \mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }^2|\widehat{\theta }\right)\propto \frac{1}{{\left(1+{\sigma }^2\right)}^2}{\left(\frac{1}{{\sigma }^2}\right)}^{l/2}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}\left\{\exp \left[-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{s_i^2}{\left({\widehat{\theta }}_i-{\theta }_i\right)}^2+\frac{1}{{\sigma }^2}{\left({\theta }_i-x_i^{\prime }\beta \right)}^2\right\}\right]\right\}\mathrm{.}(2.3)$$

Dans (2.2), $\pi \left({\sigma }^2\right)$ est une distribution antérieure propre, plus plate $\pi \left({\sigma }^2\right)\propto 1/{\sigma }^2$ près de zéro et sans moments. En fait, toute distribution antérieure propre pour ${\sigma }^2$ convient et une distribution antérieure impropre peut mener dans ce cas à une densité a posteriori impropre. Comme $\pi \left(\beta \right)$ est impropre, le produit $\pi \left(\beta ,{\sigma }^2\right)=\pi \left(\beta \right)\pi \left({\sigma }^2\right)$ est impropre lui aussi, d’où la possibilité que la densité a posteriori conjointe de $\left(\theta ,\beta ,{\sigma }^2\right)$ le soit tout autant, scénario peu souhaitable. Le théorème 1 qui suit établit la propriété de la densité a posteriori conjointe (2.3).

L’annexe B donne plus de détails sur le modèle BFH. Plus précisément, avec ${\lambda }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\sigma }^2}{s_i^2+{\sigma }^2}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ nous avons démontré que

$${\theta }_i|\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\mathrm{,}\widehat{\theta }\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left\{{\lambda }_i{\widehat{\theta }}_i+\left(1-{\lambda }_i\right)x_i^{\prime }\beta \mathrm{,}\left(1-{\lambda }_i\right){\sigma }^2\right\}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{,}(2.4)$$

$$\beta |{\sigma }^2\mathrm{,}\widehat{\theta }\sim \text{Normale}\left(\widehat{\beta },\widehat{\Sigma }\right)\mathrm{,}(2.5)$$

$${\pi }_3\left({\sigma }^2|\widehat{\theta }\right)\propto Q\left({\sigma }^2\right)\frac{1}{{\left(1+{\sigma }^2\right)}^2}\mathrm{,}(2.6)$$

où

$$\widehat{\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{\Sigma }{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}\frac{{\widehat{\theta }}_i{x}_i}{s_i^2+{\sigma }^2}\mathrm{,}{\widehat{\Sigma }}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}\frac{x_i{x}_i^{\prime }}{s_i^2+{\sigma }^2}\mathrm{,}$$

$$Q\left({\sigma }^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left|\widehat{\Sigma }\right|}^{\mathrm{1\; <mo>/</mo>\; 2}}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}\frac{1}{{\left(s_i^2+{\sigma }^2\right)}^{1/2}}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}\frac{1}{s_i^2+{\sigma }^2}{\left({\widehat{\theta }}_i-x_i^{\prime }\widehat{\beta }\right)}^2\right\}\mathrm{.}$$

Théorème 1

La densité a posteriori conjointe (2.3) est propre à condition que la matrice de plan soit de plein rang.

Preuve du théorème 1

Comme la matrice de plan est de plein rang, $\widehat{\beta }$ et $\widehat{\Sigma }$ sont bien définis pour tous les ${\sigma }^2$ d’où l’implication que $Q\left({\sigma }^2\right)$ est borné dans ${\sigma }^2.$ Ainsi, comme $\pi \left({\sigma }^2\right)=\frac{1}{{\left(1+{\sigma }^2\right)}^2}$ est propre, la densité a posteriori ${\pi }_3\left({\sigma }^2|\widehat{\theta }\right)$ l’est aussi. Si on applique la règle de multiplication en probabilité, il s’ensuit que la densité a posteriori conjointe, $\pi \left(\theta ,\beta ,{\sigma }^2|\widehat{\theta }\right),$ est propre.

La propriété étant acquise, nous pouvons échantillonner la densité a posteriori conjointe et faire notre inférence sur ${\theta }_i$ par une procédure simple de Monte Carlo. Nous prenons la règle de multiplication et tirons des échantillons de (2.6), (2.5) et (2.4). Voici la procédure qui s’applique. D’abord, nous tirons un échantillon de ${\pi }_3\left({\sigma }^2|\widehat{\theta }\right)$ en (2.6). Les tirages sur cette distribution peuvent s’opérer par la méthode de la grille (voir l’annexe B). Il est ensuite facile de tirer des échantillons de la densité a posteriori conditionnelle de $\beta$ en (2.5). Enfin, nous pouvons tirer les échantillons de ${\theta }_i$ indépendamment de (2.4). Échantillonner de la sorte à partir de la densité a posteriori conjointe dans le modèle BFH sans contrainte n’exige pas de surveillance des données (à la différence de la méthode de Monte Carlo à chaîne de Markov). Le modèle BFH sans contrainte donnera une base de comparaison des estimations et des mesures liées d’incertitude obtenues par la méthode proposée de réconciliation à suppression aléatoire.

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