Réconciliation bayésienne dans le modèle de Fay-Herriot par suppression aléatoire
Section 3. Méthode de suppression aléatoire

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Comme nous l’avons fait remarquer, la méthode de suppression aléatoire exige qu’on introduise une nouvelle variable prenant les valeurs $\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}l$ en équiprobabilité (poids) et avec peut-être des différences. À la section 3.1, nous indiquons comment construire la densité a posteriori conjointe des paramètres du modèle BFH à suppression aléatoire et, à la section 3.2, comment échantillonner à partir de cette densité conjointe.

3.1  Construction de la densité a posteriori conjointe

Le théorème de base de la réconciliation s’explique par les opérations examinées à la section 1. Le but qui suit est d’élaborer la densité a priori conjointe de ${\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_l$ sous la contrainte de réconciliation ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\theta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}a},$ où $a$ est une cible externe connue. Nous nous servirons de la densité a priori conjointe de ${\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_l$ pour compléter le modèle Fay-Herriot avec contrainte pour une réconciliation à suppression du dernier domaine (voir la section 1).

Théorème 2

Soit ${\theta }_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left(u_i^{\prime }\beta ,{\delta }^2\right),i=1,\dots ,l.$ Avec la contrainte ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\theta }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}a,$ où $a$ est constant, soit ${\theta }_{\left(l\right)}$ le vecteur de tous les ${\theta }_i$ sauf le dernier. La densité conjointe de ${\theta }_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ est alors

$${\theta }_{\left(l\right)}\sim \text{Normale}\left\{\left(I-\frac{1}{l}J\right)c\mathrm{,}{\delta }^2\left(I-\frac{1}{l}J\right)\right\}\mathrm{,}{\theta }_l\mathrm{<mo>=</mo>}a-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{l-1}{\theta }_i}\mathrm{,}(3.1)$$

$c^{\prime }=a{j}^{\prime }+\left({\left(u_1-u_l\right)}^{\prime }\beta ,\dots ,{\left(u_{l-1}-u_l\right)}^{\prime }\beta \right),J$ et $j$ sont respectivement une matrice $\left(l-1\right)\times \left(l-1\right)$ et un vecteur $\left(l-1\right)$ de uns.

Preuve du théorème 2

Voir l’annexe C.

La preuve du théorème 2 fait appel à la distribution normale multivariée et servira à démontrer le théorème plus général avec correction de la distribution antérieure pour la suppression de n’importe quel domaine.

Le modèle BFH avec contrainte est

$${\widehat{\theta }}_i|{\theta }_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left({\theta }_i\mathrm{,}{s}_i^2\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{,}(3.2)$$

$${\theta }_i|\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left(x_i^{\prime }\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\right)\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\theta }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{,}$$

$$\pi \left(\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\right)\mathrm{.}$$

La contrainte de la distribution antérieure sur ${\theta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_l$ corrige pour l’essentiel la densité a priori conjointe, mais pour intégrer cette contrainte, nous emploierons le théorème 2 et procéderons à une correction de la densité a posteriori dans le modèle sans contrainte.

Pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ soit ${\lambda }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+s_i^2}$ et ${\widehat{\widehat{\theta }}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_i{\widehat{\theta }}_i+\left(1-{\lambda }_i\right)x_i^{\prime }\beta .$ Soit également ${\widehat{\sigma }}_i^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^2\left(1-{\lambda }_i\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{.}$ Dans le modèle sans contrainte, la densité a posteriori conjointe est

$${\pi }_{nb}\left(\theta ,\beta \mathrm{,}{\sigma }^2|\widehat{\theta }\right)\propto \pi \left(\beta ,{\sigma }^2\right){\displaystyle \prod _{i=1}^l\left[{\text{Normale}}_{{\widehat{\theta }}_i}\left(x_i^{\prime }\beta ,\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }_i}\right){\text{Normale}}_{{\theta }_i}\left({\widehat{\widehat{\theta }}}_i,{\widehat{\sigma }}_i^2\right)\right]}\mathrm{.}$$

Nous élargissons maintenant le résultat du théorème 2, car nous nous intéressons au modèle BFH avec contrainte. Le théorème 3 qui suit servira à élaborer la méthode de réconciliation à suppression aléatoire.

Théorème 3

Dans une notation générale, soit $y_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle \sim }}\text{Normale}\left({\mu }_i\mathrm{,}{\sigma }_i^2\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{.}$ Soit $y_{\left(i\right)}$ le vecteur de tous les $y_i$ sauf le $i^{\text{e}}.$ Soit $v_i={\sigma }_i^2/\sqrt{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^l{\sigma }_j^2}},i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ et $v_i^{*}={\sigma }_i^2/{\displaystyle {\sum }_{j=1}^l{\sigma }_j^2,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l.$ Sous la contrainte ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^l{y}_i=a,}$

$$y_{\left(i\right)}\sim \text{Normale}\left\{u_{\left(i\right)}-\left({\displaystyle \sum _{j=1}^l{u}_j-a}\right)v_{\left(i\right)}^{*},\text{diagonale}\left({\sigma }_{\left(i\right)}^2\right)-v_{\left(i\right)}{v}_{\left(i\right)}^{\prime }\right\}(3.3)$$

avec $y_i\mathrm{<mo>=</mo>}a-{\displaystyle {\sum }_{j\ne i}{y}_j}.$ Dans ce cas,

$$p\left(y\mathrm{,}z\mathrm{<mo>=</mo>}r|\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}0\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{y_r}\left(a-{\displaystyle \sum _{j\ne r}{y}_j}\right){\text{Normale}}_{y_{\left(r\right)}}\left\{{\mu }_{\left(r\right)}-\left({\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\mu }_j}-a\right)v_{\left(r\right)}^{*}\mathrm{,}\text{diagonale}\left({\sigma }_{\left(r\right)}^2\right)-v_{\left(r\right)}{v}_{\left(r\right)}^{\prime }\right\}\mathrm{,}(3.4)$$

pour $r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l$ et $\psi \mathrm{<mo>=</mo>}a-{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{y}_i}.$

Preuve du théorème 3

La preuve du théorème 3 ressemble à celle du théorème 2. Voir l’annexe C.

Dans ce qui suit, un des paramètres de domaine $l$ sera supprimé au hasard (probabilité $1/l).$ Soit $z\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l$ représentant le comté en suppression. Ainsi, $P\left(z\mathrm{<mo>=</mo>}r\right)\mathrm{<mo>=</mo>}1/l\mathrm{,}r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l.$ Dans le modèle BFH avec contrainte et avec le théorème 3, la densité a posteriori conjointe est donc

$$\begin{array}{ll}{\pi }_b\left(\theta \mathrm{,}z\mathrm{<mo>=</mo>}r\mathrm{,}\beta \mathrm{,}{\sigma }^2|\widehat{\theta }\right)\hfill & \propto \pi \left(\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\right){\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^l\left[{\text{Normale}}_{{\widehat{\theta }}_i}\left(x_i^{\prime }\beta \mathrm{,}\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }_i}\right)\right]}\times {\delta }_{{\theta }_r}\left(a-{\displaystyle \sum _{j\ne r}{\theta }_j}\right)\hfill \\ \hfill & \times {\text{Normale}}_{{\theta }_{\left(r\right)}}\left\{{\widehat{\widehat{\theta }}}_{\left(r\right)}-\left({\displaystyle \sum _{j=1}^l{\widehat{\widehat{\theta }}}_j-a}\right)v_{\left(r\right)}^{*},\text{diagonale}\left({\widehat{\sigma }}_{\left(r\right)}^2\right)-v_{\left(r\right)}{v}_{\left(r\right)}^{\prime }\right\}\mathrm{,}(3.5)\hfill \end{array}$$

où $r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ et pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ $v_i^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\sigma }}_i^2/{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\widehat{\sigma }}_j^2}$ et $v_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\sigma }}_i^2/\sqrt{{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\widehat{\sigma }}_j^2}}.$

3.2  Échantillonnage de la densité a posteriori conjointe

À la différence du modèle BFH, le modèle avec contrainte en (3.2) ne peut être ajusté par des tirages au hasard; nous devons utiliser un échantillonneur de Gibbs. La densité a posteriori conjointe conditionnelle (dpc) de $\left(\theta ,z\right)$ est

$$\begin{array}{ll}\pi \left(\theta \mathrm{,}z\mathrm{<mo>=</mo>}r|\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\mathrm{,}\widehat{\theta }\right)\hfill & \propto {\delta }_{{\theta }_r}\left(a-{\displaystyle \sum _{j\ne r}{\theta }_j}\right)\hfill \\ \hfill & \times {\text{Normale}}_{{\theta }_{\left(r\right)}}\left\{{\widehat{\widehat{\theta }}}_{\left(r\right)}-\left({\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\widehat{\widehat{\theta }}}_j-a}\right)v_{\left(r\right)}^{*},\text{diagonale}\left({\widehat{\sigma }}_{\left(r\right)}^{\text{2}}\right)-v_{\left(r\right)}{v}_{\left(r\right)}^{\prime }\right\}\mathrm{,}(3.6)\hfill \end{array}$$

où $r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,{\theta }_{\left(r\right)}$ désigne le vecteur de ${\theta }_i$ avec suppression de la $r^{\text{e}}$ composante et où $v$ et $v^{*}$ sont définis au théorème 3. Ainsi, la densité a posteriori conjointe conditionnelle de $\left(\beta ,{\sigma }^2\right)$ est

$$\begin{array}{ll}\pi \left(\beta \mathrm{,}{\sigma }^2|\theta \mathrm{,}\widehat{\theta }\mathrm{,}z\mathrm{<mo>=</mo>}r\right)\hfill & \propto \pi \left(\beta \mathrm{,}{\sigma }^2\right){\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\text{Normale}}_{{\widehat{\theta }}_i}}\left(x_i^{\prime }\beta \mathrm{,}\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }_i}\right)\hfill \\ \hfill & \times {\text{Normale}}_{{\theta }_{\left(r\right)}}\left\{{\widehat{\widehat{\theta }}}_{\left(r\right)}-\left({\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l{\widehat{\widehat{\theta }}}_j}-a\right)v_{\left(r\right)}^{*}\mathrm{,}\text{diagonale}\left({\widehat{\sigma }}_{\left(r\right)}^{\text{2}}\right)-v_{\left(r\right)}{v}_{\left(r\right)}^{\prime }\right\}\mathrm{.}(3.7)\hfill \end{array}$$

Il est simple d’échantillonner les dpc de $\theta$ et $z,$ mais la chose ne sera pas si simple pour $\beta$ et ${\sigma }^2$ dans ce qui va suivre.

Premièrement, pour obtenir les dpc de $\beta$ et ${\sigma }^2,$ nous définissons

$$g_1=\frac{1}{{\sigma }^2}{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\lambda }_i{\widehat{\theta }}_i{x}_i\text{et}{A}_1=\frac{1}{{\sigma }^2}{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\lambda }_i{x}_i{x}_i^{\prime }}}.$$

Deuxièmement, pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l,$ soit $d_i={\lambda }_i{\widehat{\theta }}_i-\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^l{\lambda }_j{\widehat{\theta }}_j-a}\right)v_i^{*}$ et $x_i=\left(1-{\lambda }_i\right)x_i-v_i^{*}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^l\left(1-{\lambda }_j\right)x_j}.$ Soit $d_{\left(r\right)}$ et ${\tilde{X}}_{\left(r\right)}$ désignant respectivement le vecteur à entrées $d_i$ sans la $r^{\text{e}}$ composante et la matrice où parmi les colonnes $x_i$ on retranche $x_r.$ Soit

$$g_2={\left({\theta }_{\left(r\right)}-d_{\left(r\right)}\right)}^{\prime }{\Sigma }_{\left(r\right)}{\tilde{X}}_{\left(r\right)}^{\prime }\text{et}{A}_2={\tilde{X}}_{\left(r\right)}{\Sigma }_{\left(r\right)}{\tilde{X}}_{\left(r\right)}^{\prime },$$

où ${\Sigma }_{\left(r\right)}$ est la matrice des covariances sans la ligne et la colonne $r^{\text{e}}.$ Troisièmement, avec une distribution antérieure normale multivariée sur $\beta$ de la forme $\beta \sim \text{Normale}\left({\beta }_0,{\Sigma }_0\right),$ où ${\beta }_0$ et ${\Sigma }_0$ sont spécifiés, soit

$$g_0={\beta }_0{A}_0\text{et}{A}_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\Sigma }_0^{-1}\mathrm{<mo>;</mo>}$$

ce qui assure une certaine protection contre l’impropriété de la distribution a posteriori. Il s’ensuit que

$$\beta |\theta \mathrm{,}z\mathrm{<mo>=</mo>}r\mathrm{,}{\sigma }^2\mathrm{,}\widehat{\theta }\sim \text{Normale}\left\{{\left({\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}}^2{A}_s}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}}^2{A}_s}{g}_s,\mathrm{<mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>}{\left({\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}}^2{A}_s}\right)}^{-1}\right\}\mathrm{.}$$

Nous pouvons éliminer la distribution antérieure de $\beta$ en posant ${\Sigma }_0\to \infty$ (distribution antérieure non informative) pour obtenir $\pi \left(\beta \right)=1$ comme dans le modèle BFH.

Enfin, nous considérons la dpc de ${\sigma }^2.$ Soit

$$U_i={\lambda }_i{\widehat{\theta }}_i+\left(1-{\lambda }_i\right)x_i^{\prime }\beta -\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^l\left\{{\lambda }_j{\widehat{\theta }}_j+\left(1-{\lambda }_j\right)x_j^{\prime }\beta \right\}-a}\right\}{v}_i^{*},i=1,\dots ,l,$$

et

$$\Sigma ={\sigma }^2\left\{\text{diagonale}\left(1-{\lambda }_1,\dots ,1-{\lambda }_l\right)-\left[\left(1-{\lambda }_i\right)\left(1-{\lambda }_{i^{\prime }}\right)\right]/{\displaystyle \sum _{j=1}^l\left(1-{\lambda }_j\right)}\right\}.$$

La dpc de ${\sigma }^2$ est alors

$$\pi \left({\sigma }^2|\theta ,z=r,\beta ,\widehat{\theta }\right)\propto \pi \left({\sigma }^2\right)\left[{\displaystyle \prod _{i=1}^l{\text{Normale}}_{{\widehat{\theta }}_i}}\left\{x_i^{\prime }\beta ,{\sigma }^2+s_i^2\right\}\right]{\text{Normale}}_{{\theta }_{\left(r\right)}}\left\{U_{\left(r\right)},{\Sigma }_{\left(r\right)}\right\},$$

où $U_{\left(r\right)}$ désigne le vecteur des $U_i$ sans la $r^{\text{e}}$ composante et où $\pi \left({\sigma }^2\right)$ est une distribution antérieure sur ${\sigma }^2.$ Comme dans le modèle BFH (voir la section 2), nous attribuons la densité antérieure $\pi \left({\sigma }^2\right)={1/\left(1+{\sigma }^2\right)}^2\text{},{\sigma }^2>0$ à ${\sigma }^2.$ Comme la densité a posteriori de base du modèle BFH est propre, la densité a posteriori du modèle BFH avec contrainte le sera aussi.

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