Erreur de mesure dans l’estimation sur petits domaines : comparaison de modèles fonctionnels, structurels et naïfs
Section 1. Introduction
Les modèles
linéaires mixtes, en particulier celui de Fay et Herriot (1979), ont généré
beaucoup d’intérêt en matière d’estimation sur petits domaines. Le modèle de
Fay-Herriot (FH) peut s’écrire de la sorte :
où, pour les domaines
indexés de 1 à
les
sont les estimations directes
par sondage des quantités de population
les erreurs d’échantillonnage
dans
sont supposées indépendantes
avec
considérées comme connues (les
valeurs sont en fait estimées au moyen de microdonnées d’enquête), les
sont des vecteurs
de covariables de régression
avec un vecteur de coefficient correspondant
et les effets aléatoires
sont distribués comme
suit :
et indépendamment des
Dans certains
cas, il peut être souhaitable d’avoir un modèle augmenté pour
avec une ou plusieurs covariables
qui
sont elles-mêmes des estimations tirées d’une autre enquête estimant les
caractéristiques qu’on présume liées à
Une
des méthodes consiste à simplement ignorer l’erreur d’échantillonnage dans
en
la traitant comme les covariables dans
que
nous supposerons non sujettes aux erreurs d’échantillonnage ou de mesure. Nous
appellerons cette méthode le modèle de Fay-Herriot naïf, que nous
écrivons comme suit, en prenant, pour simplifier, le cas d’une seule de ces
covariables
Nous ajoutons les indices
aux coefficients de régression
et aux effets aléatoires
pour distinguer ce modèle des
futurs modèles d’erreur de mesure. Le modèle suppose que
bien qu’avec l’erreur
d’échantillonnage hétéroscédastique dans
l’hypothèse selon laquelle
est constante soit erronée, ce
qui implique que le modèle (1.2) est mal spécifié. Ce point est discuté plus en
détail plus loin.
On peut
substituer au modèle de FH naïf un modèle d’erreur de mesure pour tenir compte
de l’erreur d’échantillonnage (de mesure) dans
On
suppose que
désigne la caractéristique de la population
estimée par
avec une erreur d’échantillonnage
où
les valeurs
sont supposées distribuées indépendamment
et
avec la valeur
considérée comme connue (en fait estimée au
moyen de microdonnées d’enquête). Une généralisation du modèle (1.1) pour
inclure la covariable
tout en tenant compte de son erreur d’échantillonnage
peut se formuler comme suit :
Si l’on suppose que les valeurs
sont des quantités inconnues
fixes, alors le modèle défini par (1.3)-(1.4) est appelé modèle fonctionnel
d’erreur de mesure (modèle FEM). Ce modèle est examiné par Fuller (1987) et
a été étudié pour ce qui est de l’estimation sur petits domaines par Ybarra et
Lohr (2008), Arima, Datta et Liseo (2015, 2016), et Arima, Bell, Datta, Franco
et Liseo (2017). Ghosh et Sinha (2007), Datta, Rao et Torabi (2010) et Arima,
Datta et Liseo (2012) ont étudié des modèles analogues d’erreur de mesure au
niveau de l’unité pour ce qui est de l’estimation sur petits domaines.
Une autre
solution de rechange au modèle de FH naïf consiste à spécifier un modèle pour
dans (1.4) qui, avec (1.3), implique des
modèles bivariés pour
et
On
parle de modèle structurel d’erreur de mesure (modèle SEM). Si
suit le modèle de régression
avec les covariables
et
les résidus
indépendants de
alors le modèle résultant pour
peut s’écrire comme suit :
Ce modèle est différent d’un modèle
de FH bivarié type, car le paramètre
influe à la fois sur la fonction
de régression à la moyenne pour
et la matrice de covariance des
effets aléatoires
Cependant, si les covariables
sont des fonctions linéaires des
covariables
alors la régression des effets
fixes faisant partie de (1.6) peut être reparamétrée en effets de régression
linéaire non restreinte
avec les covariables de la
régression
pour la première équation et
pour la seconde. Avec ce
reparamétrage,
n’influe plus sur les effets
fixes de la régression, et la matrice
peut alors être reparamétrée
sous la forme générale
ou par
et
car il y a maintenant une
correspondance 1-1 entre
et
ou
Il y a deux cas dans lesquels
cette condition sur
est vraie : (i) si les
covariables de régression sont identiques dans les deux équations
ou (ii) si
est seulement un terme
d’ordonnée à l’origine
et
contient aussi une ordonnée à
l’origine.
Datta, Delaigle, Hall et Wang (2018)
étudient le modèle SEM au niveau du domaine, tandis que Huang et Bell (2012)
examinent l’utilisation de modèles bivariés généraux pour l’estimation sur
petits domaines. Ghosh, Sinha et Kim (2006) et Torabi, Datta et Rao (2009) ont
étudié des modèles analogues au niveau de l’unité. Fuller (1987) et Buonaccorsi
(2010) décrivent d’autres modèles d’erreur de mesure, y compris des modèles non
linéaires et le modèle de Berkson.
Il faut noter que les modèles FEM et SEM
modélisent la relation entre les quantités réelles non observées
et
tandis que le modèle de FH naïf modélise la
relation entre
et
la valeur observée
contient du bruit sous forme d’erreur d’échantillonnage généralement
hétéroscédastique, et cette hétéroscédasticité produit la spécification erronée
du modèle naïf indiquée plus haut.
Si
et
sont des estimations provenant du même
échantillon d’enquête, leurs erreurs d’échantillonnage
et
seront probablement corrélées. Pour en tenir compte,
on peut remplacer les 0 extradiagonaux de
dans (1.5) par les
appropriées (estimées à l’aide de microdonnées
d’enquête). Si cela fonctionne pour le modèle SEM, la corrélation entre
et
implique que la variable explicative
et
l’erreur d’échantillonnage
sont corrélées, ce qui contredit l’hypothèse
fondamentale du modèle de FH et peut causer de graves problèmes pour le modèle
de FH naïf. C’est pourquoi nous n’envisagerons pas cette situation ici.
Dans le présent article, nous comparons
les trois modèles possibles (modèle de FH naïf, modèle fonctionnel d’erreur de
mesure et modèle structurel d’erreur de mesure) en nous concentrant sur leurs
performances ou propriétés prédictives pour l’estimation sur petits domaines.
Un cas motivant consiste à utiliser le modèle de FH naïf quand une erreur de
mesure
est
présente, et à comparer l’exactitude prédictive du modèle de FH naïf à celle
des deux autres modèles. Nous comparons également les propriétés prédictives du
modèle fonctionnel d’erreur de mesure par rapport à celles du modèle structurel
d’erreur de mesure. Ces comparaisons sont réalisées à l’aide de formules
analytiques des erreurs quadratiques moyennes (EQM) quand les paramètres du
modèle sont connus (approximations de premier degré). Cette méthode donne de
bonnes approximations quand le nombre de domaines
est
grand. Elle est également pertinente en tant que terme habituellement dominant
dans les EQM pour les plus petites valeurs de
Puisque le modèle de FH naïf est mal spécifié,
nous précisons en quoi ses paramètres sont « connus ».
La section 2 résume certains
résultats théoriques pour les trois modèles, d’abord sur la convergence des
estimations de paramètres et ensuite sur la prédiction sur petits domaines,
traitant à la fois des prédicteurs ponctuels et de leurs EQM. Nous apportons
des résultats pour les trois modèles, d’abord pour les cas où le modèle FEM est
vrai, puis pour les cas où le modèle SEM est vrai. Les calculs de ces résultats
sont reportés à un rapport technique connexe (Bell, Chung, Datta, et Franco, 2018).
La section 3 compare, au moyen de tracés de contours, les EQM théoriques
des prédicteurs de petits domaines pour les trois modèles dans les gammes de
paramètres d’un modèle SEM vrai. La section 4 utilise les formules
théoriques d’EQM pour comparer les EQM de prédiction provenant des trois
modèles lorsqu’elles sont appliquées à un exemple empirique de modélisation des
taux de pauvreté des enfants d’âge scolaire dans les comtés américains. L’exemple
est tiré du programme Small Area Income and Poverty Estimates (SAIPE) du
U.S. Census Bureau. La section 5 présente les conclusions générales de l’article.
ISSN : 1712-5685
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