Erreur de mesure dans l’estimation sur petits domaines : comparaison de modèles fonctionnels, structurels et naïfs

Section 1. Introduction

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Les modèles linéaires mixtes, en particulier celui de Fay et Herriot (1979), ont généré beaucoup d’intérêt en matière d’estimation sur petits domaines. Le modèle de Fay-Herriot (FH) peut s’écrire de la sorte :

$$Y_i={\theta }_i+e_i{\theta }_i=z_i^{\prime }\delta +u_{i}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m(1.1)$$

où, pour les domaines $i$ indexés de 1 à $m,$ les $Y_i$ sont les estimations directes par sondage des quantités de population ${\theta }_i,$ les erreurs d’échantillonnage $e_i$ dans $Y_i$ sont supposées indépendantes $N\left(\mathrm{0,}{D}_i\right)$ avec $D_i$ considérées comme connues (les valeurs sont en fait estimées au moyen de microdonnées d’enquête), les $z_i$ sont des vecteurs $q\times 1$ de covariables de régression avec un vecteur de coefficient correspondant $\delta ,$ et les effets aléatoires $u_i$ sont distribués comme suit : $\text{i}\text{.i}\text{.d}\text{. }N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_u^2\right)$ et indépendamment des $e_i.$

Dans certains cas, il peut être souhaitable d’avoir un modèle augmenté pour ${\theta }_i$ avec une ou plusieurs covariables $X_i$ qui sont elles-mêmes des estimations tirées d’une autre enquête estimant les caractéristiques qu’on présume liées à ${\theta }_i.$ Une des méthodes consiste à simplement ignorer l’erreur d’échantillonnage dans $X_i,$ en la traitant comme les covariables dans $z_i$ que nous supposerons non sujettes aux erreurs d’échantillonnage ou de mesure. Nous appellerons cette méthode le modèle de Fay-Herriot naïf, que nous écrivons comme suit, en prenant, pour simplifier, le cas d’une seule de ces covariables $X_i:$

$$Y_i={\theta }_i+e_i{\theta }_i={\beta }_N{X}_i+z_i^{\prime }{\delta }_N+u_{i\text{}\mathrm{,}N}\mathrm{.}(1.2)$$

Nous ajoutons les indices $«N»$ aux coefficients de régression et aux effets aléatoires $\left(u_{i\text{}\mathrm{,}N}\right)$ pour distinguer ce modèle des futurs modèles d’erreur de mesure. Le modèle suppose que $u_{i\text{}\mathrm{,}N}\sim \text{i}\text{.i}\text{.d}\text{.}$ $N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{u\text{}\mathrm{,}N}^2\right),$ bien qu’avec l’erreur d’échantillonnage hétéroscédastique dans $X_i,$ l’hypothèse selon laquelle $\mathrm{var}\left(u_{i\text{}\mathrm{,}N}\right)$ est constante soit erronée, ce qui implique que le modèle (1.2) est mal spécifié. Ce point est discuté plus en détail plus loin.

On peut substituer au modèle de FH naïf un modèle d’erreur de mesure pour tenir compte de l’erreur d’échantillonnage (de mesure) dans $X_i.$ On suppose que $x_i$ désigne la caractéristique de la population estimée par $X_i$ avec une erreur d’échantillonnage ${\eta }_i,$ où les valeurs ${\eta }_i$ sont supposées distribuées indépendamment $N\left(\mathrm{0,}{C}_i\right)$ et avec la valeur $C_i$ considérée comme connue (en fait estimée au moyen de microdonnées d’enquête). Une généralisation du modèle (1.1) pour inclure la covariable $X_i$ tout en tenant compte de son erreur d’échantillonnage peut se formuler comme suit :

$$Y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\theta }_i+e_i{\theta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\beta x_i+z_i^{\prime }\delta +u_i(1.3)$$

$$X_i\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i+{\eta }_i\mathrm{.}(1.4)$$

Si l’on suppose que les valeurs $x_i$ sont des quantités inconnues fixes, alors le modèle défini par (1.3)-(1.4) est appelé modèle fonctionnel d’erreur de mesure (modèle FEM). Ce modèle est examiné par Fuller (1987) et a été étudié pour ce qui est de l’estimation sur petits domaines par Ybarra et Lohr (2008), Arima, Datta et Liseo (2015, 2016), et Arima, Bell, Datta, Franco et Liseo (2017). Ghosh et Sinha (2007), Datta, Rao et Torabi (2010) et Arima, Datta et Liseo (2012) ont étudié des modèles analogues d’erreur de mesure au niveau de l’unité pour ce qui est de l’estimation sur petits domaines.

Une autre solution de rechange au modèle de FH naïf consiste à spécifier un modèle pour $x_i$ dans (1.4) qui, avec (1.3), implique des modèles bivariés pour ${\left({\theta }_i\mathrm{,}{x}_i\right)}^{\prime }$ et ${\left(Y_i\mathrm{,}{X}_i\right)}^{\prime }.$ On parle de modèle structurel d’erreur de mesure (modèle SEM). Si $x_i$ suit le modèle de régression $x_i\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_{xi}^{\prime }{\delta }_x+v_i,$ avec les covariables $z_{xi}$ et les résidus $v_i\sim \text{i}\text{.i}\text{.d}\mathrm{.}$ $N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_v^2\right)$ indépendants de $u_i,$ alors le modèle résultant pour ${\left(Y_i\mathrm{,}{X}_i\right)}^{\prime }$ peut s’écrire comme suit :

$$\begin{array}{lll}\left[\begin{array}{c}{Y}_i\\ X_i\end{array}\right]\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{c}{\theta }_i\\ x_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_i\\ {\eta }_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_i\\ {\eta }_i\end{array}\right]\sim \text{i}\text{.i}\text{.d}\text{.}N\left(\mathrm{0,}\Omega \right)\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{cc}{D}_i& 0\\ 0& C_i\end{array}\right]\hfill & (1.5)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\left[\begin{array}{cc}{z}_i^{\prime }& \beta z_{xi}^{\prime }\\ 0& z_{xi}^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta \\ {\delta }_x\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_i+\beta v_i\\ v_i\end{array}\right]\right)+\left[\begin{array}{c}{e}_i\\ {\eta }_i\end{array}\right]\hfill & (1.6)\hfill \\ \left[\begin{array}{c}{u}_i+\beta v_i\\ v_i\end{array}\right]\hfill & \sim \text{i}\text{.i}\text{.d}\text{.}N\left(\mathrm{0,}\Sigma \right)\Sigma \mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_u^2+{\beta }^2{\sigma }_v^2& \beta {\sigma }_v^2\\ \beta {\sigma }_v^2& {\sigma }_v^2\end{array}\right]\mathrm{.}\hfill & (1.7)\hfill \end{array}$$

Ce modèle est différent d’un modèle de FH bivarié type, car le paramètre $\beta$ influe à la fois sur la fonction de régression à la moyenne pour $Y_i$ et la matrice de covariance des effets aléatoires $\Sigma .$ Cependant, si les covariables $z_{xi}$ sont des fonctions linéaires des covariables $z_i,$ alors la régression des effets fixes faisant partie de (1.6) peut être reparamétrée en effets de régression linéaire non restreinte ${\left[z_i^{\prime }{\delta }_y\mathrm{<mi>\; </mi>}{z}_{xi}^{\prime }{\delta }_x\right]}^{\prime }$ avec les covariables de la régression $z_i$ pour la première équation et $z_{xi}$ pour la seconde. Avec ce reparamétrage, $\beta$ n’influe plus sur les effets fixes de la régression, et la matrice $\Sigma$ peut alors être reparamétrée sous la forme générale $\Sigma \mathrm{<mo>=</mo>}\left[{\sigma }_{jk}\right],$ ou par ${\sigma }_{11},$ ${\sigma }_{22},$ et $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{12}/\sqrt{{\sigma }_{11}{\sigma }_{22}}\in \left[-\text{1,}\text{1}\right],$ car il y a maintenant une correspondance 1-1 entre $\left({\sigma }_u^2\mathrm{,}{\sigma }_v^2\mathrm{,}\beta \right)$ et $\left({\sigma }_{11}\mathrm{,}{\sigma }_{22}\mathrm{,}{\sigma }_{12}\right)$ ou $\left({\sigma }_{11}\mathrm{,}{\sigma }_{22}\mathrm{,}\rho \right).$ Il y a deux cas dans lesquels cette condition sur $z_{xi}$ est vraie : (i) si les covariables de régression sont identiques dans les deux équations $\left(z_{xi}\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_i\right),$ ou (ii) si $z_{xi}$ est seulement un terme d’ordonnée à l’origine $\left(z_{xi}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)$ et $z_i$ contient aussi une ordonnée à l’origine.

Datta, Delaigle, Hall et Wang (2018) étudient le modèle SEM au niveau du domaine, tandis que Huang et Bell (2012) examinent l’utilisation de modèles bivariés généraux pour l’estimation sur petits domaines. Ghosh, Sinha et Kim (2006) et Torabi, Datta et Rao (2009) ont étudié des modèles analogues au niveau de l’unité. Fuller (1987) et Buonaccorsi (2010) décrivent d’autres modèles d’erreur de mesure, y compris des modèles non linéaires et le modèle de Berkson.

Il faut noter que les modèles FEM et SEM modélisent la relation entre les quantités réelles non observées ${\theta }_i$ et $x_i,$ tandis que le modèle de FH naïf modélise la relation entre ${\theta }_i$ et la valeur observée $X_i.$ $X_i$ contient du bruit sous forme d’erreur d’échantillonnage généralement hétéroscédastique, et cette hétéroscédasticité produit la spécification erronée du modèle naïf indiquée plus haut.

Si $Y_i$ et $X_i$ sont des estimations provenant du même échantillon d’enquête, leurs erreurs d’échantillonnage $e_i$ et ${\eta }_i$ seront probablement corrélées. Pour en tenir compte, on peut remplacer les 0 extradiagonaux de $\Omega$ dans (1.5) par les $\mathrm{cov}\left(e_i\mathrm{,}{\eta }_i\right)$ appropriées (estimées à l’aide de microdonnées d’enquête). Si cela fonctionne pour le modèle SEM, la corrélation entre $e_i$ et ${\eta }_i$ implique que la variable explicative $X_i$ et l’erreur d’échantillonnage $e_i$ sont corrélées, ce qui contredit l’hypothèse fondamentale du modèle de FH et peut causer de graves problèmes pour le modèle de FH naïf. C’est pourquoi nous n’envisagerons pas cette situation ici.

Dans le présent article, nous comparons les trois modèles possibles (modèle de FH naïf, modèle fonctionnel d’erreur de mesure et modèle structurel d’erreur de mesure) en nous concentrant sur leurs performances ou propriétés prédictives pour l’estimation sur petits domaines. Un cas motivant consiste à utiliser le modèle de FH naïf quand une erreur de mesure $\left({\eta }_i\right)$ est présente, et à comparer l’exactitude prédictive du modèle de FH naïf à celle des deux autres modèles. Nous comparons également les propriétés prédictives du modèle fonctionnel d’erreur de mesure par rapport à celles du modèle structurel d’erreur de mesure. Ces comparaisons sont réalisées à l’aide de formules analytiques des erreurs quadratiques moyennes (EQM) quand les paramètres du modèle sont connus (approximations de premier degré). Cette méthode donne de bonnes approximations quand le nombre de domaines $m$ est grand. Elle est également pertinente en tant que terme habituellement dominant dans les EQM pour les plus petites valeurs de $m.$ Puisque le modèle de FH naïf est mal spécifié, nous précisons en quoi ses paramètres sont « connus ».

La section 2 résume certains résultats théoriques pour les trois modèles, d’abord sur la convergence des estimations de paramètres et ensuite sur la prédiction sur petits domaines, traitant à la fois des prédicteurs ponctuels et de leurs EQM. Nous apportons des résultats pour les trois modèles, d’abord pour les cas où le modèle FEM est vrai, puis pour les cas où le modèle SEM est vrai. Les calculs de ces résultats sont reportés à un rapport technique connexe (Bell, Chung, Datta, et Franco, 2018). La section 3 compare, au moyen de tracés de contours, les EQM théoriques des prédicteurs de petits domaines pour les trois modèles dans les gammes de paramètres d’un modèle SEM vrai. La section 4 utilise les formules théoriques d’EQM pour comparer les EQM de prédiction provenant des trois modèles lorsqu’elles sont appliquées à un exemple empirique de modélisation des taux de pauvreté des enfants d’âge scolaire dans les comtés américains. L’exemple est tiré du programme Small Area Income and Poverty Estimates (SAIPE) du U.S. Census Bureau. La section 5 présente les conclusions générales de l’article.

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