Comparaison des méthodes de biais conditionnel et de Kokic et Bell pour les sondages poissonniens et stratifiés
Section 3. Rappel sur les méthodes basées sur le biais conditionnel

• Précédent
• Suivant

3.1  Définition

Le biais conditionnel d’un estimateur $\widehat{\theta }$ du paramètre $\theta ,$ pour une unité $i\in U$ a été défini dans le cadre de la Théorie des sondages par Moreno-Rebollo et coll. (1999) de la façon suivante :

$$B_{1i}^{\widehat{\theta }}=E_P\left(\widehat{\theta }-\theta |I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)\mathrm{,}(3.1)$$

$$B_{0i}^{\widehat{\theta }}\mathrm{<mo>=</mo>}{E}_P\left(\widehat{\theta }-\theta |I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\right)\mathrm{.}(3.2)$$

Le biais conditionnel d’une unité échantillonnée est égal à la moyenne de la différence entre $\widehat{\theta }$ et $\theta$ sur l’ensemble des échantillons qui contiennent cette unité. De la même façon, le biais conditionnel d’une unité non échantillonnée est égal à la moyenne de l’erreur d’échantillonnage sur l’ensemble des échantillons ne contenant pas cette unité.

Dans le cas d’un plan de sondage à une phase, le frenchbiais conditionnel de l’estimateur Horvitz-Thompson $\widehat{T}\left(X\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in S}}\frac{x_i}{{\pi }_i}$ associé à une unité échantillonnée $i$ est défini par

$$B_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}={\displaystyle \sum _{j\in U}}\left(\frac{{\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j}{{\pi }_i{\pi }_j}\right)x_j(3.3)$$

où ${\pi }_{ij}$ désigne la probabilité d’inclusion conjointe des unités $i$ et $j$ dans l’échantillon. Le biais conditionnel (3.3) est, en général, inconnu puisque les valeurs de la variable d’intérêt ne sont observées que pour les unités dans l’échantillon. En pratique, il est possible de l’estimer sans biais, ou de manière robuste, à partir de l’échantillon. Nous considérons l’estimateur conditionnellement sans biais (voir, par exemple, Beaumont et coll., 2013):

$${\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in S}}\left(\frac{{\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j}{{\pi }_j{\pi }_{ij}}\right)x_j.(3.4)$$

Cet estimateur est conditionnellement sans biais au sens où $E_P\left({\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}|I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{B}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}$ sous réserve que les ${\pi }_{ij}$ soient strictement positifs. De plus, le biais conditionnel (3.3) et son estimateur (3.4) dépendent des probabilités d’inclusion ${\pi }_i$ et des probabilités d’inclusion conjointes ${\pi }_{ij}.$ Autrement dit, le biais conditionnel est une mesure qui tient compte du plan de sondage.

Pour un plan de Poisson, le biais conditionnel de l’unité échantillonnée $i$ est donné par

$$B_i^{\widehat{T}\left(X\right)}\left(I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(d_i-1\right)x_i\mathrm{.}(3.5)$$

Contrairement au cas d’autres plans de sondage, comme le sondage aléatoire simple sans remise, le biais conditionnel (3.5) est connu directement pour toutes les unités de l’échantillon et ne nécessite pas d’estimation à partir de l’échantillon, car il ne dépend d’aucun paramètre de la population finie.

Le biais conditionnel, comme l’ont montré Beaumont et coll. (2013), est une mesure directe de l’influence de chaque unité sur l’erreur d’estimation, la deuxième relation étant vérifiée pour les plans de sondage à entropie maximale :

$$V\left[\widehat{T}\left(X\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{B}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}{y}_i(3.6)$$

$$\widehat{T}\left(X\right)-T\left(X\right)\approx {\displaystyle \sum _{i\in S}}{B}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}+{\displaystyle \sum _{i\in U-S}}{B}_{0i}^{\widehat{T}\left(X\right)}\text{}\mathrm{.}(3.7)$$

3.2  Un estimateur robuste basé sur le biais conditionnel

Comme le montrent les formules (3.6) et (3.7), le biais conditionnel (CB) mesure l’effet de chaque unité sur l’erreur d’estimation et sur la variance d’estimation. Un estimateur robuste devrait ainsi être défini de telle manière que les observations de l’échantillon n’ont que des valeurs contrôlées et limitées de leur biais conditionnel. En se basant sur cette idée, Beaumont et coll. (2013) ont suggéré d’utiliser un estimateur de la forme :

$$\begin{array}{ll}{\widehat{T}}^{\text{CB}}\left(X\right)\left(c\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{T}\left(X\right)+{\displaystyle \sum _{i\in S}}{\Psi }_c\left[{\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}\right]-{\displaystyle \sum _{i\in S}}{\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{T}\left(X\right)-{\displaystyle \sum _{i\in S}}\left[{\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}-{\Psi }_c\left({\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}\right)\right]\hfill \end{array}$$

avec ${\Psi }_c$ la fonction de Huber définie par

$${\Psi }_c\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}c\hfill & \text{si}t\ge c\hfill \\ t\hfill & \text{si}-c<t<c\hfill \\ -c\hfill & \text{si}-c\le t\hfill \end{array}$$

et ${\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}$ l’estimateur défini en (3.4).

La fonction de Huber est utilisée pour limiter l’influence des unités les plus influentes en tronquant leur biais conditionnel. Le paramètre $c$ peut être choisi selon différents critères d’optimisation de l’estimateur robuste. Par exemple, $c$ peut être choisi afin d’obtenir l’estimation ayant, sous le plan de sondage, l’erreur quadratique moyenne la plus faible. Cependant, il est relativement complexe voire parfois impossible d’obtenir une expression analytique de $c$ pour un plan de sondages donné.

Beaumont et coll. (2013) suggèrent de choisir $c^{*}\in {\text{argmin}}_c{\text{argmax}}_i\left|{\widehat{B}}_{1i}^{{\widehat{T}}^{\text{CB}}\left(X\right)}\left(c\right)\right|,$ i.e., la valeur de la constante $c$ pour laquelle la valeur la plus élevée de la valeur absolue du biais conditionnel estimé des observations de l’échantillon sur l’estimateur robuste est la plus faible. Dans ce cas, l’estimateur robuste est égal à :

$${\widehat{T}}^{\text{CB}}\left(X\right)\left(c^{*}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{T}}^{\text{BHR}}\left(X\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{T}\left(X\right)-\frac{{\text{min}}_i{\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}+{\text{max}}_i{\widehat{B}}_{1i}^{\widehat{T}\left(X\right)}}{2}.(3.8)$$

L’estimateur de Beaumont, Haziza et Ruiz-Gazen est ainsi simple à mettre en œuvre. Par rapport à la méthode de Kokic et Bell, il est plus général, car il est valable pour tous les plans de sondage et ne nécessite aucune information extérieure à l’échantillon pour être déterminé. De plus, il ne repose sur aucune hypothèse relative à la variable d’intérêt. L’estimateur obtenu est robuste sous le plan de sondage, alors que l’estimateur de Kokic et Bell tient compte du plan de sondage et de la distribution de la variable d’intérêt. Il n’est cependant pas conçu pour avoir l’erreur quadratique moyenne la plus faible, mais pour obtenir un estimateur sur lequel l’influence de chaque unité est limitée, en minimisant l’influence de l’unité la plus influente.

La méthode a été étendue pour intégrer plus d’éléments du plan de sondage et s’adapter à certaines situations. Favre-Martinoz et coll. (2016) ont étendu la méthode pour un plan de sondage à deux phases, ce qui permet notamment de tenir compte de la non-réponse quand celle-ci est assimiliée à une seconde phase de tirage poissonnienne; Favre-Martinoz et coll. (2015) ont proposé une méthode pour garantir la cohérence des estimateurs robustes obtenus quand les paramètres d’intérêt sont les totaux d’une variable dans différents domaines inclus les uns dans les autres.

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant