Décomposition des inégalités salariales selon le sexe par calage : application à l’Enquête suisse sur la structure des salaires
Section 5. L’approche du calage

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5.1  La méthode de calage

La méthode de calage a été introduite par Deville et Särndal (1992). L’idée qui sous-tend la technique est d’utiliser l’information sur certaines variables auxiliaires disponibles au niveau de la population pour estimer une fonction d’une variable d’intérêt. Habituellement, les variables auxiliaires et la variable d’intérêt sont corrélées. Les estimations résultantes sont convergentes et efficaces.

Sous l’hypothèse que l’on dispose des poids de sondage $d_k$ et que l’on connaît les totaux des données auxiliaires au niveau de la population exprimés par

$$X\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}{x}_k}\mathrm{,}$$

de nouveaux poids $w_k\mathrm{,}k\in S$ doivent être construits, de manière que la contrainte (ou équation de calage) qui suit soit respectée

$${\displaystyle \sum _{k\in S}{w}_k{x}_k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}{x}_k}\mathrm{.}(5.1)$$

Les poids sont déterminés en résolvant en $\lambda$ les équations de calage qui deviennent

$${\displaystyle \sum _{k\in S}{w}_k{x}_k}\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S}{d}_k{F}_k\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)x_k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}{x}_k}\mathrm{,}$$

où $F_k\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)$ est la fonction de calage. L’estimation par calage résultante de $Y$ est

$$\widehat{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S}{d}_k{y}_k{F}_k\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)}.(5.2)$$

Dans la partie qui suit, nous utiliserons le cas linéaire, où la pseudo fonction de distance est la distance du khi carré et la fonction de calage est donnée par $F_k\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}+x_k^{ㄒ}\lambda .$ Dans le second cas, nous appliquerons la méthode du raking ratio, qui utilise la pseudo-distance d’entropie et où la fonction de calage est donnée par $F_k\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(x_k^{ㄒ}\lambda \right).$

5.2  Calage des caractéristiques des femmes sur les caractéristiques des hommes

Supposons que, pour toutes les unités de l’échantillon, il existe un poids de sondage donné $d_k.$ Dans le présent contexte, les variables auxiliaires utilisées dans le processus de calage sont certaines caractéristiques mesurées pour chaque individu. L’objectif est de « détourner » la technique de calage afin de calculer un système de pondération qui ajuste les totaux des variables auxiliaires des femmes sur les totaux des hommes. La variable d’intérêt est le logarithme du salaire.

Dans l’échantillon de femmes, de nouveaux poids $w_k$ proches de $d_k$ sont calculés, de manière que ${\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}}G\left(w_k\mathrm{,}{d}_k\right)$ soit minimisée. L’équation de calage qui suit est satisfaite

$${\displaystyle \sum _{k\in S_F}{w}_k{x}_k}\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\widehat{\tilde{X}}}_M\mathrm{,}(5.3)$$

où le vecteur ${\widehat{\tilde{X}}}_M$ contient les totaux des caractéristiques des hommes ajustés sur le total des poids des femmes divisé par le total des poids des hommes.

$${\widehat{\tilde{X}}}_M\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_M}{d}_k}}{\displaystyle \sum _{k\in S_M}{d}_k{x}_k}\mathrm{.}$$

La division de l’équation de calage (5.3) par ${\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k}$ donne

$$\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k{x}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\widehat{\tilde{X}}}_M}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k}}\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\widehat{\overline{X}}}_M\mathrm{.}(5.4)$$

Donc, avec les nouveaux poids $w_k,$ les nouvelles moyennes des caractéristiques des femmes sont égales à celles des hommes. Une autre égalité intéressante est

$${\displaystyle \sum _{k\in S_F}{w}_k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k}\mathrm{,}(5.5)$$

qui est vérifiée parce que $x_{k1}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}k\in S_M$ et le calage est effectué dessus. Si

$${\widehat{\overline{\tilde{X}}}}_M\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k{x}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k}}\mathrm{,}$$

en regroupant les équations (5.4) et (5.5), cela signifie que

$${\widehat{\overline{\tilde{X}}}}_M\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\overline{X}}}_M\mathrm{.}(5.6)$$

L’estimateur de la moyenne contrefactuelle des salaires des femmes est donc

$${\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k{y}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k{y}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k}}\mathrm{.}$$

5.3  Calage linéaire

Résultat 2 La moyenne contrefactuelle des salaires des femmes obtenue en utilisant le calage linéaire est égale à la moyenne contrefactuelle des salaires obtenue en utilisant la méthode BO pondérée, c’est-à-dire ${\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\overline{X}}}^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_F\mathrm{.}$

Preuve

Afin de déterminer le vecteur $\lambda$ dans le cas où l’on utilise la pseudo-distance du khi carré, l’équation qui suit doit être résolue

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\tilde{X}}}_M\hfill & ={\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_{k}F\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k\left(1+x_k^{ㄒ}\lambda \right)}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k}+\left({\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k{x}_k^{ㄒ}}\right)\lambda \mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Donc,

$$\lambda \mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\left({\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k{x}_k^{ㄒ}}\right)}^{-1}\left({\widehat{\tilde{X}}}_M-{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k}\right)\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{T}^{-1}\left({\widehat{\tilde{X}}}_M-{\widehat{X}}_F\right)\mathrm{,}$$

où

$$T\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k{x}_k^{ㄒ}}\mathrm{.}$$

Donc,

$$w_k\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_{k}F\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\left\{1+x_k^{ㄒ}{T}^{-1}\left({\widehat{\tilde{X}}}_M-{\widehat{X}}_F\right)\right\}\mathrm{.}$$

En utilisant le résultat de l’équation précédente, le numérateur de l’expression (5.2) devient

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_{F|M}^{\text{LC}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_{k}F\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)y_k}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{y}_k}+{\left({\widehat{\tilde{X}}}_M-{\widehat{X}}_F\right)}^{ㄒ}{T}^{-1}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k{y}_k}\mathrm{,}(5.7)\hfill \end{array}$$

où ${\widehat{Y}}_{F|M}^{\text{LC}}$ désigne le total des logarithmes des salaires dans l’échantillon de femmes, quand le total est construit en utilisant la pseudo-distance du khi carré. Soit

$${\widehat{\beta }}_F\mathrm{<mo>=</mo>}{T}^{-1}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k{y}_k}\mathrm{.}$$

Le vecteur ${\widehat{\beta }}_F$ a déjà été défini de la même façon dans l’équation (3.1) pour la méthode BO pondérée. Nous réécrivons l’équation (5.7) sous la forme

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_{F|M}^{\text{LC}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{y}_k}+{\left({\widehat{\tilde{X}}}_M-{\widehat{X}}_F\right)}^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_F\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_F+{\left({\widehat{\tilde{X}}}_M-{\widehat{X}}_F\right)}^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_F\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\tilde{X}}}_M^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_F\mathrm{,}(5.8)\hfill \end{array}$$

parce que, sous la condition du résultat 1, ${\widehat{X}}_F^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_F\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_F\mathrm{.}$ En divisant (5.8) par ${\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k}\mathrm{,}$ nous obtenons le résultat 2.

Si l’on utilise la pseudo-distance du khi carré, les poids résultants n’ont pas de bornes. Cela signifie que les poids de calage pourraient être négatifs. Même si cette approche de calage donne les mêmes résultats que la méthode BO pour les salaires moyens, nous recommandons d’utiliser une approche qui donne des poids non négatifs.

5.4  Calage par raking ratio

La deuxième approche de calage s’appuie sur la pseudo-distance d’entropie. Elle est également appelée calage par « raking ratio ». Si l’on utilise la pseudo-distance d’entropie, l’équation (5.3) devient

$${\widehat{\tilde{X}}}_M\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_{k}F\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k{x}_k\text{exp}\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)}\mathrm{.}(5.9)$$

Ce système d’équations résultant ne peut pas être résolu analytiquement. Cependant, on peut trouver la valeur de $\lambda$ au moyen de l’algorithme de Newton-Raphson.

L’équation (5.2) peut maintenant s’écrire

$${\widehat{Y}}_{F|M}^{\text{RRC}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k\text{exp}\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)y_k}\mathrm{,}$$

où ${\widehat{Y}}_{F|M}^{\text{RRC}}$ désigne le total du logarithme du salaire dans l’échantillon de femmes, quand le total est construit en utilisant le calage par raking ratio. La moyenne contrefactuelle des salaires des femmes s’écrit

$${\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}^{\text{RRC}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\text{exp}\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)y_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\text{exp}\left(x_k^{ㄒ}\lambda \right)}}\mathrm{.}$$

L’équation qui précède est très similaire à l’équation (4.4). La seule différence tient à l’estimation des paramètres $\lambda$ et $\gamma .$ Le vecteur $\lambda$ contient les multiplicateurs de Lagrange résolvant l’équation 5.9 sous la contrainte (5.1), tandis que l’on trouve le vecteur $\gamma$ par la méthode du maximum de vraisemblance.

Après le calcul des poids de calage $w_k$ définis en (5.3) et en utilisant l’information qui figure dans l’équation (5.6), il résulte que

$${\widehat{\overline{X}}}_M\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{\text{RRC}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{x}_k{w}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{w}_k}}\mathrm{,}$$

qui assure que la part résiduelle de l’effet de structure définie dans l’équation (4.8) sera nulle. Il s’agit d’une solution au problème présenté à la section 4.3. Cette approche de calage remédie aussi au problème des poids négatifs que l’on peut obtenir en utilisant la pseudo-distance du khi carré.

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