La modélisation espace-état appliquée aux séries chronologiques de l’Enquête sur la population active des Pays-Bas : sélection de modèles et estimation de l’erreur quadratique moyenne
Section 2. Enquête sur la population active des Pays-Bas

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2.1 Plan de sondage

L’Enquête sur la population active (EPA) des Pays-Bas repose sur un plan de sondage avec renouvellement de panel depuis octobre 1999. Chaque mois, on prélève un échantillon d’adresses selon un plan d’échantillonnage stratifié à deux degrés. Les strates correspondent géographiquement à des régions. Les municipalités sont les unités primaires d’échantillonnage et les adresses, les unités secondaires. Tous les ménages résidant à une adresse sont compris dans l’échantillon. Nous considérerons ici les données d’observation de l’EPA entre janvier 2001 et juin 2010, période où on a recueilli les données de la première vague par des interviews sur place assistées par ordinateur (IPAO) et par les soins d’intervieweurs visitant à domicile les ménages échantillonnés. Après un maximum de six tentatives, l’intervieweur dépose une lettre pour le répondant, lui demandant d’appeler pour prendre rendez-vous. Quand un membre d’un ménage ne peut être contacté, on permet une interview par substitution auprès des membres du même ménage. Les répondants sont interviewés à nouveau à quatre reprises, à des intervalles trimestriels. Au cours de ces quatre vagues subséquentes, les données sont recueillies par interview téléphonique assistée par ordinateur (ITAO) et les personnes répondent à un questionnaire condensé permettant d’établir tout changement de leur situation sur le marché du travail. Les interviews par substitution sont permises. Les numéros de téléphone cellulaire et les numéros confidentiels de lignes terrestres sont recueillis dès la première vague pour prévenir toute érosion du panel. Au début de l’application du plan de sondage avec renouvellement de panel pour l’EPA, la taille brute d’échantillon était d’environ 6 200 adresses par mois en moyenne et, dans environ 65 % des cas, il s’agissait de ménages qui répondaient entièrement. Les taux de réponse des vagues qui suivent sont d’environ 90 % du taux de la vague qui précède.

L’estimateur par la régression généralisée (ERG) (Särndal et coll. 1992) est appliqué pour estimer la population active en chômage totale. Cet estimateur tient compte de la complexité du plan d’échantillonnage et exploite l’information auxiliaire disponible dans les registres pour corriger, du moins en partie, toute non-réponse sélective. Soit $Y_t^j$ l’ERG du nombre total de chômeurs dans le mois $t$ pour la $j^{\text{e}}$ vague de répondants. On obtient cinq estimations semblables par mois, chacune étant directement fondée sur l’échantillon ayant accédé à l’enquête dans le mois $t-l,$ $l\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{0,}\mathrm{3,}\mathrm{6,}\mathrm{9,}12\right\}.$ L’estimateur ERG de ce total de population se définit ainsi :

$$Y_t^j\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in s}{w}_{k\mathrm{,}t}}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{n_{k,t}}{y}_{i\mathrm{,}k\mathrm{,}t}}\right),(2.1)$$

où $y_{i\mathrm{,}k\mathrm{,}t}$ représente les observations de l’échantillon avec 1 si la $i^{\text{e}}$ personne dans le $k^{\text{e}}$ ménage est en chômage et avec zéro dans les autres cas; $n_{k\mathrm{,}t}$ est le nombre de personnes de 15 ans et plus dans le $k^{\text{e}}$ ménage; enfin, les $w_{k\mathrm{,}t}$ sont les poids de régression du ménage $k$ au moment $t.$ La méthode de Lemaître et Dufour (1987) sert à l’obtention de poids égaux pour toutes les personnes appartenant à un même ménage :

$$w_{k\mathrm{,}t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\pi }_{k\mathrm{,}t}}\left[1+\left(X_t-{\displaystyle \sum _{k\in s}}\frac{x_{k,t}}{{\pi }_{k\mathrm{,}t}}\right){\left({\displaystyle \sum _{k\in s}}\frac{x_{k,t}{x}_{k,t}^{{}^{\prime }}}{{\pi }_{k\mathrm{,}t}{g}_{k\mathrm{,}t}}\right)}^{-1}\frac{x_{k,t}}{g_{k\mathrm{,}t}}\right]\mathrm{,}(2.2)$$

où ${\pi }_{k\mathrm{,}t}$ est la probabilité d’inclusion du ménage $k$ au moment $t,$ $g_{k\mathrm{,}t}$ la taille du ménage $k$ au moment $t$ et $x_{k,t}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n_{k,t}}{x}_{i,k,t}},$ $x_{i,k,t}$ étant un vecteur de $J$ dimensions avec l’information auxiliaire de modèle de pondération sur la $i^{\text{e}}$ personne dans le $k^{\text{e}}$ ménage au moment $t.$ Le vecteur $X_t$ contient les totaux de population des variables auxiliaires. Le modèle de pondération est défini par les variables suivantes (le nombre de catégories figure entre parenthèses): âge(5)sexe + région(44)+ sexe(2) $\times$ âge(21)+âge(5) $\times$ état matrimonial(2)+ ethnicité(8), où $\times$ désigne l’interaction des variables et où âge(5)sexe est une variable en huit classes avec l’âge en cinq catégories, dont les deuxième, troisième et quatrième se détaillent pour les deux sexes.

La variance de l’estimateur ERG $Y_t^j$ est ainsi approchée :

$$\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\frac{n_{h\mathrm{,}t}}{n_{h\mathrm{,}t}-1}\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{h,t}}{\left(w_{k\mathrm{,}t}{\widehat{e}}_{k\mathrm{,}t}\right)}^2}-\frac{1}{n_{h\mathrm{,}t}}{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{h,t}}{w}_{k\mathrm{,}t}{\widehat{e}}_{k\mathrm{,}t}}\right)}^2\right)\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; <mo>\{</mo>\; 1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{4,}\mathrm{5\; <mo>\}</mo>\; ,}(2.3)$$

où les résidus ERG sont ${\widehat{e}}_{k\mathrm{,}t}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n_{k,t}}\left(y_{i\mathrm{,}k\mathrm{,}t}-x_{i,k,t}^{{}^{\prime }}{\widehat{\beta }}_t\right)};$ $n_{h\mathrm{,}t}$ est le nombre de ménages dans la strate $h$ $(H$ étant le nombre total de strates). Le vecteur ${\widehat{\beta }}_t$ est un estimateur du type Horvitz-Thompson du coefficient de régression qui vient de la régression de la variable cible sur les variables auxiliaires de l’échantillon.

2.2 Le modèle SCS de l’EPA

Il y a deux raisons pour lesquelles Statistics Netherlands a décidé de passer à un modèle de production fondé sur les séries chronologiques, en juin 2010. La première était que l’échantillon de l’EPA était de trop petite taille pour produire des estimations mensuelles. Puisque l’échantillon dans la première vague était constitué d’environ 4 000 ménages, en moyenne, les estimations ERG de la population active en chômage présentaient un coefficient de variation d’environ 4 % à l’échelon national, ce qui était jugé trop instable pour la publication des statistiques officielles. Il faut aussi dire que les chiffres mensuels du chômage doivent être diffusés pour six domaines en fonction d’une classification sexe-âge. Les estimations fondées sur le plan pour ces domaines présentent des coefficients de variation bien plus élevés. Une autre difficulté avec l’EPA est ce que l’on appelle le biais de renouvellement de l’échantillon (BRE), c’est-à-dire les différences systématiques entre les estimations issues des différentes vagues (voir, par exemple, Bailar 1975, ou Pfeffermann 1991). Parmi les explications courantes de ce biais figurent l'érosion de l’échantillon, les effets d’échantillon longitudinal et les différences entre les questionnaires et les modes propres aux diverses vagues successives. Dans le cas de l’EPA, on présume que les estimations de la première vague sont les plus fiables et que celles des vagues subséquentes sous-estiment systématiquement les effectifs de chômeurs. Pour un examen plus détaillé, voir van den Brakel et Krieg (2009).

Les deux problèmes sont résolus avec le modèle SCS qui utilise en entrée cinq séries d’estimations ERG pour les cinq vagues considérées. Dans cette modélisation, on décompose une série observée en plusieurs composantes inobservées (tendance et composante saisonnière, par exemple). On peut employer le filtre de Kalman, en combinaison facultative avec un algorithme de lissage, pour extraire ces composantes de la série chronologique observée. C’est ainsi qu’on sépare les estimations des composantes définissant le signal du chômage de la variance inexpliquée du paramètre de population, ainsi que de la variance d’échantillonnage. Cela donne généralement des estimations ponctuelles moins instables et des erreurs-types bien moindres que celles qui caractérisent les estimations ERG. En modélisant les différences systématiques entre les cinq séries en entrée, le modèle tient aussi compte du biais de renouvellement du panel.

Dans chaque mois $t,$ un vecteur à cinq dimensions $Y_t\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(Y_t^1{Y}_t^2{Y}_t^3{Y}_t^4{Y}_t^5\right)}^{\prime }$ est observé. Il contient les estimations ERG de nombre total de chômeurs pour les cinq vagues considérées. En se fondant sur Pfeffermann (1991), van den Brakel et Krieg (2009) ont conçu le modèle suivant pour les estimations ERG  $Y_t:$

$$Y_t=1_5{\xi }_t+{\lambda }_t+e_t\mathrm{,}(2.4)$$

où $1_5$ est un vecteur colonne à cinq dimensions de uns, où ${\xi }_t$ est le paramètre réel de population (scalaire) qui est inconnu, où ${\lambda }_t$ est un vecteur contenant des variables d’état pour le BRE et enfin où $e_t$ est un vecteur des erreurs d’enquête en corrélation avec les erreurs correspondantes des vagues antérieures (nous présentons cette structure plus loin). Pour le paramètre réel de population, nous posons que ${\xi }_t\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_t+{\gamma }_t+{\epsilon }_t,$ soit la somme d’une tendance stochastique $L_t,$ d’une composante saisonnière stochastique ${\gamma }_t,$ et d’une composante irrégulière ${\epsilon }_t\stackrel{\text{iid}}{\mathrm{~}}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{\epsilon }^2\right).$

Dans le cas de la tendance stochastique $L_t,$ nous posons ce qu’on appelle le modèle de lissage de la tendance :

$$\begin{array}{ll}{L}_t\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{L}_{t-1}+R_{t-1}\mathrm{,}\hfill \\ R_t\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{R}_{t-1}+{\eta }_{R\mathrm{,}t}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $L_t$ et $R_t$ correspondent au niveau et à la pente du paramètre réel de population; le terme de perturbation de la pente présente la distribution suivante : ${\eta }_{R\mathrm{,}t}\stackrel{\text{iid}}{\mathrm{~}}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_R^2\right).$

Pour la composante saisonnière ${\gamma }_t,$ nous posons le modèle trigonométrique :

$${\gamma }_t\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^6{\gamma }_{t\mathrm{,}l}}\mathrm{,}$$

où chacune de ces six harmoniques suit le processus suivant :

$$\begin{array}{ll}{\gamma }_{t\mathrm{,}l}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{cos}\left(h_l\right){\gamma }_{t-\mathrm{1,}l}+\text{sin}\left(h_l\right){\gamma }_{t-\mathrm{1,}l}^{*}+{\omega }_{t\mathrm{,}l}\mathrm{,}\hfill \\ {\gamma }_{t\mathrm{,}l}^{*}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}-\text{sin}\left(h_l\right){\gamma }_{t-\mathrm{1,}l}+\text{cos}\left(h_l\right){\gamma }_{t-\mathrm{1,}l}^{*}+{\omega }_{t\mathrm{,}l}^{*}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

$h_l\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi l}{6}$ étant la $l^{\text{e}}$ fréquence saisonnière, $l\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{1,\dots 6\right\}.$ Nous posons que les termes stochastiques ${\omega }_{t\mathrm{,}l}$ et ${\omega }_{t\mathrm{,}l}^{*}$ à espérance nulle sont normalement et indépendamment distribués et présentent la même variance dans et entre tous les harmoniques :

$$\begin{array}{ll}\text{Cov}\left({\omega }_{t\mathrm{,}l}\mathrm{,}{\omega }_{t^{\prime },l^{\prime }}\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Cov}\left({\omega }_{t\mathrm{,}l}^{*}\mathrm{,}{\omega }_{t^{\prime },l^{\prime }}^{*}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}(\begin{array}{ll}{\sigma }_{\omega }^2\hfill & \text{si}l=l^{\prime }\text{et}t=t^{\prime },\hfill \\ 0\hfill & \text{si}l\ne l^{\prime }\text{ou}t\ne t^{\prime },\hfill \end{array}\hfill \\ \text{Cov}\left({\omega }_{t\mathrm{,}l}\mathrm{,}{\omega }_{t\mathrm{,}l}^{*}\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\text{pour tous les }l\text{et}t\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

La deuxième composante en (2.4) est le biais de renouvellement (BRE). Nous posons que la première vague est sans biais, ainsi que l’expliquent van den Brakel et Krieg (2009). Les BRE des vagues qui suivent sont fonction du temps et se modélisent comme des processus à marche aléatoire. On justifie le tout en disant que les procédures de terrain subissent de fréquents changements et que, par ailleurs, les taux de réponse évoluent progressivement dans le temps, ce qui rend le BRE tributaire du temps, comme l’illustrent van den Brakel et Krieg (2015) (voir la figure 4.3). Le vecteur BRE des cinq vagues peut s’écrire ainsi : ${\lambda }_t\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(0{\lambda }_t^2{\lambda }_t^3{\lambda }_t^4{\lambda }_t^5\right)}^{\prime },$ avec :

$${\lambda }_t^j\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{t-1}^j+{\eta }_{\lambda \mathrm{,}t}^j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{4,}5\right\}\mathrm{.}$$

Nous posons que les perturbations BRE ne sont pas corrélées entre les vagues et que leur distribution est normale, c’est-à-dire ${\eta }_{\lambda \mathrm{,}t}^j\stackrel{\text{iid}}{\mathrm{~}}\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{\lambda }^2\right),$ avec égalité des variances dans les quatre vagues.

La dernière composante en (2.4) est celle des erreurs d’enquête pour les cinq estimations ERG, c’est-à-dire $e_t\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(e_t^1{e}_t^2{e}_t^3{e}_t^4{e}_t^5\right)}^{\prime }.$ Pour tenir compte de l’hétérogénéité des erreurs d’échantillonnage causée par les variations temporelles de taille d’échantillon, nous modélisons ces erreurs en proportion des erreurs-types fondées sur le plan, d’après le modèle d’erreur de mesure proposé par Binder et Dick (1990), c’est-à-dire $e_t^j\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{e}}_t^j{z}_t^j,$ où $z_t^j\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^j\right)}$ et ${\tilde{e}}_t^j$ sont des erreurs d’échantillonnage réduites ou normalisées en fonction d’un processus stationnaire que nous définirons plus loin. Ici, les $\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^j\right)$ sont les estimations des variances, fondées sur le plan, qui sont tirées des microdonnées en (2.3). Ils sont traités comme variances d’échantillonnage connues a priori dans le modèle SCS.

Comme l’échantillon de la première vague n’est pas en chevauchement avec les échantillons observés par le passé, les ${\tilde{e}}_t^t$ peuvent se modéliser comme du bruit blanc avec $E\left({\tilde{e}}_t^1\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ et $\text{Var}\left({\tilde{e}}_t^1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{v_1}^2.$ La variance des erreurs d’échantillonnage $e_t^t$ sera égale à la variance des estimations ERG si l’estimation de maximum de vraisemblance des ${\sigma }_{v_1}^2$ est à peu près égale à l’unité.

Dans les vagues qui suivent, les erreurs d’enquête sont en corrélation avec les erreurs d’enquête des vagues antérieures. Nous estimons le coefficient d’autocorrélation à partir des données d’enquête par la méthode que proposent Pfeffermann, Feder et Signorelli (1998). La structure d’autocorrélation est mise en modélisation autorégressive AR(1) et le coefficient d’autocorrélation s’obtient par les équations de Yule-Walker (van den Brakel et Krieg 2009):

$${\tilde{e}}_t^j\mathrm{<mo>=</mo>}\rho {\tilde{e}}_{t-3}^{j-1}+{\nu }_t^j\mathrm{,}{\nu }_t^j\stackrel{\text{iid}}{\mathrm{~}}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{v_j}^2\right)\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>4,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>5}\right\}\mathrm{.}$$

Nous posons que le coefficient d’autocorrélation du premier ordre est commun aux quatre vagues. Son estimation fait fonction d’information a priori dans le modèle. Comme ${\tilde{e}}_t^j$ représente un processus AR(1), $\text{Var}\left({\tilde{e}}_t^j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{v_j}^2/\left(1-{\rho }^2\right).$ La variance de l’erreur d’échantillonnage $e_t^j$ correspond approximativement à $\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^j\right)$ si l’estimation de maximum de vraisemblance des ${\sigma }_{v_j}^2$ est à peu près égale à $\left(1-{\rho }^2\right).$ Nous posons cinq hyperparamètres différents ${\sigma }_{v_j}^2\text{}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>4,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>5}\right\},$ pour les erreurs d’échantillonnage comme composantes des cinq vagues.

Nous regroupons les variances de perturbation avec le paramètre d’autocorrélation $\rho$ dans un vecteur d’hyperparamètres appelé $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\sigma }_R^2{\sigma }_{\omega }^2{\sigma }_{\epsilon }^2{\sigma }_{\lambda }^2{\sigma }_{v_1}^2{\sigma }_{v_2}^2{\sigma }_{v_3}^2{\sigma }_{v_4}^2{\sigma }_{v_5}^2\rho \right)}^{\prime },$ le vecteur contenant seulement les variances de perturbation est ${\theta }_{\sigma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\sigma }_R^2{\sigma }_{\omega }^2{\sigma }_{\epsilon }^2{\sigma }_{\lambda }^2{\sigma }_{v_1}^2{\sigma }_{v_2}^2{\sigma }_{v_3}^2{\sigma }_{v_4}^2{\sigma }_{v_5}^2\right)}^{\prime }.$ Pour éviter les estimations négatives, nous estimons à l’échelle logarithmique les hyperparamètres des variances de perturbation dans ${\theta }_{\sigma }.$ Nous employons la méthode du quasi-maximum de vraisemblance (voir, par exemple, Harvey 1989) où on traite les estimations $\widehat{\rho }$ comme étant connues. Dans cette étude, l’analyse numérique se fait avec OxMetrics 5 (Doornik 2007) en combinaison avec le progiciel SsfPack 3.0 (Koopman, Shephard et Doornik 2008).

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