Une note sur le concept d’invariance dans les plans d’échantillonnage à deux phases Section 1. IntroductionUne note sur le concept d’invariance dans les plans d’échantillonnage à deux phases Section 1. Introduction

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Les plans d’échantillonnage à deux phases sont souvent utilisés dans les enquêtes lorsque la base de sondage ne contient que peu d’information auxiliaire, voire aucune. L’échantillonnage à deux phases consiste à tirer d’abord un grand échantillon de la population (habituellement selon un plan d’échantillonnage rudimentaire) en vue de recueillir des données sur des variables liées aux caractéristiques d’intérêt pour lesquelles la collecte est peu coûteuse. La notion qui sous-tend l’échantillonnage à deux phases est la création d’une pseudo-base de sondage plus riche en information auxiliaire que la base de sondage originale. Ensuite, en se servant des variables observées à la première phase, on peut appliquer une procédure d’échantillonnage efficace pour tirer un sous-échantillon (habituellement petit) de l’échantillon de première phase en vue de recueillir des données sur les caractéristiques d’intérêt. L’échantillonnage à deux phases peut aussi s’avérer utile dans le contexte de la non-réponse, vu que l’ensemble de répondants est souvent traité comme un échantillon de deuxième phase.

Nous adoptons la notation suivante : considérons une population $U$ de taille $N.$ Un vecteur $I_1$ est généré conformément au plan d’échantillonnage $F\left(I_1\right)\mathrm{,}$ où $I_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(I_{11}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{I}_{1N}\right)}^{{\rm T}}$ désigne un vecteur de variables indicatrices telles que $I_{1i}$ est égal à 0 ou à 1. L’échantillon de première phase, désigné par $s_1\mathrm{,}$ est l’ensemble d’unités de la population pour lesquelles $I_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ et $n_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{I}_{1i}$ est la taille de $s_1.$ Ensuite, un vecteur $I_2$ est généré conformément au plan d’échantillonnage $F\left(I_2|I_1\right)\mathrm{,}$ où $I_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(I_{21}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{I}_{2N}\right)}^{{\rm T}}$ désigne le vecteur de variables indicatrices telles que $I_{2i}$ est égal à 0 ou à 1. L’échantillon de deuxième phase, désigné par $s_2,$ est l’ensemble d’unités de la population pour lesquelles $I_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ ainsi que $I_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ et  $n_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{I}_{1i}{I}_{2i}$ est la taille de $s_2.$ En pratique, notons que les variables indicatrices $I_{2i}$ ne sont pas générées pour les unités de population qui appartiennent à l’ensemble $U-s_1.$ Cependant, du moins conceptuellement, rien n’empêche de définir ces variables indicatrices pour les unités en dehors de l’échantillon de première phase.

Soit ${\pi }_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(I_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)$ et ${\pi }_{1ij}\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(I_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}{I}_{1j}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)$ les probabilités de sélection d’ordre un et d’ordre deux à la première phase. De même, soit ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(I_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|I_1\right)$ et ${\pi }_{2ij}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(I_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}{I}_{2j}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|I_1\right)$ les probabilités de sélection d’ordre un et d’ordre deux à la deuxième phase. Notons que les probabilités de sélection (d’ordre un et d’ordre deux) à la deuxième phase peuvent dépendre de l’échantillon réalisé $s_1.$

La présentation de l’article est la suivante. À la section 2, nous définissons les concepts d’invariance faible et forte, et donnons certains exemples. À la section 3, nous discutons des implications de l’invariance faible et de l’invariance forte du point de vue de l’inférence. En particulier, nous discutons de la décomposition inverse de la variance dans le cas d’un plan d’échantillonnage à deux phases fortement invariant.

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