Une note sur le concept d’invariance dans les plans d’échantillonnage à deux phases Section 2. Le concept d’invarianceUne note sur le concept d’invariance dans les plans d’échantillonnage à deux phases Section 2. Le concept d’invariance

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Nous faisons la distinction entre le concept d’invariance forte, qui peut également être appelée invariance en loi, et celui d’invariance faible, qui peut également être appelée invariance en les deux premiers moments.

Définition 1. Un plan d’échantillonnage à deux phases est dit fortement invariant (ou invariant en loi) à condition que

$$F\left(I_2|I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}F\left(I_2\right)(2.1)$$

Une implication de la définition 1 est que $F\left(I_1\mathrm{,}{I}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}F\left(I_1\right)F\left(I_2\right)$ et donc que, sous un plan d’échantillonnage à deux phases fortement invariant, le vecteur $I_2$ peut être généré avant le vecteur $I_1\mathrm{.}$ En pratique, le concept d’invariance forte n’est satisfait que pour quelques plans d’échantillonnage à deux phases seulement. Un premier exemple est l’échantillonnage de Poisson à la deuxième phase. Cela englobe le cas de la non-réponse, qui est souvent considéré comme un échantillonnage de Poisson de deuxième phase. Un autre exemple est celui de l’échantillonnage à deux degrés. Tous deux sont décrits plus en détail ci-dessous.

Exemple 1. À la première phase, un échantillon $s_1$  est sélectionné conformément à un plan d’échantillonnage arbitraire, suivi à la deuxième phase d’un échantillonnage de Poisson, où les probabilités de sélection ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)$  des unités sont fixées avant l’échantillonnage, ce qui signifie que ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2i}$  pour $i\in U.$  Puisque l’échantillonnage de Poisson est entièrement caractérisé par les probabilités de sélection d’ordre un, nous avons $F\left(I_2|I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}F\left(I_2\right).$  Par conséquent, ce plan d’échantillonnage est fortement invariant. Il peut être mis en œuvre comme il suit : premièrement, générer le vecteur  $I_2$ conformément au plan d’échantillonnage de Poisson $F\left(I_2\right)$  et, indépendamment, générer le vecteur $I_1$  conformément au plan $F\left(I_1\right).$

Exemple 2. L’échantillonnage en grappes à deux degrés peut être décrit comme suit. Au premier degré, on tire un échantillon de grappes de la population de grappes. Puis, au deuxième degré, dans chaque grappe sélectionnée au premier degré, on tire aléatoirement un échantillon d’éléments. Notons que, même dans ce cas, le vecteur $I_1$  est encore défini au niveau de l’élément, sa taille $N$  correspondant au nombre d’éléments dans la population. Dans ces conditions, la variable indicatrice de sélection d’un élément  $j$ dans la grappe  $i,$ $I_{1ij}\mathrm{,}$  est égale à 1 pour tous les éléments  $j$ à l’intérieur d’une grappe sélectionnée  $i.$ Par conséquent, l’échantillonnage à deux degrés est un cas particulier de l’échantillonnage à deux phases décrit à la section 1. Si le tirage dans les grappes est indépendant de la sélection des grappes au premier degré, nous sommes alors en présence d’un plan d’échantillonnage en grappes à deux degrés fortement invariant. Cela est satisfait si le tirage des éléments dans une grappe est indépendant du tirage des éléments dans toute autre grappe. Un plan d’échantillonnage en grappes à deux degrés fortement invariant peut être mise en œuvre en inversant l’acte d’échantillonnage : au lieu d’échantillonner d’abord les grappes, nous commençons par tirer les éléments dans chacune des grappes de la population, puis nous échantillonnons les grappes.

Notons que notre définition d’invariance forte pour les plans à deux degrés diffère légèrement de celle donnée dans Särndal, Swensson et Wretman (1992, chapitre 4), parce que cette dernière est restreinte aux grappes sélectionnées au premier degré. Cependant, à toute fin pratique, les définitions sont essentiellement équivalentes. Nous avons utilisé la définition 1 plutôt que la définition classique de Särndal et coll.(1992) parce qu’il n’est pas facile d’étendre cette dernière au cas de l’échantillonnage à deux phases.

Définition 2. Un plan d’échantillonnage à deux phases est dit faiblement invariant (ou invariant en les deux premiers moments) si

$${\pi }_{2i}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2i}et{\pi }_{2ij}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2ij}i\in s_1\mathrm{,}j\in s_1\mathrm{.}$$

Clairement, un plan d’échantillonnage à deux phases fortement invariant est faiblement invariant, mais le contraire n’est pas vrai. L’exemple qui suit décrit un plan d’échantillonnage qui est faiblement invariant, mais non fortement invariant.

Exemple 3. À la première phase, nous tirons un échantillon, $s_1\mathrm{,}$  de taille $n_1\mathrm{,}$  conformément à un plan d’échantillonnage à taille fixe arbitraire. De $s_1\mathrm{,}$  nous tirons un échantillon aléatoire simple sans remise, $s_2,$  de taille $n_2\mathrm{,}$  où $n_2$  est fixée avant l’échantillonnage. Ce plan d’échantillonnage à deux phases est faiblement invariant puisque ${\pi }_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_2/n_1\mathrm{,}$  et ${\pi }_{2ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_2\left(n_2-1\right)/n_1\left(n_1-1\right)\mathrm{,}$  qui restent les mêmes d’une réalisation de $I_1$  à l’autre. Cependant, il n’est pas fortement invariant, puisqu’il est impossible de générer $I_2$  avant $I_1$  et de satisfaire la contrainte de taille d’échantillon fixe pour $n_2.$  En fait, cela serait également vrai pour tout plan d’échantillonnage à taille fixe à la deuxième phase satisfaisant ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2i}$  et ${\pi }_{2ij}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2ij}\mathrm{.}$

Enfin, nous décrivons un plan d’échantillonnage à deux phases non invariant.

Exemple 4. À la première phase, nous tirons un échantillon aléatoire simple sans remise, $s_1\mathrm{,}$  de taille $n_1\mathrm{,}$  conformément à un plan d’échantillonnage à taille fixe arbitraire. Pour chaque $i\in s_1\mathrm{,}$  nous enregistrons une variable auxiliaire $x.$  De $s_1,$  nous tirons un échantillon de deuxième phase, $s_2\mathrm{,}$  de taille fixe $n_2\mathrm{,}$  suivant une procédure de sélection avec probabilité d’inclusion proportionnelle à la taille. Dans ce cas, nous avons

$${\pi }_{2i}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n_2{x}_i}{{\displaystyle \sum _{i\in U}}{x}_i{I}_{1i}}\mathrm{.}$$

Clairement, la probabilité d’inclusion de l’unité $i$  dans $s_2$  varie d’une réalisation de $I_1$  à l’autre. Puisque ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)$  est une fonction de $I_1\mathrm{,}$  elle n’est connue qu’après que l’échantillon de première phase $s_1$  soit effectivement réalisé.

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