Répartition optimale pour une enquête téléphonique à base de sondage double 4. Comparaison du protocole d’interview exhaustive et du protocole de présélectionRépartition optimale pour une enquête téléphonique à base de sondage double 4. Comparaison du protocole d’interview exhaustive et du protocole de présélection

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Nous allons comparer le protocole d’interview exhaustive et le protocole de présélection pour déterminer lequel est le moins coûteux ou le plus efficient. Ce genre de comparaison peut fournir des indications pratiques aux concepteurs des futures enquêtes téléphoniques à base de sondage double.

4.1 Comparaison des variances minimales et des coûts minimaux

Si l’on fixe le coût ou la variance, le rapport suivant donne une mesure d’appréciation de l’efficience :

$$E=\frac{\text{min}\left[\text{Var}\left\{\widehat{Y}\right\}\right]}{\text{min}\left[\text{Var}\left\{\ddot{Y}\right\}\right]}=\frac{\text{min}\left[C_{SC}\right]}{\text{min}\left[C_{TA}\right]}=\frac{{\left(\sqrt{c_A}{R}_A+\sqrt{{c^{‴}}_B}{R}_B\right)}^2}{ {\left(\sqrt{c_A}{Q}_A+\sqrt{c_B}{Q}_B\right)}^2}.(4.1)$$

Les valeurs inférieures à 1,0 favorisent l’approche de présélection, tandis que les valeurs supérieures à 1,0 favorisent l’approche exhaustive.

Nous allons illustrer l’efficience à l’aide de six scénarios concernant une enquête auprès d’une population hypothétique d’adultes. Pour tous les scénarios, la taille de la population est tirée de la Current Population Survey de mars 2010 (http://www.census.gov/cps/data/), et les proportions de population par situation d’usage du téléphone proviennent de la National Health Interview Survey couvrant la période de janvier à juin 2010 (Blumberg et Luke 2010). Les valeurs sont $N_A=\text{83 451 980,}$ $N_a=\text{15 162 402,}$ $N_{ab}=\text{68 289 578,}$ $N_b=\text{31 265 108,}$ $N_B=\text{99 554 686,}$ $\alpha =\text{0,818},$ et $\beta =\text{0,686}.$ Pour tous les scénarios, l’objet de l’enquête est l’estimation du nombre total d’adultes ayant un certain attribut.

Les hypothèses propres aux scénarios sont présentées dans le tableau suivant :

Les moyennes correspondent aux proportions d’adultes dotés de l’attribut. Le scénario 1 concerne une population où les moyennes des domaines sont similaires, la moyenne du domaine F-et-M étant légèrement supérieure aux moyennes des populations EXM et EXF. Le scénario 2 concerne une population où la moyenne du domaine EXF est légèrement supérieure aux moyennes des domaines des autres situations d’usage du téléphone. Le scénario 3 correspond à une population où les moyennes de tous les domaines de situation d’usage du téléphone sont égales. Le scénario 4 correspond à une population où la moyenne du domaine EXF est beaucoup plus grande que la moyenne du domaine EXM. Les scénarios 5 et 6 correspondent aux scénarios 1 et 2, respectivement, sauf que les moyennes sont égales à un (1) moins la moyenne correspondante. La moyenne du domaine EXM décroît du scénario 1 au scénario 6.

Nous avons sélectionné les six scénarios pour illustrer les diverses conditions dans lesquelles les moyennes des domaines EXM, EXF et F-et-M diffèrent. Des différences peuvent survenir du fait que les jeunes adultes, les Hispaniques, les adultes en simple cohabitation sans lien de parenté, les adultes locataires, et les adultes qui vivent dans la pauvreté ont tendance à appartenir à la catégorie EXM (Blumberg et Luke 2013). Pour se faire une idée plus précise des efficiences relatives de la démarche de l’interview exhaustive et de celle de la présélection, les concepteurs des futures enquêtes pourront reprendre nos calculs sur des scénarios de leur cru qu’il leur appartiendra de préciser, quitte à les adapter aux conditions particulières de leurs applications.

Les six scénarios seront évalués à l’aune de trois structures de coûts hypothétiques. Ces structures de coûts servent à éclairer les diverses conditions dans lesquelles le coût unitaire de la présélection est élevé ou peu élevé par rapport au coût unitaire de l’interview de l’enquête, les structures de coûts 1 à 3 prenant en compte, dans cet ordre, des coûts de présélection relatifs croissants. Tous les éléments de coût sont exprimés en heures d’interview :

Structure de coût 1 : ${c^{\prime }}_B=\text{0,05,}{c^{″}}_B=\text{2,05,}{c}_B=\text{2,00}$ et $c_A=\text{1,00}$

Structure de coût 2 : ${c^{\prime }}_B=\text{0,20,}{c^{″}}_B=\text{2,20,}{c}_B=\text{2,00}$ et $c_A=\text{1,00}$

Structure de coût 3 : ${c^{\prime }}_B=\text{0,50,}{c^{″}}_B=\text{2,50,}{c}_B=\text{2,00}$ et $c_A=\text{1,00}.$

Tous ces scénarios tiennent compte du fait qu’une interview par téléphone mobile prend deux fois plus de temps par répondant qu’une interview par téléphone fixe.

Les courbes d’efficience correspondant aux différents scénarios pour la première structure de coût sont tracées dans la figure 4.1. Nous avons dressé des graphiques similaires pour les deuxième et troisième structures de coût, mais nous ne pouvons les présenter ici, faute d’espace.

Pour la structure de coût 1, c’est l’approche de présélection qui donne la variance la plus faible à coût fixe, et ce, pour les six scénarios. Pour la structure de coût 3, où le coût de présélection unitaire est beaucoup plus élevé en termes relatifs que dans la structure de coût 1, l’approche exhaustive donne la variance la plus faible dans la moitié des scénarios de population. Pour la structure de coût 2, qui comprend un niveau intermédiaire de coût de présélection, l’approche de présélection l’emporte sur l’approche exhaustive pour tous les scénarios, sauf le scénario 1, où les deux approches sont d’efficience presque égale.

L’expression de l’efficience $E$ donnée en (4.1) permet d’appréhender la comparaison du protocole d’interview exhaustive et du protocole de présélection. Le coût de présélection unitaire n’intervient que dans le terme $\sqrt{{c^{‴}}_B}{R}_B$ du numérateur de $E.$ Pour un scénario donné donc, si le coût de présélection augmente, la valeur de $E$ ne peut qu’augmenter. Si les coûts de présélection sont faibles, $E$ peut être inférieur à 1,0, auquel cas on privilégiera le protocole de présélection. De même, des coûts de présélection élevés peuvent faire en sorte que $E$ dépasse 1,0, auquel cas on devra privilégier le protocole d’interview exhaustive.

Il est aussi utile d’étudier le sens de la variation de l’efficience $E$ en fonction des moyennes de domaine (c’est-à-dire des proportions de domaine) pour une structure de coût donnée. L’identité (4.1) et les définitions des composantes de la variance montrent bien que, tant que les écarts entre les moyennes de domaine restent raisonnables, la variation des moyennes de domaine ${\overline{Y}}_b,{\overline{Y}}_{ab}$ et ${\overline{Y}}_a$ n’aura que peu d’incidence, relativement, sur $Q_A^2,Q_B^2$ et $R_A^2,$ de sorte que $E$ aura tendance à varier directement en fonction de $R_B^2,$ lequel dépend à son tour du rapport ${\overline{Y}}_b^2/S_b^2$ du domaine EXM. Plus la moyenne est faible dans le domaine EXM, plus le rapport sera petit, et plus $E$ le sera aussi, par contrecoup. Ainsi, pour chaque structure, $E$ prend des valeurs plus faibles dans les scénarios 5 et 6 que dans les scénarios 1 et 2, et des valeurs moyennes dans les scénarios 3 et 4, comme on peut le constater.

Pour le protocole d’interview exhaustive, on obtient les $p$ optimaux aux points où les courbes d’efficience passent par leur valeur maximale. Le tableau 4.2 donne les tailles d’échantillon optimales et les paramètres $p$ optimaux pour chaque scénario et structure de coût, dans l’hypothèse d’un budget fixe de 1 000 heures d’interview. Pour le protocole de présélection, nous pouvons espérer effectuer en moyenne $\left(1-\beta \right)n_B$ interviews par téléphone mobile. Pour tous les scénarios de population et toutes les structures de coût étudiés ici, le nombre d’interviews achevées par téléphone mobile est plus faible dans le cas du protocole de présélection que dans celui du protocole d’interview exhaustive. Ce dernier utilise des ressources pour interroger des cas F-et-M dans les deux échantillons et requiert un plus grand nombre d’interviews par téléphone mobile pour bien représenter les cas EXM. Par ailleurs, si le protocole de présélection est plus efficient pour interviewer les cas EXM, il nécessite, en contrepartie, des ressources pour les interviews de présélection. Les $p$ optimaux se situent dans l’intervalle de valeurs de 0,4 à 0,6, et la variance dans le cas du protocole d’interview exhaustive tombe bien dans cet intervalle. Nous examinerons cette question à la section 4.2.

En résumé, ces illustrations nous permettent de conclure que l’approche de présélection est souvent plus efficiente que l’approche exhaustive. Une augmentation du coût de la présélection par rapport au coût de l’interview peut toutefois faire pencher la balance en faveur de l’approche exhaustive. On privilégiera cette dernière dans les enquêtes où la présélection coûte très cher, en termes relatifs; autrement, la préférence ira à l’approche de présélection. L’approche de présélection aura tendance à être plus efficiente pour les petites valeurs de la moyenne du domaine EXM que pour les grandes valeurs de cette moyenne.

4.2 Choix du paramètre de composition $p$ pour le protocole d’interview exhaustive

La répartition optimale étant fonction du paramètre de composition, il importe d’aborder le choix de ce paramètre. Nous avons vu que la variance est peu sensible au choix de $p$ dans un voisinage raisonnable du $p$ optimal. Même si la valeur exacte du $p$ optimal n’est jamais connue en pratique, nous allons présenter dans cette partie une méthode pratique que les statisticiens peuvent utiliser pour sélectionner une valeur raisonnable de $p$ qui se rapproche de l’optimum.

L’échantillon de lignes mobiles et l’échantillon de lignes fixes fournissent chacun un estimateur de départ du total du domaine F-et-T. Le paramètre $p$ sert ensuite à composer un estimateur aux performances supérieures pour ce domaine en combinant les estimateurs de départ. Si l’estimateur obtenu à partir de l’échantillon de lignes fixes est le plus précis des deux estimateurs de départ, $p$ devrait être relativement grand, et inversement, si l’estimateur obtenu à partir de l’échantillon de lignes mobiles l’emporte en précision, alors $q=1-p$ devrait être relativement grand. Il est donc logique, d’un point de vue statistique, de considérer la valeur de $p$ qui est proportionnelle à l’espérance de la taille de l’échantillon dans le domaine du double usage, c’est-à-dire $p_o=\alpha n_{A,\text{opt}}/\left(\alpha n_{A,\text{opt}}+\beta n_{B,\text{opt}}\right),$ où la répartition optimale est fondée sur ce choix de $p.$ Ainsi, $p_o$ est une solution de l’équation

$$\frac{c_A{p}^2}{c_B{\left(1-p\right)}^2}=\frac{\left(1-\alpha \right)S_a^2+\alpha p^2{S}_{ab}^2+\alpha \left(1-\alpha \right){\left({\overline{Y}}_a-p{\overline{Y}}_{ab}\right)}^2}{\left(1-\beta \right)S_b^2+\beta {\left(1-p\right)}^2{S}_{ab}^2+\beta \left(1-\beta \right){\left\{{\overline{Y}}_b-\left(1-p\right){\overline{Y}}_{ab}\right\}}^2} ,(4.2)$$

et $n_{A,opt}$ et $n_{B,opt}$ sont définis à leur tour en fonction de $p_o.$

L’équation (4.2) fait apparaître que $p_o$ dépend de la variable d’intérêt $y.$ Or, cette dépendance rend ce choix de $p_o$ inopérant en pratique, puisqu’il en résultera des tailles d’échantillon et des poids de sondage différents selon la variable d’intérêt. Pour avoir une solution pratique, on peut donc envisager de prendre le $p_o$ qui correspond à la variable étudiée $y\equiv 1$ (le total de la population correspondant à cette variable est simplement le nombre total d’unités qui existent dans les deux bases de sondage, chaque unité n’étant comptée qu’une seule fois). Dans cette approche, $p_o$ est une solution de l’équation :

$$\frac{c_A{p}^2}{c_B{\left(1-p\right)}^2}=\frac{\alpha \left(1-\alpha \right){\left(1-p\right)}^2}{\beta \left(1-\beta \right)p^2} .(4.3)$$

Pour les structures de coût considérées dans cette section, le $p_o$ correspondant est 0,52. Dans la figure 4.1, on voit que cette valeur est très proche du $p$ optimal pour les divers scénarios, sans qu’il y ait de perte sensible d’efficience. Une autre façon de procéder serait d’évaluer (4.2) pour un petit ensemble formé des éléments les plus importants de l’enquête, de choisir une valeur de $p$ qui réalise un bon compromis, et de définir ensuite la répartition optimale en fonction de cette valeur de compromis.

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