5. Maximum de vraisemblance ajusté

Isabel Molina, J.N.K. Rao et Gauri Sankar Datta

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Les méthodes d’estimation de $A$  décrites à la section 2 pourraient produire des estimations nulles. Le cas échéant, les EBLUP attribueront un poids nul aux estimateurs directs dans tous les domaines, quelle que soit l’efficacité de l’estimateur direct dans chaque domaine. Par ailleurs, les praticiens des sondages préfèrent souvent attribuer systématiquement un poids strictement positif aux estimateurs directs, parce qu’ils sont fondés sur des données au niveau de l’unité propres au domaine pour la variable d’intérêt, sans l’hypothèse d’un modèle de régression. Pour cette situation, Li et Lahiri (2010) ont proposé l’estimateur du maximum de vraisemblance ajusté (MVA) qui donne un estimateur strictement positif de $A.$  Cet estimateur, désigné ici ${\widehat{A}}_{\text{MVA}},$  s’obtient en maximisant la vraisemblance ajustée définie par

$$L_{\text{MVA}}\left(A\right)=A\times L_P\left(A\right)\mathrm{.}$$

L’EBLUP donné en (2.6) avec $\widehat{A}={\widehat{A}}_{\text{MVA}}$  sera noté ci-après sous la forme ${\widehat{\theta }}_{\text{MVA}}={\left({\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,1}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,}m}\right)}^{\prime }.$  Notons que ${\widehat{\theta }}_{\text{MVA}}$  attribue des poids strictement positifs aux estimateurs directs.

Li et Lahiri (2010) ont proposé un estimateur sans biais d’ordre deux de l’EQM de ${\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,}i}$  donné par

$$\begin{array}{lll}\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,}i}\right)\hfill & =\hfill & g_{1i}\left({\widehat{A}}_{\text{MVA}}\right)+g_{2i}\left({\widehat{A}}_{\text{MVA}}\right)+2g_{3i}\left({\widehat{A}}_{\text{MVA}}\right)\hfill \\ \hfill & -\hfill & B_i^2\left({\widehat{A}}_{\text{MVA}}\right)b_{\text{MVA}}\left({\widehat{A}}_{\text{MVA}}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}(5.1)$$

où $b_{\text{MVA}}\left(A\right)$  est le biais de ${\widehat{A}}_{\text{MVA}}$  qui est donné par

$$b_{\text{MVA}}\left(A\right)=\frac{\text{trace}\left\{P\left(A\right)-{\Sigma }^{-1}\left(A\right)\right\}+2/A}{\text{trace}\left\{{\Sigma }^{-2}\left(A\right)\right\}}\mathrm{.}$$

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