4. Estimateurs à test préliminaire

Isabel Molina, J.N.K. Rao et Gauri Sankar Datta

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L’estimateur de $A$  utilisé dans l’EBLUP de ${\theta }_i$  introduit une incertitude qui pourrait ne pas être négligeable quand $m$  est petit. En effet, dans l’estimateur (3.2) de l’EQM, le terme $g_{3i}$  découle de l’estimation de $A.$  Cependant, quand la valeur de $A$  est suffisamment faible par rapport aux variances d’échantillonnage, cette incertitude pourrait être évitée en utilisant l’estimateur synthétique de type régression ${x^{\prime }}_i\tilde{\beta }\left(0\right)$  au lieu de l’EBLUP. Datta et coll. (2011) ont proposé un estimateur pour petits domaines basé sur une procédure de test préliminaire de l’hypothèse $H_0:A=0$  contre $H_1:A>0.$  Si $H_0$  n’est pas rejetée, l’estimateur synthétique de type régression est utilisé comme estimateur de ${\theta }_i;$  sinon, l’EBLUP habituel est utilisé. Ils ont proposé la statistique de test

$$T={\left(y-X{\widehat{\beta }}_{\text{TP}}\right)}^{\prime }{D}^{-1}\left(y-X{\widehat{\beta }}_{\text{TP}}\right)\mathrm{,}$$

où ${\widehat{\beta }}_{\text{TP}}={\left(X^{\prime }{D}^{-1}X\right)}^{-1}{X}^{\prime }{D}^{-1}y$  est l’estimateur MCP de $\beta$  obtenu en supposant que $H_0:A=0$  est vérifiée. La statistique de test $T$  suit une loi $X_{m-p}^2$  avec $m-p$  degrés de liberté sous $H_0.$  Alors, pour un seuil de signification spécifié $\alpha ,$  l’estimateur ETP de $\theta$  défini par Datta et coll. (2011) est donné par

$${\widehat{\theta }}_{\text{TP}}={\left({\widehat{\theta }}_{\text{TP}\mathrm{,1}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\theta }}_{\text{TP}\mathrm{,}m}\right)}^{\prime }=\{\begin{array}{ll}X{\widehat{\beta }}_{\text{TP}}\hfill & \text{si }T\le X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2;\hfill \\ {\widehat{\theta }}_{\text{RE}}\hfill & \text{si }T>X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $X_{m-p,\alpha }^2$  est la valeur critique supérieure au seuil $\alpha$  de $X_{m-p}^2.$  L’estimateur ETP est conçu spécialement pour traiter les cas où le nombre de petits domaines est modeste, disons $m=15.$

Ici, nous proposons d’utiliser la procédure TP pour l’estimation de l’EQM de l’EBLUP, en ne considérant que l’EQM de l’estimateur synthétique $g_{2i}$  quand l’hypothèse nulle n’est pas rejetée, et l’estimation complète de l’EQM autrement. Mais soulignons que la statistique de test $T$  dans la procédure TP ne dépend pas de l’estimateur de $A.$  Cela signifie que, même quand $H_0$  est rejetée, il peut arriver que ${\widehat{A}}_{\text{RE}}=0.$  Donc, ici, nous définissons l’estimateur ETP de l’EQM de l’EBLUP ${\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}$  sous la forme

$${\text{eqm}}_{\text{TP}}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=\{\begin{array}{llll}{g}_{2i}\hfill & \text{si }T\le X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\hfill & \text{ou}\hfill & {\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ g_{1i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)+g_{2i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)+2g_{3i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)\hfill & \text{si }T>X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\hfill & \text{et}\hfill & {\widehat{A}}_{\text{RE}}>0.\hfill \end{array}(4.1)$$

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