6. Estimateurs combinés

Isabel Molina, J.N.K. Rao et Gauri Sankar Datta

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L’estimateur MVA strictement positif de $A$  présente habituellement un plus grand biais que les estimateurs MV ou MVRE quand $A$  est relativement petite par rapport aux $D_i\text{.}$  Donc, si nous voulons encore obtenir un estimateur pour petits domaines qui applique un poids strictement positif à l’estimateur direct, afin de réduire le biais susmentionné, il sera préférable de n’utiliser l’estimateur MVA que quand cela est strictement nécessaire; c’est-à-dire, quand les données ne fournissent pas suffisamment de preuves que l’égalité $A=0$  n’est pas vraie ou que l’estimateur MVRE résultant de $A$  est nul. Nous présentons ici deux estimateurs pour petits domaines de $\theta$  donnant un poids strictement positif à l’estimateur direct, qui ont été obtenus sous forme d’une combinaison de l’EBLUP basé sur la méthode du MVA et de l’EBLUP basé sur l’estimation du MVRE.

Dans la première combinaison proposée, la méthode du MVA est utilisée pour estimer $A$  quand le test préliminaire ne donne pas lieu au rejet de l’hypothèse nulle et dans la deuxième combinaison proposée, elle est utilisée quand l’estimation du MVRE n’est pas positive. Plus précisément, le premier estimateur combiné, appelé ci-après TP-MVA, est défini par

$${\widehat{\theta }}_{\text{TPMVA}}=\{\begin{array}{llll}{\widehat{\theta }}_{\text{MVA}}\hfill & \text{si }T\le X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\hfill & \text{ou}\hfill & {\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ {\widehat{\theta }}_{\text{RE}}\hfill & \text{si }T>X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\hfill & \text{et}\hfill & {\widehat{A}}_{\text{RE}}>0.\hfill \end{array}(6.1)$$

Le deuxième estimateur combiné, appelé MVRE-MVA, est donné par

$${\widehat{\theta }}_{\text{REMVA}}=\{\begin{array}{ll}{\widehat{\theta }}_{\text{MVA}}\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ {\widehat{\theta }}_{\text{RE}}\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}>0,\hfill \end{array}(6.2)$$

voir Rubin-Bleuer et Yu (2013). Pour l’estimation de l’EQM de ${\widehat{\theta }}_{\text{REMVA}},$  ces auteurs ont proposé

$$\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{REMVA}\mathrm{,}i}\right)=\{\begin{array}{ll}\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,}i}\right)\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ \text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}>0.\hfill \end{array}(6.3)$$

L’utilisation de $\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,}i}\right)$  quand ${\widehat{A}}_{\text{RE}}=0$  donne lieu à une surestimation importante si la valeur vraie de $A$  est faible, parce que ${\widehat{\theta }}_{\text{MVA}\mathrm{,}i}$  sera plus proche de l’estimateur synthétique de type régression. Donc, nous proposons l’estimateur de l’EQM de rechange

$${\text{eqm}}_0\left({\widehat{\theta }}_{\text{REMVA}\mathrm{,}i}\right)=\{\begin{array}{ll}{g}_{2i}\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ \text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}>0.\hfill \end{array}(6.4)$$

De nouveau, puisque, quand la variance $A$  est petite, $\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)$  pourrait encore surestimer la vraie valeur de l’EQM de ${\widehat{\theta }}_{\text{REMVA}\mathrm{,}i},$  nous considérons également l’estimateur ETP suivant

$${\text{eqm}}_{\text{TP}}\left({\widehat{\theta }}_{\text{REMVA}\mathrm{,}i}\right)=\{\begin{array}{llll}{g}_{2i}\hfill & \text{si }T\le X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\hfill & \text{ou}\hfill & {\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ \text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)\hfill & \text{si }T>X_{m-p\mathrm{,}\alpha }^2\hfill & \text{et}\hfill & {\widehat{A}}_{\text{RE}}>0.\hfill \end{array}(6.5)$$

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