3. Erreur quadratique moyenne

Isabel Molina, J.N.K. Rao et Gauri Sankar Datta

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Notons que le BLUP ${\tilde{\theta }}_i\left(A\right)$  de la moyenne de petit domaine ${\theta }_i$  est une fonction linéaire de $y.$  Donc, son EQM peut être calculée facilement et est donnée par la somme de deux termes :

$$\text{EQM}\left\{{\tilde{\theta }}_i\left(A\right)\right\}=g_{1i}\left(A\right)+g_{2i}\left(A\right)\mathrm{,}$$

où $g_{1i}\left(A\right)$  est dû à l’estimation de l’effet aléatoire de domaine $v_i$  et $g_{2i}\left(A\right)$  est dû à l’estimation du paramètre de régression $\beta ,$  avec

$$\begin{array}{lll}{g}_{1i}\left(A\right)\hfill & =\hfill & D_i\left\{1-B_i\left(A\right)\right\}\mathrm{,}\hfill \\ g_{2i}\left(A\right)\hfill & =\hfill & B_i^2\left(A\right){x^{\prime }}_i{\left\{X^{\prime }{\Sigma }^{-1}\left(A\right)X\right\}}^{-1}{x}_i\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Cependant, l’EBLUP ${\widehat{\theta }}_i$  donné en (2.7) n’est pas linéaire en $y$  en raison de l’estimation de la variance des effets aléatoires $A.$  En utilisant un estimateur des moments de $A,$  Prasad et Rao (1990) ont obtenu une approximation d’ordre deux correcte de l’EQM de l’EBLUP. Plus tard, Datta et Lahiri (2000) et Das, Jiang et Rao (2004) ont obtenu une approximation d’ordre deux correcte de l’EQM sous estimation du MV et du MVRE de $A.$  En utilisant l’estimateur MVRE de $A,$  leur approximation de l’EQM, pour une grande valeur de $m,$  est donnée par

$$\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=g_{1i}\left(A\right)+g_{2i}\left(A\right)+g_{3i}\left(A\right)+o\left(m^{-1}\right)\mathrm{,}(3.1)$$

où

$$g_{3i}\left(A\right)=B_i^2\left(A\right)\frac{V_{\text{RE}}\left(A\right)}{A+D_i}\text{ et }{V}_{\text{RE}}\left(A\right)=\frac{2}{{\displaystyle \sum _{i=1}^m}{\left(A+D_i\right)}^{-2}}\mathrm{.}$$

Notons que, quand $m\to \infty ,g_{1i}\left(A\right)=O\left(1\right),g_{2i}\left(A\right)=O\left(m^{-1}\right)$  et $g_{3i}\left(A\right)=O\left(m^{-1}\right),$  de sorte que $g_{1i}\left(A\right)$  est le terme principal dans l’EQM quand $m$  est grand. Cependant, si $A$  est petite, le terme $g_{1i}\left(A\right)$  est approximativement nul et $g_{3i}\left(A\right)$  pourrait alors devenir le terme principal quand $m$  est petit. Par exemple, en ne prenant qu’une seule covariable $\left(p=1\right)$  avec des valeurs constantes $x_i=1$  et des variances d’échantillonnage constantes $D_i=D,i=1,\dots \mathrm{,}m,$  et en posant que $A=0,$  nous obtenons $g_{1i}\left(0\right)=0,g_{2i}\left(0\right)=D/m$  et $g_{3i}\left(0\right)=2D/m;$  autrement dit, $g_{3i}\left(0\right)$  est deux fois plus grand que $g_{2i}\left(0\right).$

Datta et Lahiri (2000) ont obtenu un estimateur de l’EQM de l’EBLUP ${\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}$  donné par

$$\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=g_{1i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)+g_{2i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)+2g_{3i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)\mathrm{.}(3.2)$$

L’estimateur de l’EQM (3.2) est sans biais d’ordre deux en ce sens que

$$E\left\{\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)\right\}\text{=EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)+o\left(m^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Dans le cas où $A=0,$  le BLUP ${\tilde{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}$  de ${\theta }_i$  devient l’estimateur synthétique de type régression ${\widehat{\theta }}_{\text{SYN}\mathrm{,}i}={x^{\prime }}_i\tilde{\beta }\left(0\right).$  Mais étonnamment, l’approximation de l’EQM de l’EBLUP donnée en (3.1) peut être très différente de l’EQM de l’estimateur synthétique. Notons que cette dernière est donnée par

$$\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{SYN}\mathrm{,}i}\right)=g_{2i}\left(0\right)<g_{2i}\left(0\right)+g_{3i}\left(0\right)\mathrm{,}$$

parce que le terme $g_{3i}\left(0\right)$  est strictement positif, même pour $A=0.$  En fait, dans l’exemple simple d’une seule covariable $\left(p=1\right)$  avec valeurs constantes $x_i=1$  et variances d’échantillonnage constantes $D_i=D,i=1,\dots \mathrm{,}m,$  nous avons $\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{SYN}\mathrm{,}i}\right)=g_{2i}\left(0\right)=D/m,$  tandis que l’approximation de l’EQM de l’EBLUP donnée en (3.1) avec $A=0$  donne $\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)\approx g_{2i}\left(0\right)+g_{3i}\left(0\right)=3D/m,$  qui est trois fois plus grande. Il se fait que (3.1) n’est pas une bonne approximation de l’EQM de l’EBLUP quand $A=0$  et, nous devrions plutôt utiliser $\text{EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=g_{2i}\left(0\right).$  En outre, puisque pour $A=0,$  cette quantité ne dépend d’aucun paramètre inconnu, nous pouvons aussi la prendre comme estimateur de l’EQM, c’est-à-dire que nous pouvons prendre $\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=g_{2i}\left(0\right).$

En pratique, la vraie valeur de $A$  est inconnue, mais nous avons un estimateur convergent ${\widehat{A}}_{\text{RE}}.$  Quand ${\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,$  l’EBLUP devient l’estimateur synthétique de type régression pour tous les domaines, c’est-à-dire

$${\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}={\widehat{\theta }}_{\text{SYN}\mathrm{,}i}={x^{\prime }}_i\tilde{\beta }\left(0\right)\mathrm{,}i=1,\dots \mathrm{,}m\mathrm{.}$$

Dans ce cas, $g_{1i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)=0$  pour tous les domaines et l’estimateur de l’EQM donné en (3.2) se réduit à

$$\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=g_{2i}\left(0\right)+2g_{3i}\left(0\right)>g_{2i}\left(0\right)\text{=EQM}\left({\widehat{\theta }}_{\text{SYN}\mathrm{,}i}\right)\mathrm{,}i=1,\dots \mathrm{,}m\mathrm{.}$$

Donc, l’estimateur de l’EQM donné en (3.2) peut gravement surestimer l’EQM pour ${\widehat{A}}_{\text{RE}}=0.$  Afin de réduire la surestimation, nous considérons un estimateur modifié de l’EQM de ${\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}$  donné par

$${\text{eqm}}_0\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right)=\{\begin{array}{ll}{g}_{2i}\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}=0,\hfill \\ g_{1i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)+g_{2i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)+2g_{3i}\left({\widehat{A}}_{\text{RE}}\right)\hfill & \text{si }{\widehat{A}}_{\text{RE}}>0,\hfill \end{array}(3.3)$$

où $g_{2i}=g_{2i}\left(0\right)={x^{\prime }}_i{\left(X^{\prime }{D}^{-1}X\right)}^{-1}{x}_i,i=1,\dots \mathrm{,}m.$

En fait, pour une valeur de $A$  proche de zéro, il se peut que $g_{2i}$  soit plus proche de la vraie EQM que l’estimateur de l’EQM complet $\text{eqm}\left({\widehat{\theta }}_{\text{RE}\mathrm{,}i}\right),$  mais la question qui se pose est celle de savoir quand $A$  est suffisamment proche de zéro. Cette question motive le recours à une procédure de test préliminaire de $A=0$  pour définir des estimateurs de rechange de l’EQM de l’EBLUP à la section 4.

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