4. Estimation de l'EQM

Jae-kwang Kim, Seunghwan Park et Seo-young Kim

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Passons maintenant à l'estimation de l'erreur quadratique moyenne (EQM) de l'estimateur MCG ${\widehat{\overline{X}}}_h$ qui est donné par (2.9). Notons que l'estimateur MCG est une fonction de $\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\right)$ et de ${\sigma }_e^2.$ Si les paramètres du modèle sont connus, alors l'EQM de ${\widehat{\overline{X}}}_h$ est égale à $M_{h1}={\alpha }_{h}V\left({\overline{x}}_h\right)+\left(1-{\alpha }_h\right)\text{Cov}\left({\overline{x}}_h\mathrm{,}{\tilde{x}}_h\right),$ comme il est discuté dans la remarque 1. Autrement dit, en écrivant $$\theta =\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\mathrm{,}{\sigma }_e^2\right)$$ et ${\widehat{\overline{X}}}_h={\widehat{\overline{X}}}_h\left(\theta \right),$ la prédiction réelle de ${\overline{X}}_h$ est calculée par ${\widehat{\overline{X}}}_{eh}={\widehat{\overline{X}}}_h\left(\widehat{\theta }\right).$ Afin de tenir compte de l'effet de l'estimation des paramètres du modèle, nous notons d'abord la décomposition qui suit de $\text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right):$

$$\begin{array}{lll}\text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}\right)\hfill & =\hfill & \text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_h\right)+E\left\{{\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}-{\widehat{\overline{X}}}_h\right)}^2\right\}\hfill \\ \hfill & =:\hfill & M_{h1}+M_{h2}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

qui a été prouvée pour la première fois par Kackar et Harville (1984) sous des hypothèses de normalité. Le premier terme, $M_{h1},$ est d'ordre $1/n_h,$ où $n_h$ est la taille de $A_h,$ et le deuxième terme, $M_{h2},$ est d'ordre $1/n$ avec $n={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H}{n}_h.$ Le deuxième terme est souvent beaucoup plus petit que le premier.

Nous considérons une approche jackknife pour estimer l'EQM. L'utilisation du jackknife pour obtenir une estimation corrigée pour le biais a été proposée au départ par Quenouille (1956). Jiang, Lahiri et Wan (2002) ont produit une justification rigoureuse de la méthode du jackknife pour l'estimation de l'EQM en estimation sur petits domaines. Les étapes qui suivent peuvent être utilisées pour le calcul du jackknife.

• Étape 1  Calculer la $k^{\text{e}}$ réplique ${\widehat{\theta }}^{\left(-k\right)}$ de $\widehat{\theta }$ en supprimant le $k^{\text{e}}$ jeu de données de domaine $\left({\overline{x}}_k\mathrm{,}{\overline{y}}_{1k}\right)$ du jeu de données complet $\left\{\left({\overline{x}}_h\mathrm{,}{\overline{y}}_{1h}\right);h=1,2,\dots \mathrm{,}H\right\}.$ Ce calcul est effectué pour chaque $k$ pour obtenir $H$ répliques de $\theta :$ $\left\{{\widehat{\theta }}^{\left(-k\right)};k=1,\dots \mathrm{,}H\right\}$ qui, à leur tour, fournissent $H$ répliques de ${\widehat{\overline{X}}}_h:$ $\left\{{\widehat{\overline{X}}}_h^{\left(-k\right)};k=1,2,\dots \mathrm{,}H\right\},$ où ${\widehat{\overline{X}}}_h^{\left(-k\right)}={\widehat{\overline{X}}}_h\left({\widehat{\theta }}^{\left(-k\right)}\right).$
• Étape 2  Calculer l'estimateur de $M_{h2}$ sous la forme
• $${\widehat{M}}_{2h}=\frac{H-1}{H}{\displaystyle \sum _{k=1}^H}{\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{\left(-k\right)}-{\widehat{\overline{X}}}_h\right)}^2\mathrm{.}(4.1)$$
• Étape 3  Calculer l'estimateur de $M_{h1}$ sous la forme
• $${\widehat{M}}_{1h}={\widehat{\alpha }}_h^{\left(\text{JK}\right)}V\left({\overline{x}}_h\right)+\left(1-{\widehat{\alpha }}_h^{\left(\text{JK}\right)}\right)\text{Cov}\left({\overline{x}}_h\mathrm{,}{\tilde{x}}_h\right)(4.2)$$
• où ${\widehat{\alpha }}_h^{\left(\text{JK}\right)}$ est un estimateur de ${\alpha }_h$  corrigé pour le biais donné par
• $$\begin{array}{lll}{\widehat{\alpha }}_h^{\left(\text{JK}\right)}\hfill & =\hfill & {\widehat{\alpha }}_h-\frac{H-1}{H}{\displaystyle \sum _{k=1}^H}\left({\widehat{\alpha }}_h^{\left(-k\right)}-{\widehat{\alpha }}_h\right)\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{\alpha }}_h\hfill & =\hfill & \frac{{\widehat{\sigma }}_e^2+V\left(b_h\right)-{\widehat{\beta }}_1\text{Cov}\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)}{{\widehat{\sigma }}_e^2+V\left(b_h\right)+{\widehat{\beta }}_1^{2}V\left(a_h\right)-2{\widehat{\beta }}_1\text{Cov}\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$
• et
• $${\widehat{\alpha }}_h^{\left(-k\right)}=\frac{{\widehat{\sigma }}_e^{\left(-k\right)2}+V\left(b_h\right)-{\widehat{\beta }}_1^{\left(-k\right)}\text{Cov}\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)}{{\widehat{\sigma }}_e^{\left(-k\right)2}+V\left(b_h\right)+{\left({\widehat{\beta }}_1^{\left(-k\right)}\right)}^{2}V\left(a_h\right)-2{\widehat{\beta }}_1^{\left(-k\right)}\text{Cov}\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)}\mathrm{.}$$

Remarque 4 Pour la transformation donnée par (3.13), nous utilisons l'estimateur corrigé pour le biais (3.14) et la méthode d'estimation de son EQM doit être modifiée. En utilisant ${\widehat{\overline{X}}}_{eh\mathrm{,}bc}$  pour désigner l'estimateur corrigé pour le biais (3.14) évalué à $\widehat{\theta },$ nous pouvons obtenir

$$\begin{array}{lll}\text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh\mathrm{,}bc}\right)\hfill & =\hfill & \text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & \text{EQM}\left\{Q\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}^{*}\right)\right\}\hfill \\ \hfill & \cong \hfill & {\left\{Q^{\prime }\left({\overline{X}}_h^{*}\right)\right\}}^2\cdot \text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}^{*}\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\overline{X}}_h^2\cdot \text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}^{*}\right),\hfill \end{array}$$

où la première égalité découle du fait que ${\widehat{\overline{X}}}_{h\mathrm{,}bc}-{\widehat{\overline{X}}}_h$ est d'ordre $O_p\left(n_h^{-1}\right).$ L'EQM de ${\widehat{\overline{X}}}_h^{*},$ l'estimateur MCGE de ${\overline{X}}_h^{*}$ après transformation, est calculée au moyen de (4.1) et (4.2). Lorsque $\text{EQM}\left({\widehat{\overline{X}}}_{eh}^{*}\right)$ est estimée, nous devons la multiplier par ${\widehat{\overline{X}}}_h^2$ pour obtenir l'estimateur de l'EQM de l'estimateur MCGE ${\widehat{\overline{X}}}_{eh\mathrm{,}bc}$ rétrotransformé.

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