3. Estimation des paramètres

Jae-kwang Kim, Seunghwan Park et Seo-young Kim

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Maintenant, nous discutons de l'estimation des paramètres du modèle (2.3). L'estimateur MCG de $\beta =\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\right)$ peut être obtenu par minimisation de

$$Q^{*}\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{{\left({\overline{y}}_{1h}-{\beta }_0-{\beta }_1{\overline{x}}_h\right)}^2}{V\left({\overline{y}}_{1h}-{\beta }_0-{\beta }_1{\overline{x}}_h\right)}\mathrm{.}(3.1)$$

Puisque

$$V\left({\overline{y}}_{1h}-{\beta }_0-{\overline{x}}_h{\beta }_1\right)={\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2+\left(-{\beta }_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h{\left(-{\beta }_1\mathrm{,1}\right)}^{\prime }\mathrm{,}(3.2)$$

où ${\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2=V\left({\overline{e}}_{1h}\right)$ et ${\Sigma }_h=V\left\{{\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)}^{\prime }\right\},$ nous pouvons écrire

$$Q^{*}\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}{w}_h\left({\beta }_1\right){\left({\overline{y}}_{1h}-{\beta }_0-{\beta }_1{\overline{x}}_h\right)}^2\mathrm{,}(3.3)$$

où $w_h\left({\beta }_1\right)={\left\{{\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2+\left(-{\beta }_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h{\left(-{\beta }_1\mathrm{,1}\right)}^{\prime }\right\}}^{-1}\mathrm{.}$ Maintenant, en résolvant $\partial Q^{*}/\partial \beta =0,$ nous obtenons

$${\widehat{\beta }}_0={\overline{y}}_w-{\widehat{\beta }}_1{\overline{x}}_w(3.4)$$

et

$${\widehat{\beta }}_1=\frac{{\displaystyle \sum _{h=1}^H}{w}_h\left({\widehat{\beta }}_1\right)\left\{\left({\overline{x}}_h-{\overline{x}}_w\right)\left({\overline{y}}_{1h}-{\overline{y}}_{1w}\right)-C\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)\right\}}{{\displaystyle \sum _{h=1}^H}{w}_h\left({\widehat{\beta }}_1\right)\left\{{\left({\overline{x}}_h-{\overline{x}}_w\right)}^2-V\left(a_h\right)\right\}}\mathrm{,}(3.5)$$

où

$$\left({\overline{x}}_w\mathrm{,}{\overline{y}}_w\right)={\left\{{\displaystyle \sum _{h=1}^H}{w}_h\left({\widehat{\beta }}_1\right)\right\}}^{-1}{\displaystyle \sum _{h=1}^H}{w}_h\left({\widehat{\beta }}_1\right)\left({\overline{x}}_h\mathrm{,}{\overline{y}}_h\right)\mathrm{.}$$

Notons que le poids $w_h\left({\beta }_1\right)$ dépend de ${\beta }_1.$ Donc, la solution (3.5) peut être obtenue à l'aide d'un algorithme itératif. Après avoir calculé ${\widehat{\beta }}_1$ en utilisant (3.5), on obtient ${\widehat{\beta }}_0$ en utilisant (3.4).

Passons maintenant à l'estimation de la variance du modèle ${\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2.$ La méthode la plus simple est la méthode des moments (MOM). Autrement dit, nous pouvons utiliser

$$E\left\{{\left({\overline{y}}_{1h}-{\beta }_0-{\overline{x}}_h{\beta }_1\right)}^2-{\beta }_1^{2}V\left(a_h\right)+2{\beta }_{1}C\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)-V\left(b_h\right)\right\}={\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2(3.6)$$

pour obtenir un estimateur sans biais de ${\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2.$ Sous le modèle des erreurs emboîtées donné par (2.4), nous avons ${\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2={\sigma }_e^2$ et

$$E\left\{{\left({\overline{y}}_{1h}-{\beta }_0-{\overline{x}}_h{\beta }_1\right)}^2-{\beta }_1^{2}V\left(a_h\right)+2{\beta }_{1}C\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)-V\left(b_h\right)\right\}={\sigma }_e^2\mathrm{.}(3.7)$$

Donc, comme dans Fuller (2009), l'estimateur MOM de ${\sigma }_e^2$ peut être exprimé par

$${\widehat{\sigma }}_e^2={\displaystyle \sum _{h=1}^H}{\kappa }_h\left\{{\left({\overline{y}}_{1h}-{\widehat{\beta }}_0-{\overline{x}}_h{\widehat{\beta }}_1\right)}^2-\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right)\right\}(3.8)$$

où

$${\kappa }_h\propto {\left\{{\widehat{\sigma }}_e^2+\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right)\right\}}^{-1}$$

et ${\displaystyle {\sum }_{h=1}^H}{\kappa }_h=1.$ Comme ${\kappa }_h$ dépend de ${\widehat{\sigma }}_e^2,$ la solution (3.8) peut être obtenue itérativement, en utilisant ${\widehat{\sigma }}_e^2=0$ comme valeur initiale. Fay et Herriot (1979) ont utilisé une autre méthode qui est fondée sur la solution itérative de l'équation non linéaire :

$${\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{{\left({\overline{y}}_{1h}-{\widehat{\beta }}_0-{\widehat{\beta }}_1{\overline{x}}_h\right)}^2}{{\sigma }_e^2+\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h{\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right)}^{\prime }}=H-2.$$

En écrivant l'équation susmentionnée sous la forme $g\left({\sigma }_e^2\right)=H-2,$ une méthode de type Newton pour $g\left(\theta \right)=0$ avec $\theta ={\sigma }_e^2$ peut être obtenue par

$${\theta }^{\left(t+1\right)}={\theta }^{\left(t\right)}+\frac{1}{g^{\prime }\left({\theta }^{\left(t\right)}\right)}\left(H-2-g\left({\theta }^{\left(t\right)}\right)\right)(3.9)$$ 

où

$$g^{\prime }\left(\theta \right)=-{\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{{\left({\overline{y}}_{1h}-{\widehat{\beta }}_0-{\widehat{\beta }}_1{\overline{x}}_h\right)}^2}{{\left\{\theta +\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h{\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right)}^{\prime }\right\}}^2}\mathrm{.}$$

En supposant que ${\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2\equiv {\sigma }_e^2,$ nous décrivons maintenant la procédure complète d'estimation des paramètres comme il suit :

• Étape 1  Calculer l'estimateur initial de $\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\right)$ en posant que ${\widehat{\sigma }}_e^2=0$ dans (3.4) et (3.5).
• Étape 2  En se basant sur la valeur courante de $\left({\widehat{\beta }}_0\mathrm{,}{\widehat{\beta }}_1\right),$ calculer ${\widehat{\sigma }}_e^2$ en utilisant l'algorithme itératif en (3.9).
• Étape 3  Utiliser la valeur courante de ${\widehat{\sigma }}_e^2,$ calculer l'estimateur mis à jour de $\left({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1\right)$ au moyen de (3.4) et (3.5).
• Étape 4  Répéter [Étape 2]-[Étape 3] jusqu'à la convergence.

La méthode d'estimation des paramètres proposée comprend l'estimation de $\beta =({\beta }_0\mathrm{,}{\beta }_1)$ par les MCG et l'estimation de ${\sigma }_e^2$ par les MOM itérativement. Notons que l'estimation de $\beta$ est fondée sur des données provenant de tous les domaines. Si des modèles de régression distincts sont utilisés, la méthode d'estimation des paramètres proposée peut être appliquée à des groupes de domaines. Au lieu de cette méthode d'estimation itérative distincte, nous pouvons également considérer une autre méthode fondée sur l'estimation du maximum de vraisemblance (EMV) sous des hypothèses distributionnelles paramétriques. Voir Carroll, Rupert et Stefanski (1995) et Schafer (2001) pour une discussion de l'EMV pour les paramètres des modèles d'erreur de mesure.

Remarque 2 Si l'égalité ${\sigma }_{e\mathrm{,}h}^2={\sigma }_e^2$  n'est pas vérifiée, nous pouvons considérer un modèle de rechange tel que

$${\overline{e}}_h\sim \left(\mathrm{0,}{\overline{X}}_h{\sigma }_e^2\right)\mathrm{.}(3.10)$$

Pour vérifier si le modèle (3.10) tient, on peut calculer

$${\nu }_h={\left({\overline{y}}_{1h}-{\widehat{\beta }}_0-{\overline{x}}_h{\widehat{\beta }}_1\right)}^2-{\widehat{\beta }}_1^{2}V\left(a_h\right)+2{\widehat{\beta }}_1\widehat{C}\left(a_h\mathrm{,}{b}_h\right)-V\left(b_h\right)(3.11)$$

et représenter graphiquement ${\nu }_h$  en fonction de ${\overline{x}}_h.$  Si le graphique montre une relation linéaire, alors (3.10) peut être traité comme un modèle raisonnable. Sous le modèle (3.10), nous pouvons obtenir ${\sigma }_e^2$  par une méthode du ratio :

$${\widehat{\sigma }}_e^2=\frac{{\displaystyle \sum _{h=1}^H}{\kappa }_h{\nu }_h}{{\displaystyle \sum _{h=1}^H}{\kappa }_h{\widehat{\overline{X}}}_h}(3.12)$$

où

$${\kappa }_h\propto {\left\{{\widehat{\overline{X}}}_h{\widehat{\sigma }}_e^2+\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right){\Sigma }_h\left(-{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,1}\right)\right\}}^{-1}$$

avec ${\displaystyle {\sum }_{h=1}^H}{\kappa }_h=1,$ ${\widehat{\overline{X}}}_h$  défini en (2.9), et ${\nu }_h$  défini en (3.11). Comme ${\kappa }_h$  dépend aussi de ${\sigma }_e^2,$  la solution (3.12) peut être obtenue par itération.

Remarque 3 Nous pouvons également considérer une transformation ${\overline{x}}_h^{*}=T\left({\overline{x}}_h\right)$ et ${\overline{y}}_{1h}^{*}=T\left({\overline{y}}_{1h}\right)$ afin d'améliorer l'approximation par une loi normale asymptotique. Pour vérifier l'écart par rapport à la normalité, nous représentons graphiquement $n_{ha}\overline{V}\left({\overline{x}}_h\right)$ en fonction de ${\overline{x}}_h.$ Si le graphique révèle une relation structurelle de ${\overline{x}}_h,$ l'hypothèse de normalité peut être mise en doute. Maintenant, considérons la transformation suivante

$$T\left(x\right)=\log \left(x\right)\mathrm{.}(3.13)$$

Notons que la variance asymptotique de ${\overline{x}}_h^{*}=T\left({\overline{x}}_h\right)$  est égale à

$$V\left({\overline{x}}_h^{*}\right)\doteq \frac{1}{{\left({\overline{x}}_h\right)}^2}V\left({\overline{x}}_h\right)\mathrm{.}$$

Il s'agit d'une transformation stabilisant la variable qui est utile lorsque nous voulons améliorer l'approximation par la loi normale.

Après avoir obtenu l'estimateur MCG ${\widehat{\overline{X}}}_h^{*}$  de ${\overline{X}}_h^{*},$  nous devons appliquer la transformation inverse pour obtenir le meilleur estimateur de ${\overline{X}}_h=T^{-1}\left({\overline{X}}_h^{*}\right):=Q\left({\overline{X}}_h^{*}\right).$  La simple application de la transformation inverse donnera une estimation biaisée. Afin de corriger le biais, nous pouvons utiliser une linéarisation de Taylor d'ordre deux. En effectuant un développement en série de Taylor, nous obtenons

$$Q\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)\doteq Q\left({\overline{X}}_h^{*}\right)+Q^{\prime }\left({\overline{X}}_h^{*}\right)\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}-{\overline{X}}_h\right)+\frac{1}{2}{Q}^{\prime }{}^{\prime }\left({\overline{X}}_h^{*}\right){\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}-{\overline{X}}_h\right)}^2$$

et donc, si nous utilisons $Q\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)$  comme estimateur de ${\overline{X}}_h=Q\left({\overline{X}}_h^{*}\right),$  nous obtenons, en laissant tomber les termes d'ordre plus faible,

$$E\left\{Q\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)\right\}={\overline{X}}_h+\frac{1}{2}{Q}^{\prime }{}^{\prime }\left({\overline{X}}_h^{*}\right)V\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)\mathrm{.}$$

Pour la transformation donnée par (3.13), nous avons $Q\left({\overline{X}}_h^{*}\right)=\exp \left({\overline{X}}_h^{*}\right)$  et donc $Q^{\prime }{}^{\prime }\left({\overline{X}}_h^{*}\right)={\overline{X}}_h.$ Donc, ${\widehat{\overline{X}}}_h=Q\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right),$  et nous obtenons

$$E\left({\widehat{\overline{X}}}_h\right)\cong {\overline{X}}_h+\frac{1}{2}{\overline{X}}_{h}V\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)$$

et l'estimateur de ${\overline{X}}_h$  corrigé pour le biais est

$${\widehat{\overline{X}}}_{h\mathrm{,}bc}=\frac{{\widehat{\overline{X}}}_h}{1+0,5V\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)}\mathrm{,}(3.14)$$

où $V\left({\widehat{\overline{X}}}_h^{*}\right)$  est calculée par la méthode d'estimation de l'EQM dont nous discuterons à la section 4.

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