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6. Application empirique

Andrés Gutiérrez, Leonardo Trujillo et Pedro Luis do Nascimento Silva

Nous examinons d’abord une approche empirique dans cette section, au moyen de simulations qui nous permettront d’évaluer certaines propriétés statistiques comme l’absence de biais et l’efficacité des estimateurs proposés. D’après la modélisation proposée par Stasny (1987), nous avons considéré une simulation à deux degrés comme suit :

Répartition de toutes les personnes dans la population aux différentes cellules d’un tableau de contingence. Dans ce premier degré, nous allons définir les probabilités initiales $η_{i}, p_{i j}$ et
Processus de non-réponse à deux périodes consécutives. Dans ce deuxième degré, nous allons définir les probabilités initiales $ψ, ρ_{R R}$ et $ρ_{M M}$ .

Au premier degré, il a fallu présumer certaines conditions (processus non observable) où les probabilités de classification de groupe ont été établies à une période $t - 1$ et les probabilités de classification conditionnelle pendant une période $t$ . Ainsi, toutes les personnes dans la population étaient réputées classées dans une des trois catégories suivantes : E1, E2 et E3. Le vecteur d’état pendant une période $t$ a été donné par

$η = {(η_{1}, η_{2}, η_{3})}^{'} = {(0, 9; 0, 05; 0, 05)}^{'} .$

Ainsi, il y a une probabilité de classification dans E1 équivalant à 0,9 pour toute personne dans la population et des probabilités de classification dans E2 et E3 équivalant à 0,05. La matrice de transition de la période $t - 1$ à la période $t$ est donnée par

$P = (\begin{matrix} {p^{'}}_{1} \\ {p^{'}}_{2} \\ {p^{'}}_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0, 80 & 0, 15 & 0, 05 \\ 0, 30 & 0, 60 & 0, 10 \\ 0, 10 & 0, 10 & 0, 80 \end{matrix}) .$

Nous avons présumé que la taille de la population était de $N = 100 000$ et que sa taille ne changerait pas aux deux périodes d’évaluation. Afin de classer les personnes aux périodes, nous avons utilisé la fonction R rmultinom (R Development Core Team 2012). Ainsi, la répartition des flux bruts en fonction de l’équation (3.2) serait donnée par les valeurs dans le tableau 6.1.

Tableau 6.1
Valeurs prévues selon le modèle $ξ$ pour les flux bruts de la population pendant deux périodes consécutives
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues selon le modèle $ξ$ pour les flux bruts de la population pendant deux périodes consécutives. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	72 000	13 500	4 500
E2	1 500	3 000	500
E3	500	500	4 000

6.1 Méthodologie

Pour cet exercice empirique, nous avons considéré $L = 1 000$ simulations par la méthode de Monte Carlo. Afin de répartir les personnes entre les répondants et les non-répondants pendant les deux périodes, nous avons utilisé la fonction rmultinom du langage R. Des variables dichotomiques $y_{1 i k}, y_{2 j k}, z_{1 k}$ et $z_{2 k}$ ont été créées au moyen de la fonction Domains de la bibliothèque TeachingSampling (Gutiérrez 2009).

Pour chaque exécution de la simulation, un échantillon de taille $n = 10 000$ a été tiré. Nous avons considéré un échantillonnage aléatoire simple (SI) ainsi qu’un plan d’échantillonnage complexe donnant des probabilités d’inclusion inégales ( $π$ PS). Le comportement des différents estimateurs proposés sera évalué en fonction de leur biais relatif et de leur erreur quadratique moyenne relative, donnés par

$B R = L^{- 1} \sum_{l = 1}^{L} \frac{{\hat{θ}}_{l} - θ}{θ} et E Q M R = \frac{\sqrt{L^{- 1} \sum_{l = 1}^{L} {({\hat{θ}}_{l} - θ)}^{2}}}{θ} .$

respectivement. Dans les situations où le vecteur des probabilités d’inclusion était inégal, la fonction S.piPS dans la bibliothèque TeachingSampling a été utilisée afin de choisir un échantillon sans remplacement avec des probabilités d’inclusion proportionnelles à une caractéristique auxiliaire présumée connue et selon la répartition normale avec différents paramètres. La méthodologie proposée est comparée à deux autres estimateurs : un estimateur tenant compte de la forme fonctionnelle du modèle sans tenir compte du plan d’échantillonnage et un estimateur des flux bruts ne tenant pas compte du plan d’échantillonnage mais présumant que la non-réponse est ignorable.

Le premier estimateur, que nous appelons l’estimateur fondé sur le plan, correspond aux expressions aux résultats 4.2, 4.3 et 4.4. Le deuxième estimateur, que nous appellerons estimateur basé sur le modèle, correspond aux expressions au résultat 5.1, puisque les estimateurs du maximum de vraisemblance ne tiennent pas compte des poids d’échantillonnage. Enfin, le troisième estimateur, que nous appelons l’estimateur naïf, projette l'information au niveau de l'échantillon à la population et est donné par

${\hat{μ}}_{i j, I N G} = \frac{N}{\sum_{i} \sum_{j} N_{i j}} N_{i j} .$

La probabilité de réponse pendant la période $t - 1$ a été présumée comme $ψ = 0, 8.$ La probabilité de réponse pendant la période $t$ pour les personnes ayant répondu à la période $t - 1$ a été présumée $ρ_{R R} = 0, 9.$ Enfin, la probabilité de non-réponse pendant une période $t$ pour les personnes n’ayant pas répondu pendant la période $t - 1$ a été présumée $ρ_{M M} = 0, 7.$

D’après le modèle $ξ,$ les valeurs prévues des réponses sont données dans le tableau 6.2.

Tableau 6.2
Valeurs prévues d’après le modèle $ξ$ pour la réponse aux deux périodes consécutives
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues d’après le modèle $ξ$ pour la réponse aux deux périodes consécutives. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	Réponse	Non-réponse
Réponse	72 000	8 000
Non-réponse	6 000	14 000

En tenant compte de la dynamique des répondants dans les deux périodes et en présumant qu’il est possible de recueillir toute l’information sur la population au moyen d’un recensement, nous obtenons les classifications présentées dans le tableau 6.3 ci-après.

Tableau 6.3
Valeurs prévues d’après le modèle $ξ$ pour les flux bruts de la population (processus observable) pendant deux périodes consécutives
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues d’après le modèle $ξ$ pour les flux bruts de la population (processus observable) pendant deux périodes consécutives. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3	Complément de ligne
E1	51 840	9 720	3 240	7 200
E2	1 080	2 160	360	400
E3	360	360	2 880	400
Complément de colonne	4 440	1 020	540	14 000

6.2 Résultats

6.2.1 Échantillonnage aléatoire simple : estimateur fondé sur le plan et fondé sur le modèle

Dans une première approche empirique, nous avons considéré un échantillonnage aléatoire simple sans remise comme plan d’échantillonnage. Ce plan d’échantillonnage induit des probabilités d’inclusion et des facteurs d’expansion uniformes. Selon ce scénario, les estimateurs fondés sur le plan et fondés sur le modèle sont les mêmes. Conformément à ce scénario, l’approche démontre une certaine robustesse d’après les valeurs des biais relatifs qui peuvent être considérées comme négligeables. On peut le constater dans les tableaux 6.4, 6.5 et 6.6.

Tableau 6.4
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur proposé pour les flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur proposé pour les flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	0,24 (0,094)	-0,35 (0,189)	-0,49 (0,474)
E2	-2,89 (0,158)	-1,89 (0,221)	2,00 (0,980)
E3	-0,63 (0,790)	4,54 (0,822)	-0,84 (0,569)

Tableau 6.5
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de transition $p_{i j}$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de transition $p_{i j}$ . Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	0,13 (0,284)	-0,39 (0,537)	-1,00 (3,225)
E2	1,70 (1,296)	-2,29 (0,569)	8,64 (0,347)
E3	-6,6 (3,415)	2,09 (1,992)	0,56 (0,158)

Tableau 6.6
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de classification initiales $η_{i}$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de classification initiales $η_{i}$ Période $t - 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$
$η_{1}$	$η_{2}$	$η_{3}$
-0,01 (0,094)	-1,42 (0,980)	1,74 (0,790)

De plus, le biais relatif en pourcentage pour la probabilité de réponse $ψ$ était de -0,23 et l’erreur quadratique moyenne relative en pourcentage était de 0,221; pour la probabilité de réponse $ρ_{R R},$ le biais en pourcentage était de 0,055 et l’erreur quadratique moyenne relative en pourcentage était de 0,031; pour la probabilité de non-réponse $ρ_{M M},$ le biais en pourcentage était de -0,192 et l’erreur quadratique moyenne relative en pourcentage était de 0,189. Par ailleurs, le tableau 6.7 montre la valeur prévue empirique des flux bruts pour l’estimateur proposé, et on peut constater que les valeurs sont très proches de celles données dans le tableau 6.1.

Tableau 6.7
Valeurs prévues empiriques pour l’estimateur proposé des flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues empiriques pour l’estimateur proposé des flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période (t-1) (titres de rangée) et Période (t)(figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	72 085	13 444	4 454
E2	1 504	2 889	535
E3	474	519	4 092

6.2.2 Échantillonnage aléatoire simple : estimateur naïf

Conformément à ce scénario et étant donné que cet estimateur ne tient pas compte du processus de non-réponse, les valeurs des biais relatifs ne peuvent pas être considérées comme négligeables. On peut le constater dans le tableau 6.8.

Tableau 6.8
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur naïf pour les flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur naïf pour les flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	-1,21 (4,4)	10,2 (60,7)	8,34 (25,2)
E2	-0,25 (38,8)	-7,51 (30,9)	1,33 (12,6)
E3	13,7 (43,3)	-8,54 (46,1)	0,92 (6,9)

Le tableau 6.9 montre les valeurs empiriques prévues pour l’estimateur naïf; comparativement aux valeurs prévues pour le modèle présenté dans le tableau 6.1, ces valeurs ne sont même pas proches.

Tableau 6.9
Valeurs empiriques prévues pour l’estimateur naïf des flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs empiriques prévues pour l’estimateur naïf des flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	54 628	760	4 507
E2	1 506	2 079	1 175
E3	1 603	905	32 832

6.2.3 Probabilités d’inclusion inégales : estimateur fondé sur le plan

Dans un troisième scénario, nous avons considéré un plan d’échantillonnage qui induit des probabilités d’inclusion et des facteurs d’expansion inégaux. D’après ce scénario, les estimateurs proposés demeurent sans biais pour les flux bruts et pour les paramètres du modèle. Les biais relatifs sont présentés dans les tableaux 6.10, 6.11 et 6.12.

Tableau 6.10
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur proposé pour les flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur proposé pour les flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	-0,09 (0,8)	0,25 (3,6)	3,17 (7,9)
E2	0,72 (40,9)	-1,21 (27,2)	-4,62 (71,08)
E3	1,76 (20,4)	-3,19 (22,6)	-0,73 (7,2)

Tableau 6.11
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de transition $p_{i j}$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de transition $p_{i j}$ . Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	-0,05 (0,7)	0,115 (3,6)	0,47 (7,1)
E2	2,39 (36,0)	-0,13 (18,6)	-6,40 (69,1)
E3	1,15 (24,9)	-5,14 (21,7)	0,49 (3,7)

Tableau 6.12
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de classification initiales $η_{i}$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de classification initiales $η_{i}$ Période (t-1)(figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$
$η_{1}$	$η_{2}$	$η_{3}$
-0,02 (1,1)	-0,70 (19,8)	1,13 (6,9)

Pour la probabilité de réponse $ψ$ , le biais en pourcentage était -0,46 et l’erreur quadratique moyenne relative en pourcentage était de 0,6; pour la probabilité de réponse $ρ_{R R},$ le biais en pourcentage était de -0,21 et l’erreur quadratique moyenne relative en pourcentage était de 0,6; pour la probabilité de non-réponse $ρ_{M M},$ le biais en pourcentage était de 0,99 et l’erreur quadratique moyenne relative en pourcentage était de 1,8. Par ailleurs, le tableau 6.13 indique les valeurs prévues empiriques de l’estimateur proposé pour les flux bruts de la population, et ces valeurs sont très proches des valeurs fournies au tableau 6.1.

Tableau 6.13
Valeurs prévues empiriques de l’estimateur fondé sur le plan pour les flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues empiriques de l’estimateur fondé sur le plan pour les flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	71 910	13 505	4 518
E2	1 523	2 972	470
E3	511	479	4 062

6.2.4 Probabilités d’inclusion inégales : estimateur basé sur le modèle

Un quatrième scénario considère un plan d’échantillonnage induisant des probabilités d’inclusion et des facteurs d’expansion inégaux de la même manière que le dernier scénario. Cependant, nous considérons les estimateurs qui ne tiennent pas compte du plan d’échantillonnage, mais seulement du modèle $ξ .$ Conformément à ce scénario, les estimations sont biaisées pour les flux bruts et les paramètres du modèle, comme on peut le constater compte tenu des biais relatifs dans les tableaux 6.14, 6.15 et 6.16.

Tableau 6.14
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur basé sur un modèle pour les flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) de l’estimateur basé sur un modèle pour les flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	4,7 (6,1)	4,6 (8,9)	6,3 (10,5)
E2	-89,0 (126,6)	-89,5 (125,9)	-88,4 (126,9)
E3	4,1 (23,8)	-3,7 (26,67)	5,3 (10,4)

Tableau 6.15
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de transition $p_{i j}$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités de transition $p_{i j}$ . Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	0,03 (0,9)	-0,71 (4,1)	1,63 (8,6)
E2	2,77 (35,5)	-1,50 (19,6)	0,70 (70,6)
E3	4,00 (20,8)	-14,6 (20,1)	1,33 (3,41)

Tableau 6.16
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités initiales de classification $η_{i}$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) des probabilités initiales de classification $η_{i}$ Période $t - 1$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$
$η_{1}$	$η_{2}$	$η_{3}$
4,74 (6,48)	-89,3 (126,7)	3,95 (11,9)

De même, pour la probabilité de réponse $ψ$ , le biais relatif en pourcentage était de -0,77 et l’erreur quadratique moyenne relative était de 1,7; pour la probabilité de réponse $ρ_{R R},$ le biais relatif en pourcentage était de -0,53 et l’erreur quadratique moyenne relative était de 0,5; pour la probabilité de non-réponse $ρ_{M M},$ le biais relatif en pourcentage était de 0,11 et l’erreur quadratique moyenne relative était de 1,8. Par ailleurs, le tableau 6.17 montre les valeurs prévues empiriques pour l’estimateur fondé sur un modèle pour les flux bruts de la population (sans tenir compte du plan d’échantillonnage) et ces valeurs sont très loin des valeurs du tableau 6.1, en particulier pour la deuxième catégorie.

Tableau 6.17
Valeurs prévues empiriques pour l’estimateur basé sur un modèle pour les flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues empiriques pour l’estimateur basé sur un modèle pour les flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période (t-1) (titres de rangée) et Période (t)(figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	75 438	14 039	4 790
E2	164	315	53
E3	540	443	4 213

6.2.5 Probabilités d’inclusion inégales : estimateur naïf

Dans un cinquième scénario, nous considérons un plan d’échantillonnage avec des probabilités d’inclusion et des facteurs d’expansion inégaux. Compte tenu de l’estimateur naïf, qui ne tient pas compte du plan d’échantillonnage ou du modèle du répondant, le tableau 6.18 montre le biais relatif pour chaque cas dans la matrice de flux bruts. Cet estimateur serait recommandable uniquement si la non-réponse était ignorable et que le plan d’échantillonnage correspondait à un plan d’échantillonnage aléatoire simple.

Tableau 6.18
Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) pour l’estimateur naïf des flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatifs en pourcentage et erreurs quadratiques moyennes relatives en pourcentage (entre parenthèses) pour l’estimateur naïf des flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	-28,1 (34,7)	-27,6 (60,0)	-24,5 (41,1)
E2	497,0 (629,2)	570,2 (610,3)	432,7 (686,2)
E3	-40,5 (44,2)	-37,0 (47,4)	-33,0 (33,8)

Afin de faire une comparaison plus exacte, il serait possible de calculer les valeurs prévues des flux bruts et de les comparer au scénario actuel. Le tableau 6.19 montre les valeurs prévues empiriques pour l’estimateur naïf; comparativement aux valeurs prévues pour le modèle données dans le tableau 6.1, ces valeurs ne sont pas très proches et sont particulièrement médiocres pour les classifications de la deuxième catégorie.

Tableau 6.19
Valeurs prévues empiriques pour l’estimateur naïf des flux bruts de la population
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs prévues empiriques pour l’estimateur naïf des flux bruts de la population. Les données sont présentées selon Période $t - 1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).
Période $t - 1$	Période $t$
Période $t - 1$	E1	E2	E3
E1	51 755	9 849	3 297
E2	9 194	19 838	2 823
E3	279	295	2 665

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Date de modification :: 2017-09-20

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