5. Propriétés des estimateurs

Andrés Gutiérrez, Leonardo Trujillo et Pedro Luis do Nascimento Silva

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D’après Cassel, Särndal et Wretman (1976), le but de la prise en compte d’une approche d’échantillonnage consiste à recueillir de l’information d’un sous-ensemble (échantillon) d’unités dans la population finie pour obtenir une conclusion pour l’ensemble de la population. Pendant ce processus, le statisticien doit composer avec les sources de hasard qui définissent le comportement stochastique complexe du processus inférentiel. Bien que cet article considère le plan d’échantillonnage comme une mesure de probabilité déterminant l’inférence pour les paramètres et le modèle, il faut comprendre que le modèle markovien proposé offre une autre mesure bien définie de la probabilité. Maintenant, nous obtenons certaines propriétés des estimateurs proposés à la dernière section.

L’objectif du présent article consiste à intégrer le poids d’échantillonnage dans le modèle proposé, et il est important d’obtenir des estimateurs à peu près sans biais en ce qui concerne la mesure de probabilité liée au plan d’échantillonnage pour $\theta$  et $\mu$ . Les résultats suivants montrent certaines propriétés des estimateurs proposés considérés selon le plan de sondage complexe. En ce qui concerne la notation, la mesure de probabilité induite pour le plan d’échantillonnage sera représentée par le sous-indice $p.$  Les résultats suivants fournissent les estimateurs du maximum de vraisemblance pour les paramètres d’intérêt lorsqu’au lieu d’obtenir un échantillon, la mesure est obtenue au moyen d’un recensement ou d’un dénombrement complet des personnes dans la population.

Résultat 5.1 Supposons qu’il y ait un accès complet à l’ensemble de la population et que la fonction de logarithme du rapport de vraisemblance soit donnée par (4.1). Par conséquent, les estimateurs du maximum de vraisemblance, sous les hypothèses du modèle, sont les suivants

$$\begin{array}{ll}{\psi }_U& =\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M}\hfill \\ {\rho }_{RR\mathrm{,}U}& =\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}}\hfill \\ {\rho }_{MM\mathrm{,}U}& =\frac{M}{{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M}\hfill \end{array}$$

$${\eta }_{i\mathrm{,}U}^{(v+1)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}+R_i+{\displaystyle {\sum }_j\left(C_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}}(5.1)$$

$$p_{ij\mathrm{,}U}^{(v+1)}=\frac{N_{ij}+\left(C_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{p}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}{{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}+{\displaystyle {\sum }_j\left(C_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}}\text{(5}\text{.2)}$$

où (5.1) et (5.2) doivent être itérés conjointement jusqu’à la convergence.

Résultat 5.2 Sous les hypothèses du modèle, un estimateur de maximum de vraisemblance de ${\mu }_{ij}$  est

$${\mu }_{ij\mathrm{,}U}=N\times {\eta }_{i\mathrm{,}U}\times p_{ij\mathrm{,}U}$$

où $N$  correspond à la taille de la population et ${\eta }_{i\mathrm{,}U}$  et $p_{ij\mathrm{,}U}$  sont définis par le dernier résultat, respectivement.

Soulignons que $\theta$  et $\mu$  peuvent être définis comme des paramètres descriptifs de la population. D’après l’approche par inférence induite par la méthode du maximum de vraisemblance, il y a des estimateurs ${\theta }_U={\left({{\psi }^{\prime }}_U\mathrm{,}{{\rho }^{\prime }}_{RR,U},{{\rho }^{\prime }}_{MM,U}\mathrm{,}{{\eta }^{\prime }}_U,{p^{\prime }}_U\right)}^{\prime }$  et ${\mu }_U={\left({\mu }_{\mathrm{11,}U}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_{ij\mathrm{,}U}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_{GG\mathrm{,}U}\right)}^{\prime }$  définis comme les paramètres descriptifs de la population correspondants qui font que ${\theta }_{mpv}$  et ${\mu }_{mpv}$  sont convergents en ce qui concerne le plan d’échantillonnage au sens de la définition 2 dans Pfeffermann (1993). Soulignons par ailleurs que ${\theta }_U$  et ${\mu }_U$  peuvent être calculés uniquement si l’on a accès à l’ensemble de la population finie.

D’après Pessoa et Silva (1998, p. 79), il est possible d’évaluer que sous certaines conditions de régularité, ${\theta }_U-\theta =o_p\left(1\right)$  et ${\mu }_U-\mu =o_p\left(1\right)$ . De plus, comme dans de nombreuses enquêtes par sondage, la population et la taille de l’échantillon sont généralement grandes, un estimateur approprié de ${\theta }_U$  est également un estimateur adéquat pour $\theta ,$  et un estimateur approprié pour ${\mu }_U$  sera un estimateur adéquat pour $\mu .$

À la prochaine section, nous examinons les propriétés des estimateurs déjà proposés et nous parlerons de leur pertinence pour notre problème de recherche.

5.1  Propriétés des estimateurs de dénombrement

Résultat 5.3 Les estimateurs ${\widehat{N}}_{ij},{\widehat{R}}_i,{\widehat{C}}_j,\widehat{M}$  et $\widehat{N}$  définis à la section 4 sont sans biais en ce qui concerne le plan d’échantillonnage.

La preuve est très immédiate. Le coefficient de pondération $w_k$  correspond à l’inverse de la probabilité d’inclusion ${\pi }_k,$  associé à l’élément $k$ . Tous les estimateurs sont de la catégorie Horvitz-Thompson et sont donc sans biais.

Résultat 5.4 En supposant que $w_k=1/{\pi }_k$ , les variances correspondantes pour ${\widehat{N}}_{ij},{\widehat{R}}_i,{\widehat{C}}_j,\widehat{M}$  et $\widehat{N},$  sont données par

$$\begin{array}{cc}Va{r}_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)& ={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{y_{1ik}{y}_{2jk}}{{\pi }_k}\frac{y_{1il}{y}_{2jl}}{{\pi }_l}\hfill \\ Va{r}_p\left({\widehat{R}}_i\right)& ={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}{{\pi }_k}\frac{y_{1il}\left(1-z_{2l}\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ Va{r}_p\left({\widehat{C}}_j\right)& ={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{y_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)}{{\pi }_k}\frac{y_{2jl}\left(1-z_{1l}\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ Va{r}_p\left(\widehat{M}\right)& ={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{\left(1-z_{1k}\right)}{{\pi }_k}\frac{\left(1-z_{1l}\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ Va{r}_p\left(\widehat{N}\right)& ={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{v_k}{{\pi }_k}\frac{v_l}{{\pi }_l}.\hfill \end{array}$$

Les estimateurs sans biais pour ces variances, respectivement, sont donnés par

$$\begin{array}{cc}{\widehat{Var}}_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{y_{1ik}{y}_{2jk}}{{\pi }_k}\frac{y_{1il}{y}_{2jl}}{{\pi }_l}\hfill \\ {\widehat{Var}}_p\left({\widehat{R}}_i\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}{{\pi }_k}\frac{y_{1il}\left(1-z_{2l}\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ {\widehat{Var}}_p\left({\widehat{C}}_j\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{y_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)}{{\pi }_k}\frac{y_{2jl}\left(1-z_{1l}\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ {\widehat{Var}}_p\left(\widehat{M}\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{\left(1-z_{1k}\right)}{{\pi }_k}\frac{\left(1-z_{1l}\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ {\widehat{Var}}_p\left(\widehat{N}\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{v_k}{{\pi }_k}\frac{v_l}{{\pi }_l}.\hfill \end{array}$$

Par ailleurs, si $w_k$  correspond aux poids de calage sur marges, alors tous les estimateurs envisagés sont sans biais asymptotique et des preuves sont données dans Deville et Särndal (1992). Leurs variances correspondantes sont données par Kim et Park (2010).

5.2  Propriétés des estimateurs de probabilités des modèles

Résultat 5.5 L’approximation du premier degré de Taylor pour l’estimateur ${\psi }_{mpv}$ , définie comme le résultat 4.2 qui précède, autour du point $\left(N_{ij}\mathrm{,}{R}_i\mathrm{,}{C}_j\mathrm{,}M\right)$  et $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$ , est donnée par l’expression

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\psi }}_{mpv}\hfill & \cong {\widehat{\psi }}_0\hfill \\ \hfill & \text{=}{\psi }_U+a_1{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{N}}_{ij}-N_{ij}\right)+a_1{\displaystyle \sum _i}\left({\widehat{R}}_i-R_i\right)\hfill \\ \hfill & +a_2{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{C}}_j-C_j\right)+a_2\left(\widehat{M}-M\right)\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{l}{a}_1=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M\right)}^2}\\ a_2=-\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M\right)}^2}.\end{array}$$

Résultat 5.6 L’approximation du premier degré de Taylor pour l’estimateur ${\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv}$ , définie au résultat 4.2 plus haut, autour du point $\left(N_{ij}\mathrm{,}{R}_i\right)$  et $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$ , est donnée par l’expression

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv}& \cong {\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,0}}\hfill \\ & ={\rho }_{RR\mathrm{,}U}+a_3{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{N}}_{ij}-N_{ij}\right)+a_4{\displaystyle \sum _i}\left({\widehat{R}}_i-R_i\right)\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{l}{a}_3=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}\right)}^2}\\ a_4=-\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}\right)}^2}.\end{array}$$

Résultat 5.7 L’approximation du premier degré de Taylor pour l’estimateur ${\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}$ , définie au résultat 4.2 plus haut, autour du point $\left(C_j\mathrm{,}M\right)$  et $j=1,\dots \mathrm{,}G,$  est donnée par l’expression

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}& \cong {\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,0}}\hfill \\ & ={\rho }_{MM\mathrm{,}U}+a_5{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{C}}_j-C_j\right)+a_6\left(\widehat{M}-M\right)\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{l}{a}_5=-\frac{M}{{\left({\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M\right)}^2}\\ a_6=-\frac{{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}}{{\left({\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M\right)}^2}.\end{array}$$

Résultat 5.8 Les estimateurs ${\widehat{\psi }}_{mpv},{\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv},$  sont à peu près sans biais pour ${\psi }_U,{\rho }_{MM\mathrm{,}U},{\rho }_{RR\mathrm{,}U}.$

Résultat 5.9 Les estimateurs ${\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}$ , sont à peu près sans biais pour ${\eta }_{i\mathrm{,}U}$  et $p_{ij\mathrm{,}U}$ .

Résultat 5.10 Les variances approximatives pour les estimateurs ${\widehat{\psi }}_{mpv},{\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv},$  sont données par

$$\begin{array}{ll}A{V}_p\left({\widehat{\psi }}_{mpv}\right)& =V_p\left({\displaystyle \sum _s}\frac{E_k^{\psi }}{{\pi }_k}\right)={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{E_k^{\psi }}{{\pi }_k}\frac{E_l^{\psi }}{{\pi }_l}\hfill \\ A{V}_p\left({\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv}\right)& =V_p\left({\displaystyle \sum _s}\frac{E_k^{RR}}{{\pi }_k}\right)={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{E_k^{RR}}{{\pi }_k}\frac{E_l^{RR}}{{\pi }_l}\hfill \\ A{V}_p\left({\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}\right)& =V_p\left({\displaystyle \sum _s}\frac{E_k^{MM}}{{\pi }_k}\right)={\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{E_k^{MM}}{{\pi }_k}\frac{E_l^{MM}}{{\pi }_l}\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{ll}{E}_k^{\psi }& =a_1\left(2-z_{2k}\right)+a_2\left(1-z_{1k}\right)\left(2-z_{2k}\right)\hfill \\ E_k^{RR}& =a_3+a_4\left(1-z_{2k}\right)\hfill \\ E_k^{MM}& =a_5\left(1-z_{1k}\right)+a_6\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right).\hfill \end{array}$$

Résultat 5.11 Les estimateurs sans biais pour les variances approximatives des estimateurs ${\widehat{\psi }}_{mpv},{\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv},$  sont donnés par

$$\begin{array}{ll}\widehat{V}\left({\widehat{\psi }}_{mpv}\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{e_k^{\psi }}{{\pi }_k}\frac{e_l^{\psi }}{{\pi }_l}\hfill \\ \widehat{V}\left({\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv}\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{e_k^{RR}}{{\pi }_k}\frac{e_l^{RR}}{{\pi }_l}\hfill \\ \widehat{V}\left({\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}\right)& ={\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{e_k^{MM}}{{\pi }_k}\frac{e_l^{MM}}{{\pi }_l}\hfill \end{array}$$

respectivement, où

$$\begin{array}{ll}{e}_k^{\psi }& ={\widehat{a}}_1\left(2-z_{2k}\right)+{\widehat{a}}_2\left(1-z_{1k}\right)\left(2-z_{2k}\right)\hfill \\ e_k^{RR}& ={\widehat{a}}_3+{\widehat{a}}_4\left(1-z_{2k}\right)\hfill \\ e_k^{MM}& ={\widehat{a}}_5\left(1-z_{1k}\right)+{\widehat{a}}_6\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{l}{\widehat{a}}_1=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}\right)}^2}\\ {\widehat{a}}_2=-\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}\right)}^2}\\ {\widehat{a}}_3=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}\right)}^2}\\ {\widehat{a}}_4=-\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}\right)}^2}\\ {\widehat{a}}_5=-\frac{\widehat{M}}{{\left({\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}\right)}^2}\\ {\widehat{a}}_6=-\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}}{{\left({\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}\right)}^2}.\end{array}$$

Résultat 5.12 Les variances approximatives pour les estimateurs ${\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}$  sont données par

$$\begin{array}{ll}A{V}_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)& =\frac{1}{{\left(J_{{\eta }_i}\right)}^2}{\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{u_k\left({\eta }_i\right)}{{\pi }_k}\frac{u_l\left({\eta }_i\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ A{V}_p\left({\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}\right)& =\frac{1}{{\left(J_{p_{ij}}\right)}^2}{\displaystyle \sum _U}{\displaystyle \sum _U}{\Delta }_{kl}\frac{u_k\left(p_{ij}\right)}{{\pi }_k}\frac{u_l\left(p_{ij}\right)}{{\pi }_l}\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{l}{u}_k\left({\eta }_i\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{y}_{1ik}{y}_{2jk}}+y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}{{\eta }_i}+{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\frac{p_{ij}}{{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)-1\\ \\ u_k\left(p_{ij}\right)=\frac{y_{1ik}{y}_{2jk}}{p_{ij}}+y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)+y_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\frac{{\eta }_i}{{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right){\eta }_i\\ -\frac{1}{\widehat{N}}\left({\displaystyle \sum _j}{\widehat{N}}_{ij}+{\widehat{R}}_i+\widehat{M}{\eta }_i+{\displaystyle \sum _j}{\widehat{C}}_j\left(\frac{{\eta }_i{p}_{ij}}{{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}}\right)\right)\\ J_{{\eta }_i}=-\frac{2}{{\eta }_i^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{1ik}+\frac{1}{{\eta }_i^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{1ik}{z}_{2k}-{\displaystyle \sum _U}\left(1-z_{1k}\right){\displaystyle \sum _j}\frac{y_{2jk}{p}_{ij}^2}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}^2}\\ J_{p_{ij}}=-\frac{1}{p_{ij}^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{1ik}{y}_{2jk}-\frac{{\eta }_i^2}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right).\end{array}$$

Résultat 5.13 Les estimateurs sans biais pour les variances approximatives des estimateurs ${\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}$  sont donnés par

$$\begin{array}{cc}{\widehat{V}}_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)& =\frac{1}{{\left({\widehat{J}}_{{\widehat{\eta }}_i}\right)}^2}{\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{{\widehat{u}}_k\left({\widehat{\eta }}_i\right)}{{\pi }_k}\frac{{\widehat{u}}_l\left({\widehat{\eta }}_i\right)}{{\pi }_l}\hfill \\ {\widehat{V}}_p\left({\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}\right)& =\frac{1}{{\left({\widehat{J}}_{{\widehat{p}}_{ij}}\right)}^2}{\displaystyle \sum _s}{\displaystyle \sum _s}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{{\widehat{u}}_k\left({\widehat{p}}_{ij}\right)}{{\pi }_k}\frac{{\widehat{u}}_l\left({\widehat{p}}_{ij}\right)}{{\pi }_l}\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{cc}{\widehat{u}}_k\left({\widehat{\eta }}_i\right)& =\frac{{\displaystyle {\sum }_j{y}_{1ik}{y}_{2jk}}+y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}{{\widehat{\eta }}_i}+{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\frac{{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}}{{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}}}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)\hfill \\ {\widehat{u}}_k\left({\widehat{p}}_{ij}\right)& =\frac{y_{1ik}{y}_{2jk}}{{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}}+y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)+y_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\frac{{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}}{{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}{p}_{ij\mathrm{,,}mpv}}}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right){\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{ll}{\widehat{J}}_{{\widehat{\eta }}_i}& =-\frac{2}{{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{1ik}+\frac{1}{{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{1ik}{z}_{2k}-{\displaystyle \sum _U}(1-z_{1k}){\displaystyle \sum _j}\frac{y_{2jk}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}^2}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}}\right)}^2}\hfill \\ {\widehat{J}}_{{\widehat{p}}_{ij}}& =-\frac{1}{{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{1ik}{y}_{2jk}-\frac{{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}^2}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}}\right)}^2}{\displaystyle \sum _U}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right).\hfill \end{array}$$

5.3  Propriétés des estimateurs des flux bruts

Résultat 5.14 Sous les hypothèses du modèle, l’approximation du premier degré de Taylor de l’estimateur des flux bruts donnée par ${\widehat{\mu }}_{ij}$  et définie dans le résultat 4.4, autour du point $(N\mathrm{,}{\eta }_{i\mathrm{,}U}\mathrm{,}{p}_{ij\mathrm{,}U})$  et $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$ , est donnée par

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}& \cong {\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,0}}\hfill \\ & ={\mu }_{ij\mathrm{,}U}+a_7\left({\widehat{N}}_{ij}-N_{ij}\right)+a_8\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}-{\eta }_{i\mathrm{,}U}\right)+a_9\left({\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}-p_{ij\mathrm{,}U}\right)\hfill \end{array}$$

où

$$\begin{array}{c}{a}_7={\eta }_{i\mathrm{,}U}{p}_{ij\mathrm{,}U}\\ a_8=N_{ij}{p}_{ij\mathrm{,}U}\\ a_9=N_{ij}{\eta }_{i,U}.\end{array}$$

Résultat 5.15 L’estimateur des flux bruts ${\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}$  est à peu près sans biais pour ${\mu }_{ij\mathrm{,}U}.$

Résultat 5.16 L’expression suivante évalue la variance approximative pour ${\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}$

$$A{V}_p\left({\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}\right)\cong a_7^{2}Va{r}_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)+a_8^{2}A{V}_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)+a_9^{2}A{V}_p\left({\widehat{p}}_{ij}\right).(5.3)$$

Résultat 5.17 Un estimateur approximativement sans biais pour la variance asymptotique dans (5.3) est donné par

$${\widehat{V}}_p\left({\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}\right)={\widehat{a}}_7^2{\widehat{V}}_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)+a_8^2{\widehat{V}}_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)+a_9^2{\widehat{V}}_p\left({\widehat{p}}_{ij}\right)$$

où

$$\begin{array}{l}{\widehat{a}}_7={\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}U}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}U}\\ {\widehat{a}}_8={\widehat{N}}_{ij}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}U}\\ {\widehat{a}}_9={\widehat{N}}_{ij}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}U}.\end{array}$$

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