4. Estimation des paramètres d’intérêt

Andrés Gutiérrez, Leonardo Trujillo et Pedro Luis do Nascimento Silva

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Supposons que $N_{ij}$  représente le nombre total de répondants pour la population d’intérêt ayant une classification $i$  pendant la période $t-1$  et $j$  pendant la période $t.$  Supposons que $R_i$  soit le nombre total de personnes dans la population n’ayant pas répondu pendant la période $t$  mais ayant répondu pendant la période $t-1$  avec la classification $i.$  Supposons que $C_j$  représente le nombre total de personnes dans la population n’ayant pas répondu pendant la période $t-1$  mais ayant répondu pendant la période $t$  avec la classification $j$  et enfin, supposons que $M$  représente le nombre de personnes appartenant à la population n’ayant répondu à aucune des deux périodes d’observation. Il s’ensuit que la taille totale de la population, $N$ , doit respecter la contrainte suivante :

$$N={\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{N}_{ij}+{\displaystyle \sum _j}{C}_j+{\displaystyle \sum _i}{R}_i+M.$$

En définissant les caractéristiques d’intérêt suivantes, il est possible de déterminer les paramètres d’intérêt :

$$\begin{array}{cc}{y}_{1ik}& =\{\begin{array}{ll}\mathrm{1,}\hfill & \text{si la }k-\text{ième personne répond à la période }t-1\text{ avec la classification }i;\hfill \\ \mathrm{0,}\hfill & \text{sinon}\text{.}\hfill \end{array}\hfill \\ y_{2jk}& =\{\begin{array}{ll}\mathrm{1,}\hfill & \text{si la }k-\text{ième personne répond à la période }t\text{ avec la classification }j;\hfill \\ \mathrm{0,}\hfill & \text{sinon}\text{.}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

Alors, le produit de ces quantités, défini par $y_{1ik}{y}_{2jk}$ , correspond à une nouvelle caractéristique d’intérêt prenant la valeur un si la personne a répondu aux deux périodes et est classé dans le cas $ij,$  ou zéro sinon. De plus,

$$N_{ij}={\displaystyle \sum _{k\in U}}{y}_{1ik}{y}_{2jk}.$$

Définissez les caractéristiques dichotomiques suivantes :

$$\begin{array}{lll}{z}_{1k}\hfill & =\hfill & \{\begin{array}{ll}\mathrm{1,}\hfill & \text{ si la }k-\text{ième personne répond à la période }t-1;\hfill \\ \mathrm{0,}\hfill & \text{ sinon}\text{.}\hfill \end{array}\hfill \\ z_{2k}\hfill & =\hfill & \{\begin{array}{ll}\mathrm{1,}\hfill & \text{si la }k-\text{ième personne répond à la période }t;\hfill \\ \mathrm{0,}\hfill & \text{sinon}\text{.}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

Il s’ensuit que

$$\begin{array}{lll}{R}_i\hfill & =\hfill & {\displaystyle \sum _{k\in U}}{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)\hfill \\ C_j\hfill & =\hfill & {\displaystyle \sum _{k\in U}}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\hfill \\ M\hfill & =\hfill & {\displaystyle \sum _{k\in U}}\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right).\hfill \end{array}$$

Supposons que $w_k$  indique le poids pour la $k\text{-ième}$  personne correspondant à une stratégie d’échantillonnage particulière (plan d’échantillonnage et estimateur) dans les deux vagues. Par conséquent, les expressions suivantes représentent les estimateurs des paramètres d’intérêt :

$$\begin{array}{ll}{\widehat{N}}_{ij}& ={\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k{y}_{1ik}{y}_{2jk}\hfill \\ {\widehat{R}}_i& ={\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)\hfill \\ {\widehat{C}}_j& ={\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\hfill \\ \widehat{M}& ={\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)\hfill \end{array}$$

pour $N_{ij}$ , $R_i$ , $C_j$  et $M,$  respectivement. Soulignons qu’une estimation sans biais pour la taille de la population est donnée par

$$\widehat{N}={\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{\widehat{N}}_{ij}+{\displaystyle \sum _j}{\widehat{C}}_j+{\displaystyle \sum _i}{\widehat{R}}_i+\widehat{M}={\displaystyle \sum _s}{w}_k{v}_k$$

où

$$v_k={\displaystyle \sum _i}{y}_{1ik}{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}+{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)+{\displaystyle \sum _i}{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right).$$

En tenant compte de la forme fonctionnelle de tous les paramètres d’intérêt, si nous constatons que la fonction de vraisemblance du modèle est proportionnelle à (3.1), nous obtenons le résultat suivant.

Résultat 4.1 Le logarithme du rapport de vraisemblance pour les données observées au niveau de la population peut être réécrit comme suit :

$$l_U={\displaystyle \sum _{k\in U}}{f}_k\left(\psi \mathrm{,}{\rho }_{RR}\mathrm{,}{\rho }_{MM}\mathrm{,}\eta \mathrm{,}p\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\right)(4.1)$$

où

$$\begin{array}{l}{f}_k\left(\psi \mathrm{,}{\rho }_{RR}\mathrm{,}{\rho }_{MM}\mathrm{,}\eta \mathrm{,}p\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\right)\\ ={\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{y}_{1ik}{y}_{2jk}\ln \left(\psi {\rho }_{RR}{\eta }_i{p}_{ij}\right)\\ +{\displaystyle \sum _i}{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)\ln \left({\displaystyle \sum _j}\psi \left(1-{\rho }_{RR}\right){\eta }_i{p}_{ij}\right)\\ +{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\ln \left({\displaystyle \sum _i}\left(1-\psi \right)\left(1-{\rho }_{MM}\right){\eta }_i{p}_{ij}\right)\\ +\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)\ln \left({\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left(1-\psi \right){\rho }_{MM}{\eta }_i{p}_{ij}\right)\end{array}$$

où $y_1$  est un vecteur renfermant les caractéristiques $y_{1ik}$ , $y_2$  est un vecteur renfermant les caractéristiques $y_{2jk},$   $z_1$  est un vecteur renfermant les caractéristiques $z_{1k}$ , et $z_2$  est un vecteur renfermant les caractéristiques $z_{2k}$  (pour chaque $k=1,\dots \mathrm{,}N$  et $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$  ).

Maintenant, afin d’obtenir des estimateurs des paramètres, il faut maximiser cette dernière fonction. Au moyen de techniques standard de maximum de vraisemblance, les équations de probabilité correspondantes sont données par

$${\displaystyle \sum _{k\in U}}{u}_k\left(\theta \right)=0$$

où le vecteur $u_k$ , communément appelé scores, est défini par

$$u_k\left(\theta \right)=\frac{\partial f_k\left(\theta \right)}{\partial \theta }.$$

De plus, comme il est inhabituel de sonder la population au complet, un échantillon probabiliste est sélectionné, et l’expression ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}}{u}_k\left(\theta \right)$  est considérée comme un paramètre de population. Ainsi, en considérant que $w_k=1/{\pi }_k$  est le poids d’échantillonnage correspondant, un estimateur sans biais pour cette somme de scores est défini comme ${\displaystyle {\sum }_{k\in S}}{w}_k{u}_k\left(\theta \right).$  La prochaine expression s’appelle pseudo-équation de vraisemblance et elle constitue une façon efficace de trouver des estimateurs pour les paramètres du modèle en tenant compte du poids d’échantillonnage :

$${\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k{u}_k\left(\theta \right)=0.$$

On présume que pour le modèle dans le présent article, la probabilité initiale qu’une personne réponde pendant une période $t-1$  est la même pour toutes les classifications possibles dans l’enquête. De plus, les probabilités de transition entre les répondants et les non-répondants ne dépendent pas de la classification des personnes dans l’enquête, ${\rho }_{MM}$  et ${\rho }_{RR}$ . Compte tenu de ces suppositions, les résultats suivants présumeront que l’estimation des probabilités du modèle de Markov tient compte du poids d’échantillonnage.

Résultat 4.2 Sous les hypothèses du modèle, les estimateurs du maximum de pseudo-vraisemblance obtenus pour $\psi ,$   ${\rho }_{RR}$  et ${\rho }_{MM}$  sont données par

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\psi }}_{mpv}& =\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}}\hfill \\ {\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv}& =\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}}\hfill \\ {\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}& =\frac{\widehat{M}}{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}}\hfill \end{array}$$

respectivement.

Résultat 4.3 Sous les hypothèses du modèle, les estimateurs du maximum de pseudo-vraisemblance obtenus pour ${\eta }_i$  et $p_{ij}$  sont obtenus par itération jusqu’à la convergence des prochaines expressions

$$\begin{array}{lll}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}^{(v+1)}\hfill & =\hfill & \frac{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}+{\widehat{R}}_i+{\displaystyle {\sum }_j\left({\widehat{C}}_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}}\hfill \\ {\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}^{(v+1)}\hfill & =\hfill & \frac{{\widehat{N}}_{ij}+\left({\widehat{C}}_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}+{\displaystyle {\sum }_j\left({\widehat{C}}_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}}\hfill \end{array}$$

respectivement. L’indice supérieur $\left(v\right)$  indique la valeur de l’estimation pour les paramètres d’intérêt à l’itération $v$ .

Les résultats qui précèdent offrent un cadre complet pour la mise en œuvre du modèle markovien à deux degrés afin de tenir compte du poids d’échantillonnage dans les enquêtes longitudinales. Une autre question d’intérêt consiste à déterminer comment choisir les valeurs initiales $\left\{{\widehat{\eta }}_i^{(0)}\right\}$  et $\left\{{\widehat{p}}_{ij}^{(0)}\right\}$ . En général, n’importe quel ensemble de valeurs est valide s’il respecte les restrictions initiales :

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _i}{\widehat{\eta }}_i^{(0)}=1\\ {\displaystyle \sum _j}{\widehat{p}}_{ij}^{(0)}=1.\end{array}$$

Cependant, d’après les directives de Chen et Fienberg (1974) et compte tenu du cas hypothétique où toutes les personnes auraient répondu aux deux périodes, alors $M=0\text{, }{R}_i=0$  (pour chaque $i=1,\dots \mathrm{,}G$  ) et $C_j=0$  (pour chaque $j=1,\dots \mathrm{,}G$  ) et leurs estimations d’échantillonnage sont également nulles. Par conséquent, et compte tenu des expressions des estimateurs obtenus, un choix judicieux est donné par

$$\begin{array}{c}{\widehat{\eta }}_i^{(0)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}}\\ {\widehat{p}}_{ij}^{(0)}=\frac{{\widehat{N}}_{ij}}{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}.\end{array}$$

Enfin, cette approche itérative est souvent mise en œuvre pour les problèmes d’estimation par maximum de vraisemblance dans les tableaux de contingence. Toutefois, certaines approches pour l’intégration de modèles loglinéaires dans les tableaux de contingence pour les plans de sondage complexes se trouvent entre autres dans les travaux de Clogg et Eliason (1987), Rao et Thomas (1988), Skinner et Vallet (2010). Le prochain résultat offre une approche de l’estimation des flux bruts compte tenu du poids d’échantillonnage pendant les deux périodes d’intérêt.

Résultat 4.4 Sous les hypothèses du modèle, un estimateur d’échantillonnage de ${\mu }_{ij}$  est

$${\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}=\widehat{N}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}{\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}.$$

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