3. Modèles de Markov pour les tableaux de contingence avec non-réponse

Andrés Gutiérrez, Leonardo Trujillo et Pedro Luis do Nascimento Silva

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Considérons le problème des flux bruts des estimations entre deux périodes consécutives au moyen de données catégoriques obtenues d’une enquête par panel et dans un contexte de non-réponse. De plus, supposons que le résultat de chaque interview est la classification du répondant dans une des $G$  catégories disjointes en paires possibles, et le but est d’estimer les flux bruts entre ces catégories au moyen de l’information de personnes qui ont été interviewées pendant deux périodes consécutives. Les personnes qui n’ont pas répondu pendant une ou deux périodes ou qui étaient exclues ou incluses pour une seule des deux périodes n’auront pas une classification définie parmi les catégories. Par conséquent, il y a un groupe de personnes avec une classification entre les deux périodes, un groupe de personnes qui ont l’information uniquement pour une des deux périodes et un groupe de personnes qui n’ont participé à aucune des deux périodes de l’enquête.

Pour les personnes qui ont répondu aux périodes $t-1$  et $t$ , les données sur la classification peuvent être résumées dans une matrice de dimension $G\times G$ . L’information disponible pour les personnes qui n’ont pas répondu à l’enquête pendant la période $t-1$  mais qui ont répondu pendant la période $t$  peut être résumée dans un complément de colonne; l’information pour les personnes n’ayant pas répondu pendant la période $t$  mais ayant répondu pendant la période $t-1$  peuvent être résumées dans un complément de ligne. Enfin, les personnes n’ayant répondu à aucune des deux périodes sont incluses dans une seule cellule en dénombrant les personnes ayant des données manquantes pendant les deux périodes.

La matrice complète est illustrée dans le tableau 3.1, où $N_{ij}$  ( $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$  ) désigne le nombre de personnes dans la population ayant une classification $i$  pendant la période $t-1$  et une classification $j$  pendant la période $t$ , $R_i$  indique le nombre de personnes n’ayant pas répondu pendant la période $t$  et ayant une classification $i$  pendant la période $t-1$ , $C_j$  indique le nombre de personnes n’ayant pas répondu pendant la période $t-1$  et ayant une classification $j$  pendant la période $t$ , et $M$  représente le nombre de personnes dans l’échantillon n’ayant pas répondu pendant les deux périodes. Il est important de mentionner que cette analyse ne tient pas compte de la non-réponse due à la rotation de l’enquête; elle tient compte uniquement des personnes appartenant à l’échantillon apparié en faisant fi des personnes n’ayant pas répondu parce qu’elles n’avaient pas été sélectionnées dans l’échantillon.

Tableau 3.1
Flux bruts pendant deux périodes consécutives
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Flux bruts pendant deux périodes consécutives. Les données sont présentées selon Période $t-1$ (titres de rangée) et Période $t$(figurant comme en-tête de colonne).

Période $t-1$	Période $t$
	1	2	$\cdots$	$G$	Complément de ligne
1	$N_{11}$	$N_{12}$	$\cdots$	$N_{1G}$	$R_1$
2	$N_{21}$	$N_{22}$	$\cdots$	$N_{2G}$	$R_2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$G$	$N_{G1}$	$N_{G2}$	$\cdots$	$N_{GG}$	$R_G$
Complément de colonne	$C_1$	$C_2$	$\cdots$	$C_G$	$M$

Le présent article tient compte des idées de Stasny (1987) et de Chen et Fienberg (1974), en ce qu’il tient compte de l’approche du maximum de vraisemblance dans les tableaux de contingence pour les données partiellement classées, ainsi que les données obtenues d’un processus à deux degrés comme suit :

1. Au premier degré (non observable), les personnes se trouvent dans les cellules d’une matrice $G\times G$  en fonction des probabilités d’un processus de chaîne de Markov. Supposons que ${\eta }_i$  soit la probabilité initiale qu’une personne soit dans la catégorie $i$  pendant la période $t-1$ , où ${\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i=1,$  et que $p_{ij}$  soit la probabilité de transition de la catégorie $i$  à la catégorie $j$ , où ${\displaystyle {\sum }_j}{p}_{ij}=1$  pour chaque $i$ .
2. Au deuxième degré (observable) du processus, chaque personne dans le cas $ij$  peut être un non-répondant pendant la période $t-1,$  perdant la classification par ligne; un non-répondant pendant la période $t,$  perdant la classification par colonne; ou un non-répondant pendant les deux périodes, perdant les deux classifications.
   • Supposons que $\psi$  soit la probabilité initiale qu’une personne dans le cas $ij$  réponde pendant la période $t-1.$
   • Supposons que ${\rho }_{RR}$  soit la probabilité de transition de la classification que la personne du cas $ij$  ait répondu pendant la période $t-1$  et la période $t.$
   • Supposons que ${\rho }_{MM}$  soit la probabilité de transition qu’une personne dans le cas $ij$  soit un non-répondant pendant la période $t-1$  et devienne un non-répondant pendant la période $t.$
   Ces probabilités ne dépendent pas de l’état de classification de la personne.   $$

Les données sont observées uniquement après le deuxième degré. L’idée est de faire des inférences pour les probabilités dans le processus de la chaîne de Markov produisant les données, mais aussi dans la chaîne générant le mécanisme de non-réponse. Dans le contexte de ce modèle à deux degrés, les probabilités correspondantes sont indiquées dans le tableau 3.2.

Tableau 3.2
Probabilités des flux bruts pendant deux périodes consécutives
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Probabilités des flux bruts pendant deux périodes consécutives. Les données sont présentées selon Période $t-1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).

Période $t-1$	Période $t$
	1	2	$\cdots$	$j$	$\cdots$	$G$	Complément de ligne
1
2
$⋮$
$i$	$\left\{{\eta }_i{p}_{ij}\psi {\rho }_{RR}\right\}$						$\left\{{\displaystyle {\sum }_j}{\eta }_i{p}_{ij}\psi \left(1-{\rho }_{RR}\right)\right\}$
$⋮$
$G$
Complément de colonne	$\left\{{\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i{p}_{ij}\left(1-\psi \right)\left(1-{\rho }_{MM}\right)\right\}$						${\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i{p}_{ij}{\displaystyle {\sum }_j}\left(1-\psi \right){\rho }_{MM}$

Ainsi, la fonction de vraisemblance pour les données observées dans ce modèle à deux degrés est proportionnelle à

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \prod _i}{\displaystyle \prod _j}{\left[\psi {\rho }_{RR}{\eta }_i{p}_{ij}\right]}^{N_{ij}}\times {\displaystyle \prod _i}{\left[{\displaystyle \sum _j}\psi \left(1-{\rho }_{RR}\right){\eta }_i{p}_{ij}\right]}^{R_i}\\ \times {\displaystyle \prod _j}{\left[{\displaystyle \sum _i}\left(1-\psi \right)\left(1-{\rho }_{MM}\right){\eta }_i{p}_{ij}\right]}^{C_j}\times {\left[{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left(1-\psi \right){\rho }_{MM}{\eta }_i{p}_{ij}\right]}^M.(3.1)\end{array}$$

3.1. Paramètres d’intérêt

Les données sont observées uniquement après le deuxième degré, et l’objectif est de faire des inférences pour les probabilités dans la chaîne de Markov générant les données et la chaîne générant la non-réponse. Selon ce modèle à deux degrés, les probabilités de la matrice de données sont indiquées dans le tableau 3.2 et constituent certains des paramètres d’intérêt.

Par ailleurs, après le processus non observable, il faut tenir compte d’autres paramètres d’intérêt, comme suit. Supposons qu’il y ait une population finie $U,$  ayant une classification de deux périodes pour toutes ses personnes. Il s’agit d’un processus non observable puisque, même lorsque les données du recensement sont obtenues, il ne serait pas possible d’avoir une classification complète puisque les personnes ne seraient pas toutes disposées à répondre. Compte tenu de ce processus non observable et en supposant qu’il y ait $G$  classifications possibles dans chaque période, la répartition des flux bruts au niveau de la population est indiquée dans le tableau 3.3.

$X_{ij}$ est le nombre d’unités de la population finie ayant la classification $i$  pendant la période $t-1$  et la classification $j$  pendant la période $t$  ( $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$  ). La taille de la population, $N$ , doit satisfaire à l’expression :

$$N={\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{X}_{ij}.$$

Tableau 3.3
Flux bruts de la population (processus non observable) pendant deux périodes consécutives
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Flux bruts de la population (processus non observable) pendant deux périodes consécutives. Les données sont présentées selon Période $t-1$ (titres de rangée) et Période $t$ (figurant comme en-tête de colonne).

Période $t-1$	Période $t$
	1	2	$\cdots$	$j$	$\cdots$	$G$
1	$X_{11}$	$X_{12}$	$\cdots$	$X_{1j}$	$\cdots$	$X_{1G}$
2	$X_{21}$	$X_{22}$	$\cdots$	$X_{2j}$	$\cdots$	$X_{2G}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$i$	$X_{i1}$	$X_{i2}$	$\cdots$	$X_{ij}$	$\cdots$	$X_{iG}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$G$	$X_{G1}$	$X_{G2}$	$\cdots$	$X_{Gj}$	$\cdots$	$X_{GG}$

Suivant le processus non observable de la dernière section, on suppose que le vecteur correspondant aux entrées dans le dernier tableau de contingence suit une répartition multinomiale avec un vecteur de probabilité renfermant les valeurs ${\left\{{\eta }_i{p}_{ij}\right\}}_{i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G}$ . On suppose un modèle de superpopulation, où les chiffres du tableau de contingence sont considérés comme aléatoires. En ce qui concerne la notation, la mesure de la probabilité compte tenu de ces chiffres sera représentée par le sous-indice $\xi .$  Alors, la probabilité de classification de la $k\text{-ième}$ personne dans la cellule $i\mathrm{,}j$ est

$$\begin{array}{l}{P}_{\xi }\left(k\text{ a la classification }i\text{ à }t-1\text{ et la classification }j\text{ à }t\right)\\ \text{ =}{P}_{\xi }\left(k\text{ a la classification }i\text{ à }t-1\right)\\ \times P_{\xi }\left(k\text{ a la classification }j\text{ à }t|k\text{ a la classification }i\text{ à }t-1\right)\\ \text{ =}{\eta }_i{p}_{ij}.\end{array}$$

On considère $X_{ij}$  comme une variable aléatoire et si la population finie comporte $N$  personnes, sa valeur prévue en fonction du modèle est donnée par

$$E_{\xi }\left(X_{ij}\right)=N{\eta }_i{p}_{ij}={\mu }_{ij}.(3.2)$$

Soulignons que cette valeur prévue ${\mu }_{ij}$  est un des paramètres les plus importants à estimer dans cet article, puisqu’elle correspond à la valeur prévue des flux bruts de la population d’intérêt pendant deux périodes consécutives. Par ailleurs, il faut comprendre que ${\mu }_{ij}$  est un paramètre pour le modèle à deux degrés. De plus, les estimateurs pour ${\eta }_i$  et $p_{ij}$  sont interdépendants et déterminés par les estimations des paramètres définis au deuxième degré. Supposons que $\mathbf{\eta }$  soit le vecteur renfermant les paramètres ${\eta }_i$  et que $p$  soit le vecteur renfermant les paramètres $p_{ij}$ , pour chaque $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$ . Les paramètres finaux d’intérêt sont les suivants :

• les paramètres du modèle, déterminés par le vecteur

  $$\theta \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\psi }^{\prime }\mathrm{,}{{\rho }^{\prime }}_{RR}\mathrm{,}{{\rho }^{\prime }}_{MM}\mathrm{,}{\eta }^{\prime }\mathrm{,}{p}^{\prime }\right)}^{\prime };$$

• le vecteur des valeurs prévues des chiffres de population est défini comme suit :

  $$\mu \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\mu }_{11}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_{ij}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_{GG}\right)}^{\prime }.$$

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