2. Motivation

Andrés Gutiérrez, Leonardo Trujillo et Pedro Luis do Nascimento Silva

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2.1  Plans d’échantillonnage et estimateurs

Considérons une population finie comme un ensemble de $N$  unités, où $N<\infty$ , pour former l’univers de l’étude. $N$  est connu comme la taille de la population. Chaque élément appartenant à la population peut être identifié par un indice $k.$  Supposons que $U$  soit l’ensemble des indices donné par $U=\left\{\mathrm{1,...,}k\mathrm{,...,}N\right\}\mathrm{.}$  La sélection d’un échantillon $s=\left\{k_1\mathrm{,}{k}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{k}_{n(s)}\right\}$  est effectuée selon un plan d’échantillonnage défini comme la répartition de la probabilité multivariée par rapport au soutien $Q$  de manière à ce que $p(s)>0$  pour chaque $s\in Q$  et

$${\displaystyle \sum _{s\in Q}}p(s)=1.$$

Selon un plan d’échantillonnage $p(\cdot )$ , une probabilité d’inclusion est attribuée à chaque élément dans la population afin de désigner la probabilité que l’élément appartienne à l’échantillon. Pour l’élément $k$  dans la population, cette probabilité est représentée par ${\pi }_k$  et est connue comme la probabilité d’inclusion de premier ordre donnée par        

$${\pi }_k=Pr\left(k\in S\right)=Pr\left(I_k=1\right)={\displaystyle \sum _{s∍k}}p(s)$$

où $I_k$  est une variable aléatoire indiquant l’appartenance de l’élément $k$  à l’échantillon, et le sous-indice $s∍k$  indique la somme par rapport à tous les échantillons possibles renfermant l’élément $k.$  De façon analogue, ${\pi }_{kl}$  est appelé la probabilité d’inclusion de deuxième ordre et indique la probabilité que les éléments $k$  et $l$  appartiennent à l’échantillon et est donnée par

$${\pi }_{kl}=Pr\left(k\in S\text{;}l\in S\right)=Pr\left(I_k=1\text{;}{I}_l=1\right)={\displaystyle \sum _{s∍\text{k,l}}}p(s)\mathrm{.}$$

L’objectif de l’enquête-échantillon consiste à étudier une caractéristique d’intérêt $y$  associée à chaque sous-section de la population et à estimer une fonction d’intérêt $T,$  appelée paramètre :

$$T=f(y_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_k\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_N).$$

Cette approche inférentielle s’appelle l’inférence fondée sur le plan. Selon cette approche, les estimations des paramètres et de leurs propriétés dépendent directement de la mesure de la probabilité discrète liée au plan d’échantillonnage choisi et ne tiennent pas compte des propriétés de la population finie. De plus, les valeurs $y_k$  sont prises comme l’observation pour la personne $k$  pour la caractéristique d’intérêt $y$ . De plus, $y$  est considérée comme une quantité fixe au lieu d’une variable aléatoire.

Alors, l’estimateur Horvitz-Thompson (HT) peut être défini comme suit :            

$${\widehat{t}}_{y\mathrm{,}\pi }={\displaystyle \sum _{k\in s}}\frac{y_k}{{\pi }_k}={\displaystyle \sum _{k\in s}}{d}_k{y}_k$$

où $d_k=1/{\pi }_k$  est la réciproque de la probabilité d’inclusion de premier ordre et s’appelle facteur d’expansion ou poids de base selon le plan. L’estimateur HT est sans biais pour la population totale $t_y={\displaystyle {\sum }_U}{y}_k$ , (en supposant que toutes les probabilités d’inclusion de premier ordre soient supérieures à zéro) et sa variance est donnée par :

$$Var\left({\widehat{t}}_{y\mathrm{,}\pi }\right)={\displaystyle \sum _{k\in U}}{\displaystyle \sum _{l\in U}}{\Delta }_{kl}\frac{y_k}{{\pi }_k}\frac{y_l}{{\pi }_l}(2.1)$$

où ${\Delta }_{kl}=Cov\left(I_k\mathrm{,}{I}_l\right)={\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l$ . Si toutes les probabilités d’inclusion de deuxième ordre sont supérieures à zéro, un estimateur sans biais de (2.1) est donné par :

$$\widehat{Var}\left({\widehat{t}}_{y\mathrm{,}\pi }\right)={\displaystyle \sum _{k\in s}}{\displaystyle \sum _{l\in s}}\frac{{\Delta }_{kl}}{{\pi }_{kl}}\frac{y_k}{{\pi }_k}\frac{y_l}{{\pi }_l}.$$

Gambino et Silva (2009) suggèrent que dans une enquête-ménage, le principal intérêt est de se concentrer sur les caractéristiques pour des membres particuliers du ménage qui pourraient être liées aux variables sur la santé, aux variables sur la scolarité, au revenu et aux dépenses, à la situation d’emploi, etc. En général, les plans d’échantillonnage utilisés pour ce genre d’enquête sont complexes et utilisent des techniques comme la stratification, la mise en grappes ou les probabilités inégales de sélection. Certains des résultats d’enquêtes répétées tiennent compte de l’estimation du niveau à un moment particulier, de l’estimation des variations entre deux cycles d’enquête et de l’estimation des paramètres du niveau moyen au fil de plusieurs cycles répétés d’une enquête. Différents plans de rotation et la fréquence de l’enquête peuvent avoir une incidence considérable sur la précision des estimateurs.

2.2. Pseudo-vraisemblance

Certains auteurs, comme Fuller (2009), Chambers et Skinner (2003, p. 179), et Pessoa et Silva (1998, chapitre 5) considèrent le problème où l’estimation du maximum de vraisemblance est appropriée pour les échantillons aléatoires simples, comme c’est le cas dans Stasny (1987), mais pas pour les échantillons découlant d’un plan de sondage complexe. Selon cette classification, on suppose que la fonction de densité de la population est $f\left(y\mathrm{,}\theta \right)$  où le paramètre d’intérêt est $\theta$ . Si l’on a accès à l’information pour la population au complet, au moyen d’un recensement, l’estimateur de maximum de vraisemblance de  $\theta$ peut être obtenu en maximisant

$$L\left(\theta \right)={\displaystyle \sum _{k\in U}}\log f\left(y_k\mathrm{,}\theta \right)$$

par rapport à $\theta$ . Nous indiquerons ${\theta }_N$  comme la valeur maximisant la dernière expression. Les équations de vraisemblance pour la population sont données par

$${\displaystyle \sum _{k\in U}}{u}_k\left(\theta \right)=0.$$

Les valeurs $u_k$  sont appelées scores et sont définies comme suit :

$$u_k\left(\theta \right)=\frac{\partial \log f\left(y_k\mathrm{,}\theta \right)}{\partial \theta }.$$

L’approche de pseudo-vraisemblance considère que ${\theta }_N$  est le paramètre d’intérêt d’après l’information recueillie dans un échantillon complexe. Si ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}}{u}_k\left(\theta \right)$  est considéré comme le paramètre d’intérêt, il est possible de l’estimer au moyen d’un estimateur linéaire pondéré

$${\displaystyle \sum _{k\in s}}{d}_k{u}_k\left(\theta \right)$$

où $d_k$  est un poids d’échantillonnage comme l’inverse de la probabilité d’inclusion de la personne $k.$  Alors, il est possible d’obtenir un estimateur pour ${\theta }_N$  satisfaisant le système d’équations obtenu.

Définition 2.1 Un estimateur du maximum de pseudo-vraisemblance ${\widehat{\theta }}_s$  pour ${\theta }_N$  correspond à la solution des équations de la pseudo-vraisemblance données par

$${\displaystyle \sum _{k\in s}}{d}_k{u}_k\left(\theta \right)=0.$$

Au moyen de la méthode de linéarisation de Taylor, la variance asymptotique d’un estimateur du maximum de pseudo-vraisemblance fondé sur le plan de sondage est donnée par

$$V_p\left({\widehat{\theta }}_s\right)\approx {\left[J\left({\theta }_N\right)\right]}^{-1}{V}_p\left[{\displaystyle \sum _{k\in s}}{d}_k{u}_k\left({\theta }_N\right)\right]{\left[J\left({\theta }_N\right)\right]}^{-1}$$

où $V_p\left[{\displaystyle {\sum }_{k\in s}}{d}_k{u}_k\left({\theta }_N\right)\right]$  est la variance de l’estimateur pour la population totale des scores fondé sur le plan de sondage et

$$J\left({\theta }_N\right)={\frac{\partial {\displaystyle {\sum }_{k\in U}{u}_k\left(\theta \right)}}{\partial \theta }|}_{\theta ={\theta }_N}.$$

Un estimateur pour $V_p\left({\widehat{\theta }}_s\right)$  est donné par

$${\widehat{V}}_p\left({\widehat{\theta }}_s\right)={\left[\widehat{J}\left({\widehat{\theta }}_s\right)\right]}^{-1}{\widehat{V}}_p\left[{\displaystyle \sum _{k\in s}}{d}_k{u}_k\left({\widehat{\theta }}_s\right)\right]{\left[\widehat{J}\left({\widehat{\theta }}_s\right)\right]}^{-1}$$

où ${\widehat{V}}_p\left[{\displaystyle {\sum }_{k\in s}}{d}_k{u}_k\left({\widehat{\theta }}_s\right)\right]$  est un estimateur constant de la variance de l’estimateur du total de la population des scores et

$$\widehat{J}\left({\widehat{\theta }}_s\right)={\frac{\partial {\displaystyle {\sum }_{k\in s}{d}_k{u}_k\left(\theta \right)}}{\partial \theta }|}_{\theta ={\widehat{\theta }}_s}.$$

Alors, d’après Binder (1983), la répartition asymptotique de ${\widehat{\theta }}_s$  est normale puisque

$${\widehat{V}}_p{\left({\widehat{\theta }}_s\right)}^{-1/2}\left({\widehat{\theta }}_s-{\theta }_N\right)\sim N\left(\mathrm{0,1}\right).$$

Ces définitions offrent des renseignements de base solides pour la bonne inférence lorsque l’on utilise de gros échantillons comme c’est le cas dans les enquêtes sur la population active.

2.3. Non-réponse

Särndal et Lundström (2005) soutiennent que la non-réponse est un sujet qui intéresse de plus en plus les bureaux de statistique nationaux ces dernières décennies. De plus, dans la documentation sur les enquêtes par sondage, l’attention accordée à ce sujet s’est beaucoup intensifiée. La non-réponse est un problème fréquent associé à l’élaboration d’une enquête qui peut effriter considérablement la qualité des estimations.

Lohr (2000) décrit les différents types de mécanismes de non-réponse :

• Le mécanisme de non-réponse est ignorable lorsque la probabilité qu’une personne réponde à l’enquête ne dépend pas de la caractéristique d’intérêt. Soulignons que le qualificatif « ignorable » s'applique au modèle expliquant le mécanisme.
• Par ailleurs, le mécanisme de non-réponse est non ignorable lorsque la probabilité qu’une personne réponde à l’enquête dépend de la caractéristique d’intérêt. Par exemple, dans une enquête sur le travail, la possibilité de réponse peut dépendre de la classification de la population active selon l’activité des membres d’un ménage.

Lumley (2009, chapitre 9) analyse la non-réponse individuelle au moyen de données partielles pour un répondant qui envisage une approche fondée sur le plan rajustant le poids d’échantillonnage. Fuller (2009, chapitre 5) considère certaines techniques d’imputation pour le traitement de la non-réponse au moyen de modèles probabilistes et de poids d’échantillonnage. Särndal (2011) considère une approche fondée sur les données au moyen d’ensembles équilibrés afin d’assurer une haute représentativité des estimations. De la même manière, Särndal et Lundström (2010) proposent un ensemble d’indicateurs afin d’évaluer l’efficacité de l’information auxiliaire afin de contrôler le biais généré par la non-réponse. Särndal et Lundström (2005) donnent un grand nombre de références au sujet de la non-réponse. Ces références examinent deux principaux aspects complémentaires d’une enquête : prévention du problème de non-réponse (avant qu’il survienne) et techniques d’estimation afin de tenir compte de la non-réponse dans le processus d’inférence. Ce deuxième aspect s’appelle correction de la non-réponse.

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