4. Étude par simulations

Guillaume Chauvet et Guylène Tandeau de Marsac

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Nous utilisons des populations artificielles proposées par Saigo (2010). Nous générons deux populations, contenant chacune $M=200$  unités primaires d’échantillonnage regroupées en $H=4$  strates $U_{Ih}$  de taille $M_h=50$. Chaque unité primaire d’échantillonnage $u_{hi}$  contient $N_{hi}=100$  unités secondaires. Dans chaque population, nous générons pour chaque unité primaire d’échantillonnage $u_{hi}\in U_{Ih}$  :

$${\mu }_{hi}={\mu }_h+{\sigma }_h{v}_{hi}\text{ (4}\text{.1)}$$

où les valeurs ${\mu }_h$  et ${\sigma }_h$  sont celles utilisées par Saigo (2010). Le terme ${\sigma }_h^2$  permet de contrôler la dispersion entre les unités primaires d’échantillonnage. Les $v_{hi}$  sont générés de façon iid selon une loi normale centrée réduite $N(0,1).$ Pour chaque unité $k\in u_{hi}$ , nous générons ensuite la valeur $y_k$  selon le modèle

$$y_k={\mu }_{hi}+{\left\{{\rho }^{-1}\left(1-\rho \right)\right\}}^{0,5}{\sigma }_h{v}_k\mathrm{,}\text{ (4}\text{.2)}$$

où les $v_k$  sont générés de façon iid selon une loi normale centrée réduite. Le terme de variance dans le modèle (4.2) permet d'obtenir un coefficient de corrélation intra-grappes approximativement égal à $\rho$ . En particulier, plus le coefficient $\rho$  est grand, moins les valeurs $y_k$  sont dispersées dans les unités primaires d’échantillonnage. Nous utilisons $\rho =0,2$  pour la population 1 et $\rho =0,5$  pour la population 2, ce qui traduit une moindre dispersion de la variable $y$  dans la population 2. La base de sondage $U_A$  correspond à l'ensemble des unités secondaires, et la partie correspondante de $u_{hi}$  est $u_{hi}^A=u_{hi}$  , de taille $N_{hi}^A=N_{hi}$  . On génère pour chaque unité secondaire $k$  une valeur $u_k$  selon une loi uniforme sur $\left[0,1\right]$ . La base de sondage $U_B$  correspond aux unités secondaires $k$  telles que $u_k\le 0,5$ , et la partie correspondante de $u_{hi}$  est $u_{hi}^B=u_{hi}\cap U_B$  de taille $N_{hi}^B$ . On se trouve donc dans la situation où $ab=U_B$  et $b=\varnothing$ . Le cadre retenu dans les simulations correspond à celui des enquêtes auprès des ménages de l'INSEE, avec extension pour cibler une sous-population spécifique. Pour ces enquêtes, un échantillon $S_I$  de communes (ou de regroupements de communes) est tout d'abord sélectionné au premier degré. Un sous-échantillon $S_i^A$  de logements est ensuite sélectionné dans chaque $u_i\in S_I$ ; l'échantillon réunion $S^A={\displaystyle {\cup }_{u_i\in S_I}{S}_i^A}$  représente la population entière de logements $U_A=U$ . Un second sous-échantillon $S_i^B$  de logements est ensuite sélectionné au sein d'une sous-population de chaque $u_i\in S_I$ , afin de cibler une sous-population spécifique $U_B$  (par exemple, logements situés dans une Zone Urbaine Sensible); l'échantillon réunion $S^B={\displaystyle {\cup }_{u_i\in S_I}}{S}_i^B$  ne représente que la sous-population ciblée $U_B$ .

Dans chacune des deux populations ainsi constituées, on pratique plusieurs échantillonnages concurrents; le tableau 4.1 présente pour chaque population les huit combinaisons possibles de tailles d'échantillon par strate aux premier et second degré, ainsi que les valeurs ${\mu }_h$  et ${\sigma }_h$ . Au premier degré on sélectionne indépendamment dans chaque strate $U_{Ih}$  : soit un échantillon $S_{Ih}$  de $m_h=5$  unités primaires d’échantillonnage par sondage aléatoire simple; soit un échantillon $S_{Ih}$  de $m_h=25$  unités primaires d’échantillonnage par sondage aléatoire simple. Au second degré, on sélectionne dans chaque $u_{hi}\in S_{Ih}$  : soit un échantillon $S_{hi}^A$  de taille $n_{hi}^A=10$  par sondage aléatoire simple dans $u_{hi}^A$ ; soit un échantillon $S_{hi}^A$  de taille $n_{hi}^A=40$  par sondage aléatoire simple dans $u_{hi}^A$ . Au second degré, on sélectionne également dans chaque $u_{hi}\in S_{Ih}$  : soit un échantillon $S_{hi}^B$  de taille $n_{hi}^B=5$  par sondage aléatoire simple dans $u_{hi}^B$ ; soit un échantillon $S_{hi}^B$  de taille $n_{hi}^B=20$  par sondage aléatoire simple dans $u_{hi}^B$ . On note également $f_{hi}^A={\left(N_{hi}^A\right)}^{-1}{n}_{hi}^A$  et $f_{hi}^B={\left(N_{hi}^B\right)}^{-1}{n}_{hi}^B$  les taux de sondage dans $u_{hi}^A$  et $u_{hi}^B$ .

Tableau 4.1
Paramètres utilisés dans chaque strate pour générer les deux populations et sélectionner les échantillons
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Paramètres utilisés dans chaque strate pour générer les deux populations et sélectionner les échantillons Tailles d'échantillon
par strate, Paramètres , Strate 1 , Strate 2 , Strate 3 et Strate 4 , calculées selon XXX unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).

	Tailles d'échantillon par strate			Paramètres
				Strate 1		Strate 2		Strate 3		Strate 4
	$m_h$	$n_{hi}^A$	$n_{hi}^B$	${\mu }_h$	${\sigma }_h$	${\mu }_h$	${\sigma }_h$	${\mu }_h$	${\sigma }_h$	${\mu }_h$	${\sigma }_h$
Population 1	5 ou 25	10 ou 40	5 ou 20	200	20	150	15	120	12	100	10
Population 2	5 ou 25	10 ou 40	5 ou 20	200	10	150	7,5	120	6	100	5

 

Pour chaque échantillon, on calcule l'estimateur de Hartley donné en (3.4) avec soit $\theta =1/2$  (HART1), soit pour valeur de $\theta$  l'estimateur du coefficient optimal donné en (3.7) (HART2), avec

$$\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{ab}^A\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}{\left(\frac{M_h}{m_h}\right)}^2{\displaystyle \sum _{u_{hi}\in S_{Ih}}}{\left(N_{hi}^A\right)}^2\frac{1-f_{hi}^A}{n_{hi}^A\left(n_{hi}^A-1\right)}{\displaystyle \sum _{k\in S_{hi}^A}}{\left\{y_{k}1\left(k\in ab\right)-{\overline{y}}_{ab;S_{hi}^A}\right\}}^2\mathrm{,}$$   $$\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}{\left(\frac{M_h}{m_h}\right)}^2{\displaystyle \sum _{u_{hi}\in S_{Ih}}}{\left(N_{hi}^B\right)}^2\frac{1-f_{hi}^B}{n_{hi}^B\left(n_{hi}^B-1\right)}{\displaystyle \sum _{k\in S_{hi}^B}}{\left\{y_{k}1\left(k\in ab\right)-{\overline{y}}_{ab;S_{hi}^B}\right\}}^2\mathrm{,}$$   $$\widehat{Cov}\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}{\left(\frac{M_h}{m_h}\right)}^2{\displaystyle \sum _{u_{hi}\in S_{Ih}}}{\left(N_{hi}^A\right)}^2\frac{1-f_{hi}^A}{n_{hi}^A\left(n_{hi}^A-1\right)}{\displaystyle \sum _{k\in S_{hi}^A}}\left\{y_{k}1\left(k\in a\right)-{\overline{y}}_{a;S_{hi}^A}\right\}\left\{y_{k}1\left(k\in ab\right)-{\overline{y}}_{ab;S_{hi}^A}\right\}\mathrm{,}$$

en notant ${\overline{y}}_{d;V}$  la moyenne de la variable $y_{k}1\left(k\in d\right)$  sur une partie $V\subset U$ . Pour chaque échantillon, on calcule également l'estimateur de Kalton et Anderson (KALT) donné en (3.8), l'estimateur de Bankier (BANK) donné en (3.9), et l'estimateur de Horvitz-Thompson ${\widehat{Y}}^A$  basé sur le seul échantillon $S^A$  (HTA). La procédure d'échantillonnage est répétée $10000$  fois. Pour mesurer le biais d'un estimateur $\widehat{Y}$ , nous calculons son biais relatif de Monte Carlo

$$B{R}_{MC}\left(\widehat{Y}\right)=\frac{E_{MC}\left(\widehat{Y}\right)-Y}{Y}\times 100$$

avec $E_{MC}\left(\widehat{Y}\right)=\left(1/10000\right){\displaystyle {\sum }_{b=1}^{10000}}{\widehat{Y}}_{(b)}$ , et ${\widehat{Y}}_{(b)}$  la valeur de l'estimateur $\widehat{Y}$  pour l'échantillon $b$ . Pour mesurer la variabilité de $\widehat{Y}$ , nous calculons son erreur quadratique moyenne de Monte Carlo

$$EQ{M}_{MC}\left(\widehat{Y}\right)=\frac{1}{10000}{\displaystyle \sum _{b=1}^{10000}}{\left({\widehat{Y}}_{(b)}-Y\right)}^2\mathrm{.}$$

Les résultats sont donnés dans le tableau 4.2. Comme l'a souligné un arbitre, les performances de l'estimateur HTA ne dépendent pas de la taille d'échantillon $n_{hi}^B$  choisie. Par souci de cohérence, nous indiquons donc dans le tableau 4.2 les résultats obtenus dans les simulations avec $n_{hi}^B=5$  uniquement. À tailles d'échantillon $m_h$  et $n_{hi}^A$  identiques, les mêmes résultats sont reportés dans le cas $n_{hi}^B=20$ .

Tous les estimateurs sont virtuellement sans biais. L'estimateur HART2 donne les meilleurs résultats en termes d'erreur quadratique moyenne, comme on pouvait s'y attendre. L'estimateur HTA donne des résultats quasiment équivalents. Ce résultat s'explique par le fait que le coefficient optimal est proche de $1$  (dans les simulations, ${\widehat{\theta }}_{opt}$  est compris entre $0,80$  et $1,06$), et que dans ce cas la formule (2.1) montre que les estimateurs HART2 et HTA sont très proches : nous présentons en annexe des conditions générales sous lesquelles cette propriété est approximativement vérifiée. Parmi les trois autres estimateurs, HART1 donne les meilleurs résultats, avec une erreur quadratique moyenne plus faible ou équivalente à celle de KALT et BANK dans 11 cas sur 16.

Tableau 4.2
Biais relatif et erreur quadratique moyenne de cinq estimateurs
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Biais relatif et erreur quadratique moyenne de cinq estimateurs. Les données sont présentées selon Pop. (titres de rangée) et $\times {10}^9$, $n_{hi}^A$, $n_{hi}^B$, HART1 , HART2 , KALT , BANK , HTA , BR et EQM , calculées selon ( % ) et $\times {10}^9$ unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).

Pop.	$m_h$	$n_{hi}^A$	$n_{hi}^B$	HART1		HART2		KALT		BANK		HTA
				BR	EQM	BR	EQM	BR	EQM	BR	EQM	BR	EQM
				( % )	$\times {10}^9$	( % )	$\times {10}^9$	( % )	$\times {10}^9$	( % )	$\times {10}^9$	( % )	$\times {10}^9$
1	5	10	5	0,05	7,76	0,01	5,70	0,05	7,79	0,06	8,56	0,04	5,75
1	5	10	20	0,01	7,57	-0,05	5,57	0,03	11,36	0,04	12,75	0,04	5,75
1	5	40	5	0,01	5,01	-0,02	4,51	-0,02	4,57	-0,02	4,81	-0,02	4,52
1	5	40	20	0,00	4,65	-0,01	4,33	0,00	4,66	0,00	5,22	-0,02	4,52
1	25	10	5	-0,03	1,19	-0,02	0,78	-0,03	1,20	-0,02	1,34	-0,01	0,78
1	25	10	20	-0,01	1,17	0,00	0,78	-0,03	1,94	-0,03	2,22	-0,01	0,78
1	25	40	5	0,00	0,62	0,01	0,51	0,00	0,52	0,00	0,57	0,01	0,51
1	25	40	20	0,02	0,58	0,01	0,51	0,02	0,58	0,02	0,68	0,01	0,51
2	5	10	5	0,00	3,59	0,01	1,15	0,00	3,56	0,02	4,38	0,01	1,15
2	5	10	20	0,00	3,60	-0,02	1,15	0,00	7,38	0,00	8,76	0,01	1,15
2	5	40	5	0,00	1,48	0,01	1,07	0,00	1,13	0,01	1,35	0,01	1,07
2	5	40	20	0,00	1,49	-0,01	1,09	0,00	1,49	0,00	2,03	0,01	1,07
2	25	10	5	0,00	0,63	0,00	0,14	0,00	0,63	0,00	0,78	0,00	0,14
2	25	10	20	0,00	0,62	0,00	0,13	0,00	1,38	0,00	1,67	0,00	0,14
2	25	40	5	0,00	0,20	0,00	0,12	0,00	0,13	0,00	0,18	0,00	0,12
2	25	40	20	0,00	0,20	0,00	0,12	0,00	0,20	0,01	0,31	0,00	0,12

 

Pour chaque estimateur, toutes choses égales par ailleurs, l'erreur quadratique moyenne est plus faible dans la population 2 que dans la population 1. Ce résultat provient du fait que la variance due au premier degré de tirage, qui est la même pour chaque estimateur et vaut

$$V\left({\displaystyle \sum _{i\in S_I}}{d}_{Ii}{Y}_i\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}{M}_h^2\left(\frac{1}{m_h}-\frac{1}{M_h}\right)S_{Y;U_{Ih}}^2\mathrm{,}\text{ (4}\text{.3)}$$

est plus grande dans la population 1 : le terme de dispersion $S_{Y;U_{Ih}}^2={\left(M_h-1\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{u_i\in U_{Ih}}{\left(Y_i-{\overline{Y}}_{U_{Ih}}\right)}^2}$  augmente avec ${\sigma }_h^2$  et, dans une moindre mesure, augmente quand $\rho$  diminue. L'erreur quadratique moyenne diminue pour chaque estimateur quand le nombre $m_h$  d'unités primaires d’échantillonnage tirées dans chaque strate augmente, car dans ce cas le terme de variance commun donné en (4.3) diminue. De façon analogue, l'erreur quadratique moyenne diminue pour chaque estimateur quand $n^A$  augmente, car dans ce cas la variance due au second degré de tirage diminue. Pour les estimateurs HART1 et HART2, l'erreur quadratique moyenne est stable quand $n^B$  augmente, et de façon plus surprenante pour les estimateurs KALT et BANK l'erreur quadratique moyenne augmente quand $n^B$  augmente. Ce résultat quelque peu contre-intuitif est dû à la conjonction de deux faits. D'une part, la contribution de l'échantillon $S^B$  à la variance due au second degré de tirage est faible : l'augmentation de $n^B$  peut diminuer cette variance, mais même dans ce cas la réduction globale de variance est marginale. D'autre part, dans le cas des estimateurs KALT et BANK, la contribution de l'échantillon $S^A$  à la variance due au second degré de tirage augmente quand $n^B$  augmente.

Dans le cas de KALT, l'estimateur peut se réécrire

$${\widehat{Y}}_{KA}={\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{M_h}{m_h}{\displaystyle \sum _{i\in S_{Ih}}}{\widehat{Y}}_{KA\mathrm{,}i}$$

avec

$${\widehat{Y}}_{KA\mathrm{,}i}=\frac{1}{f_{hi}^A}{\displaystyle \sum _{k\in S_i^A}}{m}_{k|i}^A{y}_k+\frac{1}{f_{hi}^A+f_{hi}^B}{\displaystyle \sum _{k\in S_i^B}}{y}_k\text{ et }{m}_{k|i}^A=\{\begin{array}{ll}1\hfill & \text{si }k\in a\cap u_i\mathrm{,}\hfill \\ \frac{f_{hi}^A}{f_{hi}^A+f_{hi}^B}\hfill & \text{si }k\in ab\cap u_i\mathrm{.}\hfill \end{array}\text{ (4}\text{.4)}$$

Dans (4.4), la dispersion de la variable $m_{k|i}^A$  (donc celle de $m_{k|i}^A{y}_k$) augmente quand le facteur $f_{hi}^A/\left(f_{hi}^A+f_{hi}^B\right)$  s'éloigne de $1$ . Or, ce facteur est proche de $1$  quand $f_{hi}^B$  est faible devant $f_{hi}^A$  (donc $n^B$ petit devant $n^A$), mais s'en éloigne quand $n^B$  augmente. Notons que la variance (conditionnelle à $S_I$) du second terme de ${\widehat{Y}}_{KA\mathrm{,}i}$  est égale à                

$$V\left(\frac{1}{f_{hi}^A+f_{hi}^B}{\displaystyle \sum _{k\in S_i^B}}{y}_k|S_I\right)={\left(N_{hi}^A\right)}^2{N}_{hi}^B\times \frac{n_{hi}^B\left(N_{hi}^B-n_{hi}^B\right)}{{\left(N_{hi}^B{n}_{hi}^A+N_{hi}^A{n}_{hi}^B\right)}^2}\times S_{u_{hi}^B}^2$$

avec $S_{u_{hi}^B}^2={\left(N_{hi}^B-1\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{k\in u_{hi}^B}}{\left(y_k-{\overline{y}}_{u_{hi}^B}\right)}^2$ . Cette variance ne décroît pas forcément quand $n_{hi}^B$  augmente. Par exemple, l'un des cas considéré dans les simulations correspond à $N_{hi}^A=100$ , $N_{hi}^B\simeq 50$  et $n_{hi}^A=40$ . Dans ce cas, le terme $n_{hi}^B\left(N_{hi}^B-n_{hi}^B\right)/{\left(N_{hi}^B{n}_{hi}^A+N_{hi}^A{n}_{hi}^B\right)}^2$  atteint sa valeur maximale pour $n_{hi}^B=11$ .

Dans le cas de BANK, l'estimateur peut se réécrire

$${\widehat{Y}}_{HT}={\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{M_h}{m_h}{\displaystyle \sum _{i\in S_{Ih}}}{\widehat{Y}}_{HT,i}$$

avec

$${\widehat{Y}}_{HT\mathrm{,}i}={\displaystyle \sum _{k\in S_i^A\cup S_i^B}}\frac{y_k}{{\pi }_{k|i}^{HT}}\text{ et }{\pi }_{k|i}^{HT}=\{\begin{array}{ll}{f}_{hi}^A\hfill & \text{si }k\in a\mathrm{,}\hfill \\ f_{hi}^A+f_{hi}^B\left(1-f_{hi}^A\right)\hfill & \text{si }k\in ab.\hfill \end{array}\text{ (4}\text{.5)}$$

Dans (4.5), la dispersion de la variable ${\pi }_{k|i}^{HT}$  augmente quand le facteur $f_{hi}^B\left(1-f_{hi}^A\right)$  augmente. Or, ce facteur est proche de $0$  quand $n_{hi}^B$  (et donc $f_{hi}^B$  ) est faible, mais s'accroît quand $n_{hi}^B$  augmente.

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