5. Conclusion

Guillaume Chauvet et Guylène Tandeau de Marsac

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Nous avons étudié les estimateurs de Hartley (1962), de Kalton et Anderson (1986) et de Bankier (1986) pour mettre en commun les échantillons issus de deux vagues d'enquête. Nous avons plus particulièrement étudié le cas où un échantillon représente la population entière (échantillon complètement représentatif), alors que le second n'en représente qu'une partie (échantillon partiellement représentatif). Dans le cadre considéré dans les simulations (voir également l'annexe pour un cadre plus général), l'utilisation de l'échantillon partiellement représentatif ne permet pas de gagner en précision : si sa taille augmente, la précision des estimateurs de la classe de Hartley reste stable ou s'améliore légèrement, alors que la précision des estimateurs de Kalton et Anderson et de Bankier se dégrade. L'estimateur optimal de Hartley lui-même, bien que plus complexe à calculer, offre une précision qui n'est que légèrement améliorée par rapport à l'estimateur de Horvitz-Thompson classique calculé sur l'échantillon complètement représentatif. Bien que notre étude par simulations soit limitée, ces résultats suggèrent d'être prudents dans le choix d'un estimateur en présence de bases de sondage multiples, et qu'un estimateur simple est parfois préférable, même s'il n'utilise qu'une partie de l'information collectée.

Remerciements

Les auteurs remercient un éditeur associé et un arbitre pour leur lecture attentive et leurs remarques qui ont permis d'améliorer significativement l'article, et David Haziza pour des discussions utiles.

Annexe

A.1 Comparaison entre l'estimateur optimal de Hartley et l'estimateur de Horvitz-Thompson

Nous reprenons le cadre et les notations de la section 4 : les échantillons $S^A$  et $S^B$  sont sélectionnés selon un plan à deux degrés avec un premier degré de tirage commun. On utilise un sondage aléatoire simple stratifié au premier degré, et un sondage aléatoire simple au second degré dans chaque unité primaire d’échantillonnage. La base de sondage $U_A$  correspond à la population entière, alors que la base de sondage $U_B$  ne recouvre qu'une partie de la population.

Dans le cas de l'estimateur optimal de Hartley, la formule (3.6) donne

$${\theta }_{opt|S_I}=\frac{EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^B|S_I\right)-ECov\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)}{EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^B|S_I\right)+EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)}\mathrm{.}$$

Après un peu de calcul, nous obtenons                  

$$\begin{array}{l}EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{M_h}{m_h}{\displaystyle \sum _{u_{hi}\in U_{Ih}}}{\left(N_{hi}\right)}^2\frac{1-f_{hi}^A}{n_{hi}^A}\left\{\frac{N_{hi}^B-1}{N_{hi}-1}{S}_{u_{hi}^B}^2+\frac{N_{hi}^B\left(N_{hi}-N_{hi}^B\right){\left({\overline{y}}_{u_{hi}^B}\right)}^2}{N_{hi}\left(N_{hi}-1\right)}\right\}\mathrm{,}\text{ (A}\text{.1)}\\ -ECov\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^H}\frac{M_h}{m_h}{\displaystyle \sum _{u_{hi}\in U_{Ih}}}{\left(N_{hi}\right)}^2\frac{1-f_{hi}^A}{n_{hi}^A}\left\{\frac{N_{hi}^B\left({\overline{y}}_{u_{hi}^B}\right)\left(N_{hi}{\overline{y}}_{u_{hi}}-N_{hi}^B{\overline{y}}_{u_{hi}^B}\right)}{N_{hi}\left(N_{hi}-1\right)}\right\}\end{array}$$

avec ${\overline{y}}_{u_{hi}}={\left(N_{hi}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{k\in u_{hi}}}{y}_k$ , ${\overline{y}}_{u_{hi}^B}={\left(N_{hi}^B\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{k\in u_{hi}^B}}{y}_k$  et $S_{u_{hi}^B}^2={\left(N_{hi}^B-1\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{k\in u_{hi}^B}}{\left(y_k-{\overline{y}}_{u_{hi}^B}\right)}^2$ .

L'estimateur de Horvitz-Thompson basé sur le seul échantillon $S^A$  et l'estimateur optimal de Hartley coïncident si le coefficient ${\theta }_{opt|S_I}$  est égal à $1$ , ce qui est le cas si $EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)=-ECov\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)$ . Cette condition sera en particulier vérifiée si dans (A.1) les termes entre accolades coïncident pour chaque unité primaire d’échantillonnage $u_{hi}.$ On aura donc ${\theta }_{opt|S_I}\simeq 1$  si

$$\forall u_{hi}\in U_I\frac{N_{hi}\left(N_{hi}^B-1\right)}{N_{hi}^B}\frac{S_{u_{hi}^B}^2}{{\overline{y}}_{u_{hi}^B}\left(N_{hi}{\overline{y}}_{u_{hi}}-N_{hi}^B{\overline{y}}_{u_{hi}^B}\right)}+\frac{\left(N_{hi}-N_{hi}^B\right){\overline{y}}_{u_{hi}^B}}{N_{hi}{\overline{y}}_{u_{hi}}-N_{hi}^B{\overline{y}}_{u_{hi}^B}}\simeq 1.\text{ (A}\text{.2)}$$

Supposons que la valeur moyenne de $y$  soit approximativement la même dans les bases $U_A$  et $U_B$  pour chaque unité primaire d’échantillonnage, c’est-à-dire que $\forall u_{hi}\in U_I$   ${\overline{y}}_{u_{hi}^B}\simeq {\overline{y}}_{u_{hi}}$ . Alors la condition (A.2) sera approximativement vérifiée si $\forall u_{hi}\in U_I$   $c{v}_{u_{hi}^B}^2$  est proche de $0$ , avec $c{v}_{u_{hi}^B}=\sqrt{S_{u_{hi}^B}^2}/{\overline{y}}_{u_{hi}^B}$ .

En résumé, l'estimateur de Horvitz-Thompson basé sur le seul échantillon $S^A$  et l'estimateur optimal de Hartley seront proches si au sein de chaque unité primaire d’échantillonnage $u_{hi}$  : (a) la valeur moyenne de $y$  est peu différente entre les deux bases, et (b) la variable $y$  est faiblement dispersée au sein de $u_{hi}^B$ . Dans les simulations, la condition (a) est approximativement respectée car la répartition des individus entre les bases de sondage $U_A$  et $U_B$  se fait complètement aléatoirement; la condition (b) est approximativement respectée avec des valeurs de $c{v}_{u_{hi}^B}^2$  variant de $0,02$  à $0,10$  pour la population 1, et de $0,001$  à $0,005$  pour la population 2.

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