3. Estimation avec un premier degré de tirage commun

Guillaume Chauvet et Guylène Tandeau de Marsac

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Nous étudions ici le cas de deux échantillons sélectionnés selon un plan à deux degrés, avec un premier degré de tirage commun. La population $U$ est partitionnée pour obtenir une population $U_I=\left\{u_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_M\right\}$  de $M$  unités primaires d’échantillonnage. Au premier degré, on sélectionne un échantillon $S_I$  d'unités primaires d’échantillonnage (UPE) avec une probabilité de tirage ${\pi }_{Ii}$  pour une UPE $u_i.$ Au second degré, dans chaque unité primaire d’échantillonnage $u_i\in S_I$ , on sélectionne : un échantillon $S_i^A$  dans $u_i^A\equiv u_i\cap U_A$ , avec une probabilité de sélection (conditionnelle) ${\pi }_{k|i}^A>0$  pour $k\in u_i^A$ ; un échantillon $S_i^B$  dans $u_i^B\equiv u_i\cap U_B$ , avec une probabilité de sélection (conditionnelle) ${\pi }_{k|i}^B>0$  pour l'unité $k\in u_i^B$. Nous faisons les hypothèses suivantes, habituelles pour un tirage à deux degrés : le second degré de tirage au sein de l'unité primaire d’échantillonnage $u_i$  ne dépend que de $i$ ; entre deux unités primaires d’échantillonnage $u_i\ne u_j\in S_I$, les échantillons $S_i^A$  et $S_j^A$  (respectivement, $S_i^B$  et $S_j^B$  ) sont indépendants conditionnellement à $S_I$  (propriété d'indépendance). Nous supposons également qu'au sein de chaque unité primaire d’échantillonnage $u_i\in S_I$, les sous-échantillons $S_i^A$  et $S_i^B$  sont indépendants conditionnellement à $S_I.$

Pour un domaine $d_1\subset U_A$ , le sous-total $Y_{d_1}$  est estimé par ${\widehat{Y}}_{d_1}^A={\displaystyle {\sum }_{u_i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{d_1\mathrm{,}i}^A$  avec $d_{Ii}={\left({\pi }_{Ii}\right)}^{-1}$  le poids de sondage de l'unité primaire d’échantillonnage $u_i$ , ${\widehat{Y}}_{d_1\mathrm{,}i}^A={\displaystyle {\sum }_{k\in S_i^A}}{d}_{k|i}^A{y}_{k}1\left(k\in d_1\right)$  l'estimateur du sous-total $Y_{d_1\mathrm{,}i}={\displaystyle {\sum }_{k\in u_i}}{y}_{k}1\left(k\in d_1\right)$  sur $d_1\cap u_i$ , et $d_{k|i}^A={\left({\pi }_{k|i}^A\right)}^{-1}$  le poids de sondage de $k$  dans $u_i^A$ . Pour un domaine $d_2\subset U_B$ , le sous-total $Y_{d_2}$  est estimé par ${\widehat{Y}}_{d_2}^B={\displaystyle {\sum }_{u_i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{d_2\mathrm{,}i}^B$  avec ${\widehat{Y}}_{d_2\mathrm{,}i}^B={\displaystyle {\sum }_{k\in S_i^B}}{d}_{k|i}^B{y}_{k}1\left(k\in d_2\right)$  l'estimateur du sous-total $Y_{d_2\mathrm{,}i}$  et $d_{k|i}^B={\left({\pi }_{k|i}^B\right)}^{-1}$  le poids de sondage de $k$  dans $u_i^B$ . On obtient en particulier les estimateurs    

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_{ab}^A={\displaystyle \sum _{u_i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{ab\mathrm{,}i}^A\text{ où }{\widehat{Y}}_{ab\mathrm{,}i}^A={\displaystyle \sum _{k\in S_i^A}}{d}_{k|i}^A{y}_{k}1\left(k\in ab\right)\mathrm{,}& \text{ (3}\text{.1)}\\ {\widehat{Y}}_b^A={\displaystyle \sum _{u_i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{b\mathrm{,}i}^A\text{ où }{\widehat{Y}}_{b\mathrm{,}i}^A={\displaystyle \sum _{k\in S_i^A}}{d}_{k|i}^A{y}_{k}1\left(k\in b\right)\mathrm{,}& \text{ (3}\text{.2)}\\ {\widehat{Y}}_{ab}^B={\displaystyle \sum _{u_i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{ab\mathrm{,}i}^B\text{ où }{\widehat{Y}}_{ab\mathrm{,}i}^B={\displaystyle \sum _{k\in S_i^B}}{d}_{k|i}^B{y}_{k}1\left(k\in ab\right)\mathrm{.}& \text{ (3}\text{.3)}\end{array}$$

3.1  Estimateur de Hartley

L'estimateur de Hartley donné en (2.1) peut se réécrire sous la forme

$${\widehat{Y}}_{\theta }={\displaystyle \sum _{u_i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{\theta \mathrm{,}i}\text{ (3}\text{.4)}$$

avec ${\widehat{Y}}_{\theta \mathrm{,}i}={\widehat{Y}}_{a\mathrm{,}i}^A+\theta {\widehat{Y}}_{ab\mathrm{,}i}^A+\left(1-\theta \right){\widehat{Y}}_{ab\mathrm{,}i}^B+{\widehat{Y}}_{b\mathrm{,}i}^B$  l'estimateur de Hartley du sous-total $Y_i$  sur l'unité primaire d’échantillonnage $u_i$ . On obtient $E\left({\widehat{Y}}_{\theta }|S_I\right)={\displaystyle {\sum }_{i\in S_I}}{d}_{Ii}{Y}_i$ , puis

$$V\left({\widehat{Y}}_{\theta }\right)=V\left({\displaystyle \sum _{i\in S_I}}{d}_{Ii}{Y}_i\right)+EV\left({\widehat{Y}}_{\theta }|S_I\right)\mathrm{.}\text{ (3}\text{.5)}$$

Dans (3.5), le premier terme du membre de droite ne dépend pas de $\theta$ . L'estimateur optimal de Hartley peut donc se calculer en minimisant seulement le second terme. On obtient :

$${\theta }_{opt|S_I}=\frac{EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^B|S_I\right)+ECov\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\mathrm{,}{\widehat{Y}}_b^B|S_I\right)-ECov\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)}{EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^A|S_I\right)+EV\left({\widehat{Y}}_{ab}^B|S_I\right)}\mathrm{,}\text{ (3}\text{.6)}$$

que l'on peut estimer par                                         

$${\widehat{\theta }}_{opt}=\frac{\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)+\widehat{Cov}\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\mathrm{,}{\widehat{Y}}_b^B\right)-\widehat{Cov}\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)}{\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{ab}^A\right)+\widehat{V}\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)}\text{ (3}\text{.7)}$$

en remplaçant chaque terme de variance et de covariance par un estimateur sans biais conditionnellement au premier degré.

3.2  Estimateur de Kalton et Anderson

Avec le plan de sondage considéré, on a $d_k^A=d_{Ii}{d}_{k|i}^A$  pour toute unité $k\in u_i^A$ , et $d_k^B=d_{Ii}{d}_{k|i}^B$  pour toute unité $k\in u_i^B$ . L'estimateur de Kalton et Anderson donné en (2.4) peut donc se réécrire

$${\widehat{Y}}_{KA}={\displaystyle \sum _{i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{KA\mathrm{,}i}\text{ (3}\text{.8)}$$

avec ${\widehat{Y}}_{KA\mathrm{,}i}={\displaystyle {\sum }_{k\in S^A}}{d}_{k|i}^A{m}_{k|i}^A{y}_k+{\displaystyle {\sum }_{k\in S^B}}{d}_{k|i}^B{m}_{k|i}^B{y}_k$  l'estimateur de Kalton et Anderson du sous-total $Y_i$ , où

$$m_{k|i}^A=\{\begin{array}{ll}1\hfill & \text{si }k\in a\cap u_i\mathrm{,}\hfill \\ \frac{d_{k|i}^B}{d_{k|i}^A+d_{k|i}^B}\hfill & \text{si }k\in ab\cap u_i\mathrm{,}\hfill \end{array}\text{ et }{m}_{k|i}^B=\{\begin{array}{ll}1\hfill & \text{si }k\in b\cap u_i\mathrm{,}\hfill \\ \frac{d_{k|i}^A}{d_{k|i}^A+d_{k|i}^B}\hfill & \text{si }k\in ab\cap u_i\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

3.3  Estimateur de Bankier

Avec le plan de sondage considéré, on a ${\pi }_k^{HT}={\pi }_{Ii}\left({\pi }_{k|i}^A+{\pi }_{k|i}^B-{\pi }_{k|i}^A{\pi }_{k|i}^B\right)$  pour tout $k\in u_i$ . L'estimateur de Bankier donné en (2.5) peut donc se réécrire

$${\widehat{Y}}_{HT}={\displaystyle \sum _{i\in S_I}}{d}_{Ii}{\widehat{Y}}_{HT\mathrm{,}i}\text{ (3}\text{.9)}$$

avec ${\widehat{Y}}_{HT\mathrm{,}i}={\displaystyle {\sum }_{k\in S_i^A\cup S_i^B}}\left(y_k/{\pi }_{k|i}^{HT}\right)$  l'estimateur de Bankier pour le sous-total $Y_i$ , et ${\pi }_{k|i}^{HT}={\pi }_{k|i}^A$  si $k\in a$ , ${\pi }_{k|i}^{HT}={\pi }_{k|i}^B$  si $k\in b$ , ${\pi }_{k|i}^{HT}={\pi }_{k|i}^A+{\pi }_{k|i}^B-{\pi }_{k|i}^A{\pi }_{k|i}^B$  si $k\in ab$ .

Chacun des trois estimateurs étudiés s'obtient donc en appliquant la méthode d'estimation UPE par UPE, conditionnellement au premier degré. Ce résultat est particulièrement intéressant pour la méthode optimale de Hartley, puisque l'estimateur du coefficient optimal donné en (3.7) ne nécessite que des estimateurs de variance conditionnels au premier degré.

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