2. Estimation pour des bases de sondage multiples

Guillaume Chauvet et Guylène Tandeau de Marsac

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On considère une population finie $U$  sur laquelle est définie une variable d'intérêt $y$  de valeur $y_k$  pour l'individu $k$ . Si on sélectionne dans $U$  un échantillon $S$  avec des probabilités d'inclusion ${\pi }_k$ , l'estimateur $\widehat{Y}={\displaystyle {\sum }_{k\in S}}{\pi }_k^{-1}{y}_k$  proposé par Narain (1951) et Horvitz et Thompson (1952) est sans biais pour le total $Y={\displaystyle {\sum }_{k\in U}}{y}_k$  si toutes les probabilités ${\pi }_k$  sont strictement positives.

Nous nous intéressons au cas où la population est entièrement couverte par deux bases de sondage chevauchantes $U_A$  et $U_B$ . En utilisant les notations de Lohr (2011), soient $a=U_A\backslash U_B$  le domaine couvert par $U_A$  seulement; $b=U_B\backslash U_A$  le domaine couvert par $U_B$  seulement; $ab=U_A\cap U_B$  le domaine couvert à la fois par $U_A$  et $U_B$ . On sélectionne dans $U_A$  un échantillon $S^A$  avec des probabilités d'inclusion ${\pi }_k^A>0$ . Pour tout domaine $d\subset U_A$ , le sous-total $Y_d={\displaystyle {\sum }_{k\in d}}{y}_k$  est estimé sans biais par ${\widehat{Y}}_d^A={\displaystyle {\sum }_{k\in S_A}}{d}_k^A{y}_{k}1\left(k\in d\right)$  avec $d_k^A={\left({\pi }_k^A\right)}^{-1}$ . On sélectionne dans $U_B$  un échantillon $S^B$  avec des probabilités d'inclusion ${\pi }_k^B>0$ . Pour tout domaine $d\subset U_B$ , le sous-total $Y_d$  est estimé sans biais par ${\widehat{Y}}_d^B={\displaystyle {\sum }_{k\in S_B}}{d}_k^B{y}_{k}1\left(k\in d\right)$  avec $d_k^B={\left({\pi }_k^B\right)}^{-1}$ . L'objectif est de combiner les échantillons $S^A$  et $S^B$  pour obtenir une estimation de $Y$  aussi précise que possible.

2.1 Estimateur de Hartley

Hartley (1962) propose la classe d'estimateurs sans biais

$${\widehat{Y}}_{\theta }={\widehat{Y}}_a^A+\theta {\widehat{Y}}_{ab}^A+\left(1-\theta \right){\widehat{Y}}_{ab}^B+{\widehat{Y}}_b^B\mathrm{,}\text{ (2}\text{.1)}$$

avec $\theta$  un paramètre à déterminer. Le choix $\theta =1/2$  conduit à donner aux échantillons $S^A$  et $S^B$  le même poids pour l'estimation sur le domaine intersection $ab$ . Hartley (1962) propose de choisir le paramètre qui minimise la variance de ${\widehat{Y}}_{\theta }$ . Cela conduit à

$${\theta }_{opt}=\frac{Cov\left({\widehat{Y}}_a^A+{\widehat{Y}}_{ab}^B+{\widehat{Y}}_b^B\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^B-{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)}{V\left({\widehat{Y}}_{ab}^B-{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)}\mathrm{,}\text{ (2}\text{.2)}$$

que l'on peut réécrire sous la forme

$${\theta }_{opt}=\frac{V\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)+Cov\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\mathrm{,}{\widehat{Y}}_b^B\right)-Cov\left({\widehat{Y}}_a^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)}{V\left({\widehat{Y}}_{ab}^A\right)+V\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\right)}\text{ (2}\text{.3)}$$

quand les échantillons $S^A$  et $S^B$  sont indépendants. Comme le remarque Lohr (2007), le coefficient optimal ${\theta }_{opt}$  peut ne pas être compris entre $0$  et $1$  si un terme de covariance présent dans (2.3) est grand. Supposons pour simplifier que $Cov\left({\widehat{Y}}_{ab}^B\mathrm{,}{\widehat{Y}}_b^B\right)=0$ , ce qui est le cas si $b$  et $ab$  sont utilisés comme strates dans la sélection de $S^B$ . Alors ${\theta }_{opt}>1$  si et seulement si $Cov\left({\widehat{Y}}^A\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{ab}^A\right)<0$ . Dans le cas où $S^A$  est sélectionné par sondage aléatoire simple, ce sera par exemple le cas si dans $U_A$  les faibles valeurs de la variable $y$  sont concentrées dans le domaine $ab$ .

En pratique, les termes de variance et de covariance sont inconnus et doivent être remplacés par des estimateurs, ce qui introduit une variabilité supplémentaire. Un autre inconvénient est que le paramètre optimal dépend de la variable d'intérêt considérée. Si des estimateurs optimaux sont calculés pour différentes variables d'intérêt, les estimations peuvent souffrir d'une incohérence interne (Lohr 2011).

2.2 Estimateur de Kalton et Anderson

Une classe plus générale d'estimateurs s'obtient en remarquant que le total $Y$  peut se réécrire

$$Y=Y_a+{\displaystyle \sum _{k\in ab}}{\theta }_k{y}_k+{\displaystyle \sum _{k\in ab}}\left(1-{\theta }_k\right)y_k+Y_b\mathrm{,}$$

avec ${\theta }_k$  un coefficient propre à l'individu $k$ . Kalton et Anderson (1986) proposent le choix ${\theta }_k={\left(d_k^A+d_k^B\right)}^{-1}{d}_k^B$ , qui conduit à l'estimateur

$${\widehat{Y}}_{KA}={\displaystyle \sum _{k\in S^A}}{d}_k^A{m}_k^A{y}_k+{\displaystyle \sum _{k\in S^B}}{d}_k^B{m}_k^B{y}_k\text{ (2}\text{.4)}$$

avec d'une part $m_k^A=1$  si $k\in a$  et $m_k^A={\theta }_k$  si $k\in ab$ , d'autre part $m_k^B=1$  si $k\in b$  et $m_k^B=1-{\theta }_k$  si $k\in ab$ . Les poids d'estimation sont les mêmes quelle que soit la variable d'intérêt, ce qui assure la cohérence interne des estimations; en revanche, l'estimateur de Kalton et Anderson est moins efficace que l'estimateur optimal de Hartley pour une variable d'intérêt donnée. Notons qu'il s'agit d'un estimateur de type Hansen-Hurwitz (1943), qui peut se réécrire sous la forme ${\widehat{Y}}_{KA}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}}\left[W_k/E\left(W_k\right)\right]y_k$  en notant $W_k=1\left(k\in S^A\right)+1\left(k\in S^B\right)$  le nombre de fois où l'unité $k$  est sélectionnée dans l'échantillon réunion $S^A\cup S^B$ . On a en particulier $E(W_k)={\pi }_k^A+{\pi }_k^B$ .

2.3 Estimateur de Bankier

Bankier (1986) propose d'utiliser un estimateur de type Horvitz-Thompson, en calculant les probabilités d'inclusion dans l'échantillon réunion

$${\pi }_k^{HT}\equiv P\left(k\in S^A\cup S^B\right)={\pi }_k^A+{\pi }_k^B-Pr\left(k\in S^A\cap S^B\right)\mathrm{.}$$

Si les échantillons $S^A$  et $S^B$  sont indépendants, on obtient ${\pi }_k^{HT}={\pi }_k^A+{\pi }_k^B-{\pi }_k^A{\pi }_k^B$  et l'estimateur

$${\widehat{Y}}_{HT}={\displaystyle \sum _{k\in S^A\cup S^B}}\frac{y_k}{{\pi }_k^{HT}}={\displaystyle \sum _{k\in S^A\cap a}}\frac{y_k}{{\pi }_k^A}+{\displaystyle \sum _{k\in S^B\cap b}}\frac{y_k}{{\pi }_k^B}+{\displaystyle \sum _{k\in \left(S^A\cup S^B\right)\cap ab}}\frac{1}{{\pi }_k^A+{\pi }_k^B-{\pi }_k^A{\pi }_k^B}{y}_k\mathrm{.}\text{ (2}\text{.5)}$$

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