2. Rappels sur les indices de pauvreté traités ainsi que leur linéarisée

Eric Graf et Yves Tillé

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Soit une population finie U MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaaysW7ca WGvbaaaa@3B64@  constituée de N MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad6eaaa a@39D0@  unités identifiables u 1 ,..., u k ,..., u N . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadwhada WgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaaISaGaaGOlaiaai6cacaaIUaGaaGil aiaadwhadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccaaISaGaaGOlaiaai6caca aIUaGaaGilaiaadwhadaWgaaWcbaGaamOtaaqabaGccaGGUaaaaa@46E5@  Pour simplifier l’écriture on désigne par la suite l’unité u k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadwhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B13@  par son indice k . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgaca GGUaaaaa@3A9F@  En pratique la population U MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadwfaaa a@39D7@  est une base de sondage avec un taux de couverture acceptable de la population d’intérêt pour laquelle on désire faire des inférences. On associe à chaque unité k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgaaa a@39ED@  une valeur y k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B17@  d’une caractéristique d’intérêt (ici un revenu). Sans nuire à la généralité et pour alléger les notations, on suppose que les y k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B17@  sont tous distincts et triés par ordre de grandeur, donc y k = y [ k ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpcaWG5bWaaSbaaSqaamaadmaa baGaam4AaaGaay5waiaaw2faaaqabaGccaGGUaaaaa@40EE@  Dans les données issues d’enquêtes par échantillonnage, il arrive fréquemment qu’il y ait des doublons, c’est-à-dire plusieurs unités ayant la même valeur y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhaaa a@39FB@ , que ce soit dû à des arrondis ou à des questions-fourchettes. Dans ces cas et pour cette étude, il suffit d’ajouter un montant assez petit (c’est-à-dire négligeable) de la devise tiré au hasard selon une loi uniforme pour que les données soient triables sans équivoque.

Soit un échantillon aléatoire S MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadofaaa a@39D5@  de taille n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad6gaaa a@39F0@  obtenu par un plan d’échantillonnage p ( s ) = P ( S = s ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadchaca GGOaGaam4CaiaacMcacqGH9aqpieaacaWFqbGaa8hkaiaadofacqGH 9aqpcaWGZbGaaiykaiaacYcaaaa@42FF@  pour tout s U . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadohacq GHckcZcaWGvbGaaiOlaaaa@3D7D@  Soit également π k = P ( k s ) > 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabec8aWn aaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9Gqaaiaa=bfacaWFOaGaam4A aiabgIGiolaadohacaGGPaGaaGjbVlaab6dacaaMe8UaaGimaaaa@4716@  la probabilité d’inclusion dans l’échantillon de l’unité k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgaaa a@39ED@  de U . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadwfaca GGUaaaaa@3A89@  Soit aussi d k = 1 / π k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsgada WgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpdaWcgaqaaiaaigdaaeaacqaH apaCdaWgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaaaa@3FBC@  le poids d’échantillonnage et w k = w k ( s ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEhada WgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpcaWG3bWaaSbaaSqaaiaadUga aeqaaOGaaiikaiaadohacaGGPaaaaa@4098@  un poids d’estimation qui peut être égal à d k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsgada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B02@  mais qui peut aussi être plus raffiné. Par exemple, w k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B15@  peut avoir été obtenu suite à un calage (Deville et Särndal 1992) et refléter ainsi également une correction de non-réponse.

Les estimateurs des indices de pauvreté et d’inégalité sont des statistiques non linéaires qui ne peuvent pas s’exprimer comme des fonctions régulières (c’est-à-dire continûment différentiables jusqu’à l’ordre deux) de totaux. En effet, il s’agit de statistiques de rangs pour l’indice de Gini et de quantiles pour les autres. Comme le relève Osier (2009), leur variance ne peut donc pas être estimée par une linéarisation de Taylor mais nécessite le recours à la méthode de linéarisation généralisée (Deville 2000; Demnati et Rao 2004; Osier 2009). Une alternative pour estimer la variance serait d’utiliser des techniques de rééchantillonnage du genre bootstrap, mais dans le cadre des données de l’enquête SILC, une préférence a été donnée à la technique de linéarisation, du moins pour un certain nombre de pays participants. En effet, les méthodes de rééchantillonnage nécessitent souvent davantage de ressources humaines et machine. De plus, Eurostat collaborant avec une trentaine de pays ayant des plans de sondage différents suivis d’éventuels corrections pour la non-réponse et de calages sur des sources externes, il a semblé plus adéquat d’opter pour une solution analytique pour estimer la variance. Par ailleurs, certains pays pouvaient utiliser le logiciel SAS déjà existant POULPE (Ardilly et Osier 2007) pour produire les estimations nécessaires. Ce fut le cas pour les premiers tests avec les données SILC suisses. On applique ici un mode opératoire qui, comme le relèvent Antal, Langel et Tilllé (2011), concilie l’approche introduite par Deville (2000) à celle de Demnati et Rao (2004). Les deux approches utilisent la notion de fonction d’influence qui fut développée initialement dans le domaine des statistiques robustes (Hampel 1974). Antal et coll. (2011) mentionnent aussi que l’on peut retrouver les mêmes linéarisées en appliquant la méthode proposée par Graf (2011, 2013) qui construit une variable linéarisée basée sur un développement en série de Taylor par rapport aux indicatrices d’inclusion dans l’échantillon. Citons aussi le travail de Kovačević et Binder (1997) où une approche de linéarisation par les équations estimantes est développée.

Selon Deville (2000), on cerne l’influence de l’unité k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgaaa a@39ED@  sur un paramètre d’intérêt θ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeI7aXb aa@3AB3@  au niveau de la population par une variation infinitésimale de l’importance attribuée à cette unité. On exprime ledit paramètre comme une fonctionnelle θ = T ( M ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeI7aXj abg2da9iaadsfacaGGOaGaamytaiaacMcacaGGSaaaaa@3F6D@  où M MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2eaaa a@39CF@  est une mesure allouant une masse unité, M ( k ) = M k = 1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2eaca GGOaGaam4AaiaacMcacqGH9aqpcaWGnbWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqa aOGaeyypa0JaaGymaiaacYcaaaa@4186@  uniquement aux points du continuum correspondant aux unités k U . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgacq GHiiIZcaWGvbGaaiOlaaaa@3CFD@  La spécialisation de la mesure générale M MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2eaaa a@39CF@  en une mesure discrète fait passer la fonctionnelle T , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfaca GGSaaaaa@3A86@  définie a priori sur un continuum, en une fonctionnelle discrète, tout comme le total Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMfaaa a@39DB@  est défini par la somme des y k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B17@  sur notre population finie. La fonction d’influence de T , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfaca GGSaaaaa@3A86@  ou la variable linéarisée, est définie par

I [ T ( M ) ] k = z k = lim t 0 T ( M + t δ k ) T ( M ) t , pour tout k U , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMeada Wadaqaaiaadsfadaqadaqaaiaad2eaaiaawIcacaGLPaaaaiaawUfa caGLDbaadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpcaWG6bWaaSbaaS qaaiaadUgaaeqaaOGaeyypa0ZaaybuaeqaleaacaWG0bGaeyOKH4Qa aGimaaqabOqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaaadaWcaaqaaiaadsfada qadaqaaiaad2eacqGHRaWkcaWG0bGaeqiTdq2aaSbaaSqaaiaadUga aeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaamivamaabmaabaGaamytaa GaayjkaiaawMcaaaqaaiaadshaaaGaaGilaiaabchacaqGVbGaaeyD aiaabkhacaaMc8UaaeiDaiaab+gacaqG1bGaaeiDaiaaykW7caaMc8 Uaam4AaiabgIGiolaadwfacaaISaaaaa@6944@

δ k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabes7aKn aaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@3BBE@  est la mesure de Dirac pour l’unité k ( δ k ( i ) = 1 si i = k et 0 sinon ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUgada qadaqaaiabes7aKnaaBaaaleaacaWGRbaabeaakmaabmaabaGaamyA aaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaaigdacaaMc8UaaGPaVlaabohaca qGPbGaaGPaVlaaykW7caWGPbGaeyypa0Jaam4AaiaaykW7caaMc8Ua aeyzaiaabshacaaMc8UaaGPaVlaaicdacaaMc8UaaGPaVlaabohaca qGPbGaaeOBaiaab+gacaqGUbaacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@5EAE@  En pratique on ne dispose que des données connues sur un échantillon S MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadofaaa a@39D5@  et Deville (2000) obtient une linéarisée z ^ k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@3B28@  ou fonction d’influence empirique, en : 1) évaluant la limite ci-dessus par calcul différentiel, 2) remplaçant dans l’évaluation les quantités inconnues par les quantités correspondantes estimées à partir de l’échantillon. Il justifie ce procédé en montrant que :

T ( M ^ ) T ( M ) ( k S w k z k k U z k ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfada qadeqaaiqad2eagaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaadsfadaqa deqaaiaad2eaaiaawIcacaGLPaaacqGHijYUdaqadeqaamaaqafabe WcbaGaam4AaiabgIGiolaadofaaeqaniabggHiLdGccaaMc8Uaam4D amaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaadQhadaWgaaWcbaGaam4Aaaqaba GccqGHsisldaaeqbqabSqaaiaadUgacqGHiiIZcaWGvbaabeqdcqGH ris5aOGaaGPaVlaadQhadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaaakiaawIcaca GLPaaacaaIUaaaaa@59BB@

Le résultat central est que, sous des conditions asymptotiques décrites dans Deville (2000), qui sont en principe satisfaites lorsque l’échantillon est « assez grand », la variance du total estimé de la variable z ^ k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@3B28@  est une approximation de la variance de la statistique (complexe) θ ^ : MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqbeI7aXz aajaGaaiOoaaaa@3B81@

var [ k s z ^ k w k ] var ( θ ^ ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabAhaca qGHbGaaeOCamaadmqabaWaaabuaeqaleaacaWGRbGaeyicI4Saam4C aaqab0GaeyyeIuoakiaaykW7ceWG6bGbaKaadaWgaaWcbaGaam4Aaa qabaGccaWG3bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaGccaGLBbGaayzxaaGa eyisISRaaeODaiaabggacaqGYbWaaeWabeaacuaH4oqCgaqcaaGaay jkaiaawMcaaiaai6caaaa@51C8@

Le point de départ de l’approche de Deville est donc le paramètre de population et non l’estimateur qu’on se propose d’utiliser pour l’évaluation à partir de l’échantillon. Dans les cas où l’estimateur utilisé découle naturellement de l’expression du paramètre de population (comme par exemple le total Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMfaaa a@39DB@  approché par l’estimateur de Horvitz-Thompson), le procédé ne présente pas d’ambiguïté. Mais des imprécisions surviennent si l’on estime le même total Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMfaaa a@39DB@  en ayant recours à l’estimateur par le quotient grâce à une variable auxiliaire x . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIhaca GGUaaaaa@3AAC@  En effet, dans ce cas, l’approche de Deville ne précisant pas la forme de l’estimateur du total à utiliser fournira plutôt une fonction d’influence constante égale à 1, au lieu de faire intervenir le quotient inconnu d’intérêt.

Une alternative qui évite ces problèmes est celle de Demnati-Rao, lorsque rattachée au préalable au cadre de Deville comme cela est fait dans Antal et coll. (2011). Ces auteurs présentent l’approche de Demnati-Rao comme résultant du cadre de Deville lorsque la mesure M MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2eaaa a@39CF@  employée n’est pas la mesure discrète définie sur U MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadwfaaa a@39D7@  présentée précédemment, mais plutôt la mesure suivante définie sur S , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadofaca GGSaaaaa@3A85@  l’échantillon :

M ^ ( k ) = w k , k S MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqad2eaga qcamaabmaabaGaam4AaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadEhadaWg aaWcbaGaam4AaaqabaGccaaISaGaam4AaiabgIGiolaadofaaaa@4381@

w k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B15@  est un poids. En définissant la mesure sur S , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadofaca GGSaaaaa@3A85@  on se donne dans les faits comme point de départ l’estimateur et non le paramètre; c’est le paramètre qui se retrouve exprimé au départ sous la forme d’une fonctionnelle et non le paramètre de population à estimer. Autrement dit, on se donne comme fonctionnelle celle qui correspond à l’estimateur pour lequel on souhaite avoir une estimation de la variance par linéarisation généralisée. On obtient ensuite la linéarisée en fonction de cette fonctionnelle de la façon suivante :

I [ T ( M ^ ) ] k = z ^ k = lim t 0 T ( M ^ + t δ k ) T ( M ^ ) t , pour tout k S . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMeada Wadeqaaiaadsfadaqadeqaaiqad2eagaqcaaGaayjkaiaawMcaaaGa ay5waiaaw2faamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9iqadQhaga qcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9maawafabeWcbaGaamiD aiabgkziUkaaicdaaeqakeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaaWaaSaaae aacaWGubWaaeWabeaaceWGnbGbaKaacqGHRaWkcaWG0bGaeqiTdq2a aSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0Iaamivam aabmaabaGabmytayaajaaacaGLOaGaayzkaaaabaGaamiDaaaacaaI SaGaaeiCaiaab+gacaqG1bGaaeOCaiaaykW7caqG0bGaae4Baiaabw hacaqG0bGaaGPaVlaaykW7caWGRbGaeyicI4Saam4uaiaai6caaaa@6987@

Antal et coll. (2011) observent que, dans la mesure où la fonctionnelle apparaissant dans cette limite s’exprime comme une fonction explicite des variables que sont les poids assignés par la mesure M ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqad2eaga qcaaaa@39DF@  aux observations, cette linéarisée est en fait une fonction des dérivées partielles par rapport aux poids :

I [ T ( M ^ ) ] k = T ( M ^ ) w k . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMeada Wadeqaaiaadsfadaqadeqaaiqad2eagaqcaaGaayjkaiaawMcaaaGa ay5waiaaw2faamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9maalaaaba GaeyOaIyRaamivamaabmqabaGabmytayaajaaacaGLOaGaayzkaaaa baGaeyOaIyRaam4DamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaGccaaIUaaaaa@4A29@

Antal et coll. (2011) relèvent que, les linérarisées que nous rappelons dans la suite, peuvent être obtenues par les deux approches. En effet, l’évaluation de la limite à-la-Demnati-Rao ne mène pas nécessairement à l’estimation de la variance suggérée par Deville (2000). L’approche pratique utilisée dans le cadre de cet article pourrait donc être nommée comme étant celle de Deville-Demnati-Rao en reconnaissance au cadre théorique fourni par Deville (2000) et l’algorithmique pratique de ce cadre qu’apportent Demnati et Rao (2004).

Par cette méthode, on peut estimer la variance de θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqbeI7aXz aajaaaaa@3AC3@  quel que soit le plan d’échantillonnage, et donc obtenir un intervalle de confiance, en substituant la variable linéarisée dans la formule de variance pour un total correspondant au plan choisi. Sous un plan aléatoire simple sans remise, l’estimateur de la variance d’un indice d’inégalité θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqbeI7aXz aajaaaaa@3AC3@  est donné par

var ^ lin [ θ ^ ] = N ( N n ) n 1 n 1 k S ( z ^ k z ¯ ) 2 ,               ( 2.1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaHaaaba GaciODaiaacggacaGGYbaacaGLcmaadaWgaaWcbaGaaeiBaiaabMga caqGUbaabeaakmaadmqabaGafqiUdeNbaKaaaiaawUfacaGLDbaacq GH9aqpdaWcaaqaaiaad6eadaqadeqaaiaad6eacqGHsislcaWGUbaa caGLOaGaayzkaaaabaGaamOBaaaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGUb GaeyOeI0IaaGymaaaadaaeqbqabSqaaiaadUgacqGHiiIZcaWGtbaa beqdcqGHris5aOGaaGPaVpaabmqabaGabmOEayaajaWaaSbaaSqaai aadUgaaeqaaOGaeyOeI0IabmOEayaaraaacaGLOaGaayzkaaWaaWba aSqabeaacaaIYaaaaOGaaGilaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccaca qGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaa bccadaqadaqaaabaaaaaaaaapeGaaGOmaiaac6cacaaIXaaapaGaay jkaiaawMcaaaaa@6868@

avec

z ¯ = n 1 k S z ^ k . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qeaiabg2da9iaad6gadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaigdaaaGcdaae qbqabSqaaiaadUgacqGHiiIZcaWGtbaabeqdcqGHris5aOGaaGPaVl qadQhagaqcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaai6caaaa@47DD@

Dans la suite, dans le cadre de la mesure du revenu de la population, nous rappelons les définitions empiriques des indices d’inégalité considérés ainsi que l’expression de leurs linéarisées telles que nous les avons mises en œuvre.

2.1  L’indice de Gini

L’indice de Gini, G , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEeaca GGSaaaaa@3A79@  est compris entre 0 (en cas d’égalité totale, tous gagnent le même montant) et 1 (en cas d’inégalité totale, c’est-à-dire un individu gagne tout et les autres rien). L’indice G MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEeaaa a@39C9@  s’exprime en fonction des revenus cumulés d’une certaine proportion d’individus les plus pauvres. Si Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPr wtHrhAXaqeguuDJXwAKbstHrhAG8KBLbacfaGae8hgXNfaaa@446E@  est la variable aléatoire représentant les revenus, f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgaca GGOaGaamyEaiaacMcaaaa@3C3F@  sa fonction de densité et F ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAeaca GGOaGaamyEaiaacMcaaaa@3C1F@  sa fonction de répartition, alors la courbe de Lorenz (Lorenz 1905) est définie par

L ( α ) = 0 F 1 ( α ) y f ( y ) d y 0 y f ( y ) d y = 1 E ( Y ) 0 α F 1 ( u ) d u . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadYeada qadeqaaiabeg7aHbGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maalaaabaWaa8qm aeqaleaacaaIWaaabaGaamOramaaCaaabeqaaiabgkHiTiaaigdaaa Gaaiikaiabeg7aHjaacMcaa0Gaey4kIipakiaadMhacaWGMbWaaeWa beaacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaamizaiaadMhaaeaadaWdXaqabS qaaiaaicdaaeaacqGHEisPa0Gaey4kIipakiaadMhacaWGMbWaaeWa beaacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaamizaiaadMhaaaGaeyypa0ZaaS aaaeaacaaIXaaabaacbaGaa8xramaabmqabaWefv3ySLgznfgDOfda ryqr1ngBPrginfgDObYtUvgaiuaacqGFyeFwaiaawIcacaGLPaaaaa Waa8qmaeqaleaacaaIWaaabaGaeqySdeganiabgUIiYdGccaWGgbWa aWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOWaaeWabeaacaWG1baacaGLOa GaayzkaaGaamizaiaadwhacaaIUaaaaa@7386@

L’indice de Gini représente deux fois la surface comprise entre la courbe de Lorenz et la ligne (diagonale f e g ( x ) = x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgada WgaaWcbaGaamyzaiaadEgaaeqaaOWaaeWabeaacaWG4baacaGLOaGa ayzkaaGaeyypa0JaamiEaaaa@407E@  ) de l’égalité parfaite (Figure 2.1). Il est donc défini par :

G = 2 0 1 [ α L ( α ) ] d α . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEeacq GH9aqpcaaIYaWaa8qmaeqaleaacaaIWaaabaGaaGymaaqdcqGHRiI8 aOWaamWabeaacqaHXoqycqGHsislcaWGmbWaaeWabeaacqaHXoqyai aawIcacaGLPaaaaiaawUfacaGLDbaacaWGKbGaeqySdeMaaGOlaaaa @4AEC@

Description de la figure 2.1

Dans le cas d’une population finie, les y k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B17@  ne sont pas aléatoires et l’indice de Gini est défini sur la population U MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadwfaaa a@39D7@  par :

G = 2 k U k y k N k U y k N + 1 N , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEeacq GH9aqpdaWcaaqaaiaaikdadaaeqaqaaiaadUgacaWG5bWaaSbaaSqa aiaadUgaaeqaaaqaaiaadUgacqGHiiIZcaWGvbaabeqdcqGHris5aa GcbaGaamOtamaaqababaGaamyEamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaeaa caWGRbGaeyicI4Saamyvaaqab0GaeyyeIuoaaaGccqGHsisldaWcaa qaaiaad6eacqGHRaWkcaaIXaaabaGaamOtaaaacaaISaaaaa@50E7@

où les y k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@3B17@  ont été préalablement triés par leur rang. Calculé sur un échantillon, on l’estime par :

G ^ = 2 N ^ Y ^ k S w k N ^ k y k ( 1 + 1 N ^ Y ^ k S w k 2 y k ) = k S S w k w | y k y | 2 N ^ Y ^ , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabiWaaa qaaiqadEeagaqcaaqaaiabg2da9aqaamaalaaabaGaaGOmaaqaaiqa d6eagaqcaiqadMfagaqcaaaadaaeqbqabSqaaiaadUgacqGHiiIZca WGtbaabeqdcqGHris5aOGaaGPaVlaadEhadaWgaaWcbaGaam4Aaaqa baGcceWGobGbaKaadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccaWG5bWaaSbaaS qaaiaadUgaaeqaaOGaeyOeI0YaaeWaaeaacaaIXaGaey4kaSYaaSaa aeaacaaIXaaabaGabmOtayaajaGabmywayaajaaaamaaqafabeWcba Gaam4AaiabgIGiolaadofaaeqaniabggHiLdGccaaMc8Uaam4Damaa DaaaleaacaWGRbaabaGaaGOmaaaakiaadMhadaWgaaWcbaGaam4Aaa qabaaakiaawIcacaGLPaaaaeaaaeaacqGH9aqpaeaadaWcaaqaamaa qababaWaaabeaeaacaWG3bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaam4Dam aaBaaaleaacqWItecBaeqaaOWaaqWaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaa dUgaaeqaaOGaeyOeI0IaamyEamaaBaaaleaacqWItecBaeqaaaGcca GLhWUaayjcSdaaleaacqWItecBcqGHiiIZcaWGtbaabeqdcqGHris5 aaWcbaGaam4AaiabgIGiolaadofaaeqaniabggHiLdaakeaacaaIYa GabmOtayaajaGabmywayaajaaaaiaaiYcaaaaaaa@76B1@

N ^ k = S w 1 [ y y k ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqad6eaga qcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9maaqababeWcbaGaeS4e HWMaeyicI4Saam4uaaqab0GaeyyeIuoakiaadEhadaWgaaWcbaGaeS 4eHWgabeaakiaahgdadaWgaaWcbaWaamWabeaacaWG5bWaaSbaaWqa aiabloriSbqabaWccqGHKjYOcaWG5bWaaSbaaWqaaiaadUgaaeqaaa WccaGLBbGaayzxaaaabeaaaaa@4D04@  est la somme cumulée des poids w k , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEhada WgaaWcbaGaam4AaaqabaGccaGGSaaaaa@3BCF@   Y ^ = k S w k y k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadMfaga qcaiabg2da9maaqababeWcbaGaam4AaiabgIGiolaadofaaeqaniab ggHiLdGccaaMc8Uaam4DamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaadMhada WgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@45F2@  étant le revenu total estimé pour la population et N ^ = k S w k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqad6eaga qcaiabg2da9maaqababeWcbaGaam4AaiabgIGiolaadofaaeqaniab ggHiLdGccaaMc8Uaam4DamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaa@43C3@  la taille estimée de cette population. L’expression peut être simplifiée si tous les poids sont égaux et valent tous N / n : MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaalyaaba GaamOtaaqaaiaad6gaaaGaaiOoaaaa@3B97@

G ^ = 2 k S k y k n k S y k n + 1 n . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadEeaga qcaiabg2da9maalaaabaGaaGOmamaaqababaGaam4AaiaadMhadaWg aaWcbaGaam4AaaqabaaabaGaam4AaiabgIGiolaadofaaeqaniabgg HiLdaakeaacaWGUbWaaabeaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqa aaqaaiaadUgacqGHiiIZcaWGtbaabeqdcqGHris5aaaakiabgkHiTm aalaaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaeaacaWGUbaaaiaai6caaaa@5155@

Notons que la définition peut varier d’un facteur n / ( n 1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaalyaaba GaamOBaaqaamaabmqabaGaamOBaiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGL Paaaaaaaaa@3E2B@  selon les auteurs (Osier 2009; Eurostat 2004b), mais cette subtilité est négligeable dès que la taille de l’échantillon est assez grande.

Langel et Tillé (2012) ont fait une synthèse des différentes approches permettant d’obtenir la même variable linéarisée de l’indice de Gini estimée sur l’échantillon :

z ^ k GINI = 1 N ^ Y ^ [ 2 N ^ k ( y k Y ¯ ^ k ) + Y ^ N ^ y k G ^ ( Y ^ + y k N ^ ) ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaae4raiaabMeacaqGobGaaeysaaaa kiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiqad6eagaqcaiqadMfagaqcaa aadaWadeqaaiaaikdaceWGobGbaKaadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGc caGGOaGaamyEamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabgkHiTiqadMfaga qegaqcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaacMcacqGHRaWkceWGzbGb aKaacqGHsislceWGobGbaKaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaO GaeyOeI0Iabm4rayaajaWaaeWabeaaceWGzbGbaKaacqGHRaWkcaWG 5bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGabmOtayaajaaacaGLOaGaayzkaa aacaGLBbGaayzxaaGaaGilaaaa@5BF8@

Y ¯ ^ k = = 1 k w y / N ^ k , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadMfaga qegaqcamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9maaqadabeWcbaGa eS4eHWMaeyypa0JaaGymaaqaaiaadUgaa0GaeyyeIuoakiaaykW7da WcgaqaaiaadEhadaWgaaWcbaGaeS4eHWgabeaakiaadMhadaWgaaWc baGaeS4eHWgabeaaaOqaaiqad6eagaqcamaaBaaaleaacaWGRbaabe aaaaGccaGGSaaaaa@4B3F@  les y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMhada WgaaWcbaGaeS4eHWgabeaaaaa@3B58@  étant triés et distincts.

2.2 Le Quintile Share Ratio (QSR ou S 80 / S 20 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqipv0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqabeqabmGabiqaceqabeqadeqabqqaaOqaamaalyaaba Gaam4uamaaBaaaleaacaaI4aGaaGimaaqabaaakeaacaWGtbWaaSba aSqaaiaaikdacaaIWaaabeaaaaaaaa@3E51@  )

On trouve un bon tour d’horizon sur cet indice dans Langel et Tillé (2012). Soient q 80 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadghada WgaaWcbaGaaGioaiaaicdaaeqaaaaa@3B9B@  et q 20 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadghada WgaaWcbaGaaGOmaiaaicdaaeqaaaaa@3B95@  les 80e et 20e percentiles de la fonction de répartition F ( y ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaGqaaiaa=z eadaqadeqaaiaadMhaaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@3D07@  Le QSR est le ratio de la somme des revenus des 20 % les plus riches sur les 20 % les plus pauvres. Dans le cas continu, on peut le définir ainsi :

QSR = E ( Y | Y q 80 ) E ( Y | Y q 20 ) = 1 L ( 0,8 ) L ( 0,2 ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabgfaca qGtbGaaeOuaiabg2da9maalaaabaacbaGaa8xramaabmqabaWaaqGa aeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0uy0Hgip5wzaGqbaiab+H r8zjaaykW7aiaawIa7aiaaykW7cqGFyeFwcqGFGaaicaqG+aGaaeii aiaadghadaWgaaWcbaGaaGioaiaaicdaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaa aabaGaa8xramaabmqabaWaaqGaaeaacqGFyeFwcaaMc8oacaGLiWoa caaMc8Uae4hgXNLae4hiaaIaaeipaiaabccacaWGXbWaaSbaaSqaai aaikdacaaIWaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaaacqGH9aqpdaWcaaqa aiaaigdacqGHsislcaWGmbWaaeWabeaacaqGWaGaaeilaiaabIdaai aawIcacaGLPaaaaeaacaWGmbWaaeWabeaacaqGWaGaaeilaiaabkda aiaawIcacaGLPaaaaaGaaGilaaaa@71AA@

Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPr wtHrhAXaqeguuDJXwAKbstHrhAG8KBLbacfaGae8hgXNfaaa@446E@  serait une variable aléatoire représentant les revenus. Dans le cas de populations finies, le QSR peut être exprimé et estimé au niveau de l’échantillon en fonction des sommes partielles

QSR ^ = Y ^ Y ^ 0,8 Y ^ 0,2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaHaaaba GaaeyuaiaabofacaqGsbaacaGLcmaacqGH9aqpdaWcaaqaaiqadMfa gaqcaiabgkHiTiqadMfagaqcamaaBaaaleaacaqGWaGaaeilaiaabI daaeqaaaGcbaGabmywayaajaWaaSbaaSqaaiaabcdacaqGSaGaaeOm aaqabaaaaOGaaGilaaaa@4660@

où, suite aux résultats obtenus par Langel et Tillé (2011), nous utiliserons la définition suivante de la somme partielle, ce qui diffère très légèrement de la définition officielle d’Eurostat (2004a),

Y ^ α = k S w k y k H ( α N ^ N ^ k 1 w k ) ,               ( 2.2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadMfaga qcamaaBaaaleaacqaHXoqyaeqaaOGaeyypa0ZaaabuaeqaleaacaWG RbGaeyicI4Saam4uaaqab0GaeyyeIuoakiaaykW7caWG3bWaaSbaaS qaaiaadUgaaeqaaOGaamyEamaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiaadIea daqadaqaamaalaaabaGaeqySdeMabmOtayaajaGaeyOeI0IabmOtay aajaWaaSbaaSqaaiaadUgacqGHsislcaaIXaaabeaaaOqaaiaadEha daWgaaWcbaGaam4AaaqabaaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaaGilaiaabc cacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeii aiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccadaqadaqaaiaaikdacaGGUaGaaG OmaaGaayjkaiaawMcaaaaa@6068@

avec

H ( x ) = { 0 si x < 0 x si 0 x < 1 1 si x 1. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIeada qadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaGabeqaauaabaqG diaaaeaacaaIWaaabaGaae4CaiaabMgacaaMe8UaaGjcVlaadIhaca aMe8UaaeipaiaaysW7caaIWaaabaGaamiEaaqaaiaabohacaqGPbGa aGjbVlaayIW7caaIWaGaeyizImQaamiEaiaaysW7caqG8aGaaGjbVl aaigdaaeaacaaIXaaabaGaae4CaiaabMgacaaMe8UaaGjcVlaadIha cqGHLjYScaaIXaGaaGOlaaaaaiaawUhaaaaa@623A@

Pour obtenir la linéarisée du QSR, il faut d’abord calculer la linéarisée de la somme partielle (2.2) qui est donnée par :

I ( Y α ) k = y k H ( α N k + 1 ) + [ α 1 [ y k < Q α ] ] Q α , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMeada qadeqaaiaadMfadaWgaaWcbaGaeqySdegabeaaaOGaayjkaiaawMca amaaBaaaleaacaWGRbaabeaakiabg2da9iaadMhadaWgaaWcbaGaam 4AaaqabaGccaWGibWaaeWabeaacqaHXoqycaWGobGaeyOeI0Iaam4A aiabgUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkdaWadeqaaiabeg 7aHjabgkHiTiaahgdadaWgaaWcbaWaamWabeaacaWG5bWaaSbaaeaa caWGRbaabeaacaqG8aGaaGjbVlaadgfadaWgaaqaaiabeg7aHbqaba aacaGLBbGaayzxaaaabeaaaOGaay5waiaaw2faaiaadgfadaWgaaWc baGaeqySdegabeaakiaaiYcaaaa@5D30@

Q α = y i , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadgfada WgaaWcbaGaeqySdegabeaakiabg2da9iaadMhadaWgaaWcbaGaamyA aaqabaGccaGGSaaaaa@3F80@  avec N ^ i 1 < α N ^ N ^ i , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqad6eaga qcamaaBaaaleaacaWGPbGaeyOeI0IaaGymaiaaysW7aeqaaOGaaeip aiaaysW7cqaHXoqyceWGobGbaKaacqGHKjYOceWGobGbaKaadaWgaa WcbaGaamyAaaqabaGccaGGSaaaaa@4773@  correspond à la première définition du quantile d’une population finie dans l’article de Hyndman et Fan (1996). Osier (2009) obtient une linéarisée qui dépend de la densité de la variable Y . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPr wtHrhAXaqeguuDJXwAKbstHrhAG8KBLbacfaGae8hgXNLae8ha37Ia aiOlaaaa@46CA@ Langel et Tillé (2011) ont cependant montré qu’une simplification permet d’éluder le problème de l’estimation de cette densité pour le QSR et qu’il n’est donc pas nécessaire de faire une approximation par noyau de la densité des revenus comme le propose Osier (2009).

La fonction d’influence dépend de celles des sommes partielles :

I ( QSR ) k = z k QSR = y k I ( Y 0,8 ) Y 0,2 ( Y Y 0,8 ) I ( Y 0,2 ) Y 0,2 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadMeada qadeqaaiaabgfacaqGtbGaaeOuaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaa caWGRbaabeaakiabg2da9iaadQhadaqhaaWcbaGaam4Aaaqaaiaabg facaqGtbGaaeOuaaaakiabg2da9maalaaabaGaamyEamaaBaaaleaa caWGRbaabeaakiabgkHiTiaadMeadaqadeqaaiaadMfadaWgaaWcba GaaeimaiaabYcacaqG4aaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaqaaiaadMfa daWgaaWcbaGaaeimaiaabYcacaqGYaaabeaaaaGccqGHsisldaWcaa qaamaabmqabaGaamywaiabgkHiTiaadMfadaWgaaWcbaGaaeimaiaa bYcacaqG4aaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiaadMeadaqadeqaaiaadM fadaWgaaWcbaGaaeimaiaabYcacaqGYaaabeaaaOGaayjkaiaawMca aaqaaiaadMfadaqhaaWcbaGaaeimaiaabYcacaqGYaaabaGaaGOmaa aaaaGccaaIUaaaaa@6325@

En faisant les substitutions nécessaires, on trouve que la linéarisée estimée sur la base de l’échantillon vaut

z ^ k QSR = y k { y k H ( 0,8 N ^ N ^ k 1 w k ) + Q ^ 0,8 [ 0,8 1 [ y k < Q ^ 0,8 ] ] } Y ^ 0,2                      ( 2.3 ) ( Y ^ Y ^ 0,8 ) { y k H ( 0,2 N ^ N ^ k 1 w k ) + Q ^ 0,2 [ 0,2 1 [ y k < Q ^ 0,2 ] ] } Y ^ 0,2 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabiWaaa qaaiqadQhagaqcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaeyuaiaabofacaqG sbaaaaGcbaGaeyypa0dabaWaaSaaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadU gaaeqaaOGaeyOeI0YaaiWaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqa aOGaamisamaabmaabaWaaSaaaeaacaqGWaGaaeilaiaabIdaceWGob GbaKaacqGHsislceWGobGbaKaadaWgaaWcbaGaam4AaiabgkHiTiaa igdaaeqaaaGcbaGaam4DamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaaaakiaawI cacaGLPaaacqGHRaWkceWGrbGbaKaadaWgaaWcbaGaaeimaiaabYca caqG4aaabeaakmaadmqabaGaaeimaiaabYcacaqG4aGaeyOeI0IaaC ymamaaBaaaleaadaWadeqaaiaadMhadaWgaaqaaiaadUgaaeqaaiaa bYdaceWGrbGbaKaadaWgaaqaaiaabcdacaqGSaGaaeioaaqabaaaca GLBbGaayzxaaaabeaaaOGaay5waiaaw2faaaGaay5Eaiaaw2haaaqa aiqadMfagaqcamaaBaaaleaacaqGWaGaaeilaiaabkdaaeqaaaaaki aabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGa aeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccaca qGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaWaaeWaaeaacaaIYaGaaiOlaiaaioda aiaawIcacaGLPaaaaeaaaeaacqGHsislaeaadaWcaaqaamaabmqaba GabmywayaajaGaeyOeI0IabmywayaajaWaaSbaaSqaaiaabcdacaqG SaGaaeioaaqabaaakiaawIcacaGLPaaadaGadaqaaiaadMhadaWgaa WcbaGaam4AaaqabaGccaWGibWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaabcdacaqG SaGaaeOmaiqad6eagaqcaiabgkHiTiqad6eagaqcamaaBaaaleaaca WGRbGaeyOeI0IaaGymaaqabaaakeaacaWG3bWaaSbaaSqaaiaadUga aeqaaaaaaOGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiqadgfagaqcamaaBaaale aacaqGWaGaaeilaiaabkdaaeqaaOWaamWabeaacaqGWaGaaeilaiaa bkdacqGHsislcaWHXaWaaSbaaSqaamaadmqabaGaamyEamaaBaaaba Gaam4AaaqabaGaaeipaiqadgfagaqcamaaBaaabaGaaeimaiaabYca caqGYaaabeaaaiaawUfacaGLDbaaaeqaaaGccaGLBbGaayzxaaaaca GL7bGaayzFaaaabaGabmywayaajaWaa0baaSqaaiaabcdacaqGSaGa aeOmaaqaaiaaikdaaaaaaOGaaGOlaaaaaaa@A398@

2.3 Linéarisée d’un quantile

Avant de traiter les indices de pauvreté, il convient de donner quelques détails sur la linéarisée d’un quantile d’ordre α . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHj aac6caaaa@3B4E@  Celle-ci s’estime par :

z ^ k Q α = 1 f ( Q ^ α ) 1 N ^ [ 1 [ y k Q ^ α ] α ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaamyuamaaBaaabaGaeqySdegabeaa aaGccqGH9aqpcqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGMbWaaeWabe aaceWGrbGbaKaadaWgaaWcbaGaeqySdegabeaaaOGaayjkaiaawMca aaaadaWcaaqaaiaaigdaaeaaceWGobGbaKaaaaWaamWabeaacaWHXa WaaSbaaSqaamaadmqabaGaamyEamaaBaaameaacaWGRbaabeaaliab gsMiJkqadgfagaqcamaaBaaameaacqaHXoqyaeqaaaWccaGLBbGaay zxaaaabeaakiabgkHiTiabeg7aHbGaay5waiaaw2faaiaaiYcaaaa@5614@

où le quantile pondéré peut être défini de manière similaire à la somme partielle (2.2) et f ( ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgada qadeqaaiabgwSixdGaayjkaiaawMcaaaaa@3DBC@  est la fonction de densité des revenus qui est discutée en détails à la section 3. Notons qu’Eurostat (2004a) préconise la deuxième définition de Hyndman et Fan (1996). On pourrait discuter de la définition d’Eurostat et utiliser une autre définition du quantile, par exemple Q α = y k 1 + ( y k y k 1 ) [ α N ( k 1 ) ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadgfada WgaaWcbaGaeqySdegabeaakiabg2da9iaadMhadaWgaaWcbaGaam4A aiabgkHiTiaaigdaaeqaaOGaey4kaSYaaeWabeaacaWG5bWaaSbaaS qaaiaadUgaaeqaaOGaeyOeI0IaamyEamaaBaaaleaacaWGRbGaeyOe I0IaaGymaaqabaaakiaawIcacaGLPaaadaWadeqaaiabeg7aHjaad6 eacqGHsisldaqadeqaaiaadUgacqGHsislcaaIXaaacaGLOaGaayzk aaaacaGLBbGaayzxaaaaaa@5337@  où α N < k α N + 1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHj aad6eacaaMe8UaaeipaiaaysW7caWGRbGaeyizImQaeqySdeMaamOt aiabgUcaRiaaigdacaGGSaaaaa@46AC@  ce qui correspond à la quatrième définition selon Hyndman et Fan (1996). On estime alors le quantile sur l’échantillon par

Q ^ α = y k 1 + ( y k y k 1 ) ( α N ^ N ^ k 1 w k ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadgfaga qcamaaBaaaleaacqaHXoqyaeqaaOGaeyypa0JaamyEamaaBaaaleaa caWGRbGaeyOeI0IaaGymaaqabaGccqGHRaWkdaqadeqaaiaadMhada WgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGHsislcaWG5bWaaSbaaSqaaiaadUga cqGHsislcaaIXaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaamaabmaabaWaaSaaae aacqaHXoqyceWGobGbaKaacqGHsislceWGobGbaKaadaWgaaWcbaGa am4AaiabgkHiTiaaigdaaeqaaaGcbaGaam4DamaaBaaaleaacaWGRb aabeaaaaaakiaawIcacaGLPaaacaaIUaaaaa@5565@

La linéarisée du quantile dépend de la valeur de la fonction de densité des revenus en ce quantile. Or, la vraie densité des revenus n’est pas connue et doit donc aussi être estimée à partir de l’échantillon. Deville (2000) et Osier (2009) proposent de l’estimer par noyau gaussien. On revient plus en détails sur le problème de l’estimation de f MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgaaa a@39E8@  dans la section 3.

En plus du problème de l’estimation de la fonction de densité des revenus, Croux (1998) montre que la fonction d’influence empirique de la médiane n’est pas un estimateur convergent de la fonction d’influence (théorique) correspondante. Pour une variable positive (cas des revenus), la fonction d’influence empirique de la médiane (cas que Croux traite dans son article) converge vers une distribution exponentielle dont l’espérance est la fonction d’influence. Elle résiste mal aux valeurs extrêmes s’il y en a une trop grande proportion. On dira qu’elle manque de robustesse, dans le sens que la valeur de l’estimateur sur la base de l’échantillon peut s’éloigner fortement de la vraie valeur sur la population en raison d’observations extrêmes (c’est-à-dire très grandes par rapport aux autres) présentes dans l’échantillon (voir Hampel (1974) pour les idées de base sur la robustesse en population infinie, et Beaumont, Haziza et Ruiz-Gazen (2013) pour des réflexions récentes à ce sujet dans le cadre d’échantillonnage en population finie).

2.4 La médiane et le seuil de risque de pauvreté (ARPT)

Soit m ^ = Q ^ 0,5 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqad2gaga qcaiabg2da9iqadgfagaqcamaaBaaaleaacaqGWaGaaeilaiaabwda aeqaaaaa@3E31@  la médiane estimée sur l’échantillon, le seuil de pauvreté, noté ARPT (At Risk of Poverty Threshold), est défini comme étant égal à 60 % de la médiane :

ARPT = 0,6 F 1 ( 0,5 ) ARPT ^ = 0,6 Q ^ 0,5 = 0,6 m ^ . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabiWaaa qaaiaabgeacaqGsbGaaeiuaiaabsfaaeaacqGH9aqpaeaacaqGWaGa aeilaiaabAdacaaMi8UaamOramaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaa aakmaabmqabaGaaeimaiaabYcacaqG1aaacaGLOaGaayzkaaaabaWa aecaaeaacaqGbbGaaeOuaiaabcfacaqGubaacaGLcmaaaeaacqGH9a qpaeaacaqGWaGaaeilaiaabAdaceWGrbGbaKaadaWgaaWcbaGaaeim aiaabYcacaqG1aaabeaakiabg2da9iaabcdacaqGSaGaaeOnaiqad2 gagaqcaiaac6caaaaaaa@537A@

Il s’agit d’une mesure absolue qui dépend de l’échelle. La linéarisée de l’ARPT est proportionnelle à celle de la médiane :

z ^ k ARPT = I ( ARPT ) k = 0,6 I ( MED ) k = 0,6 f ( m ^ ) 1 N ^ [ 1 [ y k m ^ ] 0,5 ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaeyqaiaabkfacaqGqbGaaeivaaaa kiabg2da9iaadMeadaqadeqaaiaabgeacaqGsbGaaeiuaiaabsfaai aawIcacaGLPaaadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpcaqGWaGa aeilaiaabAdacaWGjbWaaeWabeaacaqGnbGaaeyraiaabseaaiaawI cacaGLPaaadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaGccqGH9aqpcqGHsisldaWc aaqaaiaabcdacaqGSaGaaeOnaaqaaiaadAgadaqadeqaaiqad2gaga qcaaGaayjkaiaawMcaaaaadaWcaaqaaiaaigdaaeaaceWGobGbaKaa aaWaamWabeaacaWHXaWaaSbaaSqaamaadmqabaGaamyEamaaBaaame aacaWGRbaabeaaliabgsMiJkqad2gagaqcaaGaay5waiaaw2faaaqa baGccqGHsislcaqGWaGaaeilaiaabwdaaiaawUfacaGLDbaacaaIUa aaaa@65EF@

2.5  Le taux de risque de pauvreté (ARPR)

Le taux de risque de pauvreté (At Risk of Poverty Rate), ARPR [ 0 , 1 ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabgeaca qGsbGaaeiuaiaabkfacqGHiiIZdaWadaqaaiaaicdacaGGSaGaaGym aaGaay5waiaaw2faaiaacYcaaaa@4289@  correspond à la proportion de la population au-dessous du seuil de risque de pauvreté, ARPR = F ( ARPT ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabgeaca qGsbGaaeiuaiaabkfacqGH9aqpcaWGgbWaaeWabeaacaqGbbGaaeOu aiaabcfacaqGubaacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@438D@  Il est indépendant de l’échelle tout comme l’indice de Gini, le QSR et le RMPG (voir section 2.7). La définition officielle d’Eurostat (2004a) de son estimation à partir de l’échantillon est

ARPR ^ = y k < ARPT ^ w k N ^ . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaHaaaba GaaeyqaiaabkfacaqGqbGaaeOuaaGaayPadaGaeyypa0ZaaSaaaeaa daaeqaqaaiaadEhadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaaabaGaamyEamaaBa aabaGaam4AaaqabaGaaeipamaaHaaabaGaaeyqaiaabkfacaqGqbGa aeivaaGaayPadaaabeqdcqGHris5aaGcbaGabmOtayaajaaaaiaai6 caaaa@4A7D@

La linéarisée de l’ARPR est donnée par Osier (2009) :

z ^ k ARPR = 1 N ^ ( 1 [ y k ARPT ^ ] ARPR ^ ) f ( ARPT ^ ) f ( m ^ ) 0,6 N ^ ( 1 [ y k m ^ ] 0,5 ) = 1 N ^ ( 1 [ y k ARPT ^ ] ARPR ^ ) + f ( ARPT ^ ) z ^ k ARPT . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabiWaaa qaaiqadQhagaqcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaeyqaiaabkfacaqG qbGaaeOuaaaaaOqaaiabg2da9aqaamaalaaabaGaaGymaaqaaiqad6 eagaqcaaaadaqadeqaaiaahgdadaWgaaWcbaWaamWaaeaacaWG5bWa aSbaaeaacaWGRbaabeaacqGHKjYOdaqiaaqaaiaabgeacaqGsbGaae iuaiaabsfaaiaawkWaaaGaay5waiaaw2faaaqabaGccqGHsisldaqi aaqaaiaabgeacaqGsbGaaeiuaiaabkfaaiaawkWaaaGaayjkaiaawM caaiabgkHiTmaalaaabaGaamOzamaabmqabaWaaecaaeaacaqGbbGa aeOuaiaabcfacaqGubaacaGLcmaaaiaawIcacaGLPaaaaeaacaWGMb WaaeWabeaaceWGTbGbaKaaaiaawIcacaGLPaaaaaWaaSaaaeaacaqG WaGaaeilaiaabAdaaeaaceWGobGbaKaaaaWaaeWaaeaacaWHXaWaaS baaSqaamaadmqabaGaamyEamaaBaaabaGaam4AaaqabaGaeyizImQa bmyBayaajaaacaGLBbGaayzxaaaabeaakiabgkHiTiaabcdacaqGSa GaaeynaaGaayjkaiaawMcaaaqaaaqaaiabg2da9aqaamaalaaabaGa aGymaaqaaiqad6eagaqcaaaadaqadeqaaiaahgdadaWgaaWcbaWaam WabeaacaWG5bWaaSbaaeaacaWGRbaabeaacqGHKjYOdaqiaaqaaiaa bgeacaqGsbGaaeiuaiaabsfaaiaawkWaaaGaay5waiaaw2faaaqaba GccqGHsisldaqiaaqaaiaabgeacaqGsbGaaeiuaiaabkfaaiaawkWa aaGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaadAgadaqadeqaamaaHaaabaGaae yqaiaabkfacaqGqbGaaeivaaGaayPadaaacaGLOaGaayzkaaGabmOE ayaajaWaa0baaSqaaiaadUgaaeaacaqGbbGaaeOuaiaabcfacaqGub aaaOGaaGOlaaaaaaa@8AF2@

Ici, la fonction de densité des revenus doit être estimée en deux points : en la médiane et en l’ARPT.

2.6  La médiane des pauvres

Il s’agit du revenu médian des personnes en-dessous du seuil de risque de pauvreté : m p = F 1 ( 1 / 2 F ( ARPT ) ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2gada WgaaWcbaGaamiCaaqabaGccqGH9aqpcaWGgbWaaWbaaSqabeaacqGH sislcaaIXaaaaOWaaeWabeaadaWcgaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaai aadAeadaqadeqaaiaabgeacaqGsbGaaeiuaiaabsfaaiaawIcacaGL PaaaaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@482B@  On l’estime selon la même procédure que tout autre quantile dont la définition exacte peut varier. La linéarisée de m p MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2gada WgaaWcbaGaamiCaaqabaaaaa@3B10@  (Osier 2009) dépend de celle de l’ARPR :

z ^ k m p = 1 f ( m ^ p ) z ^ k ARPR 2 1 N ^ ( 1 [ y k m ^ p ] F ( m ^ p ) ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaamyBamaaBaaabaGaamiCaaqabaaa aOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamOzamaabmqabaGabmyBay aajaWaaSbaaSqaaiaadchaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaaaamaalaaa baGabmOEayaajaWaa0baaSqaaiaadUgaaeaacaqGbbGaaeOuaiaabc facaqGsbaaaaGcbaGaaGOmaaaacqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaa ceWGobGbaKaaaaWaaeWabeaacaWHXaWaaSbaaSqaamaadmqabaGaam yEamaaBaaabaGaam4AaaqabaGaeyizImQabmyBayaajaWaaSbaaeaa caWGWbaabeaaaiaawUfacaGLDbaaaeqaaOGaeyOeI0IaamOramaabm qabaGabmyBayaajaWaaSbaaSqaaiaadchaaeqaaaGccaGLOaGaayzk aaaacaGLOaGaayzkaaGaaGOlaaaa@5CFB@

L’estimation de la densité des revenus intervient donc trois fois : en la médiane et en l’ARPT dans z ^ k ARPR MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaeyqaiaabkfacaqGqbGaaeOuaaaa aaa@3E6A@  et en la médiane des pauvres m p . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2gada WgaaWcbaGaamiCaaqabaGccaGGUaaaaa@3BCC@

2.7 Le Relative Median Poverty Gap (RMPG)

Il s’agit de la différence relative entre le seuil de risque de pauvreté et la médiane des pauvres. On définit RMPG = 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeOuaiaab2 eacaqGqbGaae4raiaaysW7cqGH9aqpcaaMe8UaaGimaaaa@3E10@  si tous les « pauvres » gagnent un montant égal au seuil et RMPG = 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabkfaca qGnbGaaeiuaiaabEeacqGH9aqpcaaIXaaaaa@3DFF@  si les pauvres ne gagnent rien du tout. C’est une mesure de « combien pauvre sont les pauvres » :

RMPG = ARPT m p ARPT . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabkfaca qGnbGaaeiuaiaabEeacqGH9aqpdaWcaaqaaiaabgeacaqGsbGaaeiu aiaabsfacqGHsislcaWGTbWaaSbaaSqaaiaadchaaeqaaaGcbaGaae yqaiaabkfacaqGqbGaaeivaaaacaaIUaaaaa@479C@

Son estimation à partir de l’échantillon est donc déjà décrite. L’influence de chaque observation sur le RMPG est donnée par Osier (2009) :

z ^ k RMPG = m ^ p z ^ k ARPT ARPT ^ z ^ k m p ARPT ^ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaeOuaiaab2eacaqGqbGaae4raaaa kiabg2da9maalaaabaGabmyBayaajaWaaSbaaSqaaiaadchaaeqaaO GabmOEayaajaWaa0baaSqaaiaadUgaaeaacaqGbbGaaeOuaiaabcfa caqGubaaaOGaeyOeI0YaaecaaeaacaqGbbGaaeOuaiaabcfacaqGub aacaGLcmaacaaMc8UabmOEayaajaWaa0baaSqaaiaadUgaaeaacaWG TbWaaSbaaeaacaWGWbaabeaaaaaakeaadaqiaaqaaiaabgeacaqGsb GaaeiuaiaabsfaaiaawkWaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccaaI Uaaaaa@579B@

L’estimation de la densité de la distribution des revenus intervient à quatre reprises : une fois dans le calcul de z ^ k ARPT MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaaeyqaiaabkfacaqGqbGaaeivaaaa aaa@3E6C@  et trois fois dans celui de z ^ k m p . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9LqFf0x e9q8qqvqFr0dXdbrVc=b0P0xb9peuD0xXdbvk9qq=xd9qqaq=Jf9sr 0=vr0=vrWZqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadQhaga qcamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaamyBamaaBaaabaGaamiCaaqabaaa aOGaaiOlaaaa@3DED@

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