2 Modèles à deux niveaux : travaux antérieurs

J.N.K. Rao, F. Verret et M.A. Hidiroglou

Précédent | Suivant

Les modèles multiniveaux (ou modèles hiérarchiques) sont d'usage très répandu, notamment dans les domaines des sciences sociales, de l'éducation et de la santé, pour analyser les données d'enquête possédant une structure hiérarchique. Ici, nous nous concentrons sur les modèles à deux niveaux associés à l'échantillonnage à deux degrés de grappes (niveau 2) : un échantillon, $s,$ d'unités de niveau 2, $i,$ est sélectionné selon un plan spécifié, puis un échantillon, $s(i),$ d'éléments (ou unités de niveau 1), $j,$ est sélectionné dans chacune des unités de niveau 2 échantillonnées $i$ conformément à un autre plan spécifié. Nous supposons, en nous inspirant de la littérature sur les modèles multiniveaux pour données d'enquête, que le modèle concorde avec la hiérarchie du plan de sondage, comme dans l'exemple d'une enquête sur l'éducation réalisée auprès des élèves. Cependant, dans le cas de certaines enquêtes polyvalentes, la structure hiérarchique du plan de sondage pourrait être assez différente de la hiérarchie du modèle. Par exemple, l'Enquête longitudinale nationale auprès des enfants et des jeunes au Canada est réalisée selon un plan de sondage à plusieurs degrés où les degrés correspondent aux régions géographiques, aux ménages dans une région et aux élèves dans un ménage, tandis qu'un modèle multiniveaux de l'éducation peut comprendre comme niveau les élèves, les classes, les écoles et les commissions scolaires (Rao et Roberts 1998). Puisque les grappes du plan de sondage recoupent les grappes du modèle pour ce genre d'enquête, il est difficile d'élaborer une méthode pondérée selon le plan de sondage appropriée d'inférence sur les paramètres du modèle qui permet de tenir compte de l'échantillonnage informatif des grappes et/ou des éléments dans les grappes échantillonnées. Sous échantillonnage informatif, le modèle supposé pour la population n'est pas nécessairement vérifié pour l'échantillon.

Soit $N$ le nombre d'unités de niveau 2 dans la population et $M_i$ , le nombre d'unités de niveau 1 dans l'unité  $i$ de niveau 2. Un modèle de superpopulation à deux niveaux est donné par

$$y_{ij}|x_{ij},v_i{~}_{ind}f\left(y_{ij}|x_{ij},v_i,{\theta }_1\right),v_i{~}_{iid}f\left(v_i|{\theta }_2\right),i=1,\mathrm{...},N;j=1,\mathrm{...},M_i,\left(2.1\right)$$

où $y_{ij}$ et $x_{ij}={\left(x_{ij0},\mathrm{...},x_{ij,p-1}\right)}^T$ sont la réponse et le vecteur de dimension p des valeurs des covariables associés à l'élément  $j$ dans la grappe  $i$ et $x_{ij0}=1$ , $v_i$ désigne un effet aléatoire de niveau 2, et ${\theta }_1$ et ${\theta }_2$ désignent les paramètres associés aux deux degrés du modèle supposé. Ici $f\left(y_{ij}|x_{ij},v_i,{\theta }_1\right)$ et $f\left(v_i|{\theta }_2\right)$ sont les densités de probabilité spécifiées de $y_{ij}$ sachant $x_{ij}$ et $v_i$ , et de $v_i$ , respectivement. Notons, que, dans le modèle (2.1), les réponses $y_{ij}$ d'une unité i donnée sont supposées être conditionnellement indépendantes sachant l'effet aléatoire $v_i$ , mais elles sont corrélées marginalement en raison de l'effet aléatoire $v_i$ commun. La formulation du modèle (2.1) englobe à la fois les modèles à deux niveaux linéaires et les modèles à deux niveaux linéaires généralisés. Sous échantillonnage informatif des grappes et/ou des éléments dans les grappes échantillonnées, les méthodes classiques applicables aux modèles multiniveaux qui ne tiennent pas compte du plan de sondage et supposent que le modèle (2.1) est vérifié pour l'échantillon peuvent produire des estimateurs asymptotiquement biaisés des paramètres du modèle ${\theta }_1$ et ${\theta }_2$ (Pfeffermann et coll., 1998).

Cas particuliers

1) Un simple modèle de la moyenne à erreurs emboîtées souvent utilisé dans les études en simulation portant sur les modèles à deux niveaux est donné par

$$y_{ij}=\mu +v_i+e_{ij},e_{ij}{~}_{iid}N\left(0,{\sigma }_e^2\right),v_i{~}_{iid}N\left(0,{\sigma }_v^2\right),\left(2.2\right)$$

où $i=1,\mathrm{...},N;j=1,\mathrm{...},M_i.$ Le modèle (2.2) peut être écrit sous la forme (2.1) comme

$$y_{ij}|v_i{~}_{ind}N\left(\mu +v_i,{\sigma }_e^2\right),v_i{~}_{iid}N\left(0,{\sigma }_v^2\right),{\theta }_1=\left(\mu ,{\sigma }_e^2\right),{\theta }_2={\sigma }_v^2.$$

Marginalement, $y_{ij}~N\left(\mu ,{\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2\right)$ mais $y_{ij}$ et $y_{ik}$ $(j\ne k)$ sont corrélées : $\text{corr}\left(y_{ij},y_{ik}\right)=\rho ={\sigma }_v^2/\left({\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2\right),j\ne k.$

2) Un modèle linéaire à deux niveaux, souvent utilisé en pratique, est donné par

$$y_{ij}=x_{ij}^T{\beta }_i+e_{ij},i=1,\mathrm{...},N;j=1,\mathrm{...},M_i,\left(2.3\right)$$

où ${\beta }_i=\beta +v_i,v_i{~}_{iid}{N}_p\left(0,{\Sigma }_v\right),i=1,\mathrm{...},N$ et $e_{ij}{~}_{iid}N\left(0,{\sigma }_e^2\right)$ . Ce modèle peut également être exprimé sous la forme (2.1) comme

$$y_{ij}|x_{ij},v_i{~}_{ind}N\left(x_{ij}^T\beta +x_{ij}^T{v}_i,{\sigma }_e^2\right),v_i{~}_{iid}{N}_p\left(0,{\Sigma }_v\right)\left(2.4\right)$$

où ${\theta }_1={\left({\beta }^T,{\sigma }_e^2\right)}^T$ et ${\theta }_2$ est le vecteur des $p\left(p+1\right)/2$ éléments distincts de ${\Sigma }_v$ . Marginalement, $y_{ij}~N\left(x_{ij}^T\beta ,x_{ij}^T{\Sigma }_v{x}_{ij}+{\sigma }_e^2\right)$ , mais $y_{ij}$ et $y_{ik}$ $(j\ne k)$ sont corrélées en raison de l'effet aléatoire commun $v_i$ . Cependant, dans le cas d'un modèle linéaire généralisé à deux niveaux, la loi marginale de $y_{ij}$ ne donne généralement pas une expression analytique : par exemple, dans le cas d'un modèle linéaire logistique à deux niveaux pour réponses binaires.

2.2 Estimation ponctuelle

La log-vraisemblance de « recensement » ou de population sous le modèle à deux niveaux supposé (2.1) est donnée par

$$\log L(\theta )={\displaystyle \sum _{i=1}^N\log L_i}(\theta )\equiv {\displaystyle \sum _{i=1}^N{l}_i}(\theta )=l(\theta ),\left(2.5\right)$$

où $\theta$ est le vecteur comprenant les éléments ${\theta }_1$ et ${\theta }_2\text{},$ et

$$L_i(\theta )={\displaystyle \int \exp \left[{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}\log f\left(y_{ij}|x_{ij},v_i,{\theta }_1\right)}\right]f\left(v_i|{\theta }_2\right)d{v}_i}\left(2.6\right)$$

voir Asparouhov (2006) et Rabe-Hesketh et Skrondal (2006). La fonction de score de recensement $U(\theta )=\partial l(\theta )/\partial \theta$ satisfait $E_m\{U(\theta )\}=0,$ où $E_m$ désigne l'espérance sous le modèle. Le paramètre de recensement ${\theta }_N$ est défini comme la solution unique de $U(\theta )=0$ et ${\theta }_N$ est convergent sous le modèle pour $\theta$ , où ${\theta }_N$ est le vecteur des éléments ${\theta }_{1N}$ et ${\theta }_{2N}\text{}.$

Soit l'échantillon constitué de $n$ grappes avec $m_i$ éléments provenant de la grappe échantillonnée  $i$ . Soit ${\pi }_i$ et ${\pi }_{j|i}$ les probabilités d'inclusion de niveau 2 et de niveau 1, respectivement, associées à la grappe  $i$ et à l'élément  $j$ dans la grappe  $i$ . Alors, les pondérations de niveau 2 et de niveau 1 sont données par $w_i={\pi }_i^{-1}$ et $w_{j|i}={\pi }_{j|i}^{-1}$ , respectivement. Asparouhov (2006) et Rabe-Hesketh et Skrondal (2006) ont proposé une pseudo log-vraisemblance d'échantillon pondérée obtenue en remplaçant ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^{M_i}(.)}$ dans (2.6) par ${\displaystyle {\sum }_{j\in s_i}{w}_{j|i}}(.)$ et ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^N(.)}$ dans (2.5) par ${\displaystyle {\sum }_{i\in s}{w}_i}(.)$ , où s désigne l'échantillon de grappes et $s(i)$ désigne l'échantillon d'éléments dans les grappes $i\in s$ . Elle est donnée par

$${\tilde{l}}_w(\theta )={\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\tilde{l}}_{wi}(\theta )}\left(2.7\right)$$

où ${\tilde{l}}_{wi}(\theta )=\log {\tilde{L}}_{wi}(\theta )$ et

$${\tilde{L}}_{wi}(\theta )={\displaystyle \int \exp \left[{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}\log f(y_{ij}|x_{ij},v_i,{\theta }_1)}\right]f(v_i|{\theta }_2)d{v}_i}.\left(2.8\right)$$

En maximisant la pseudo log-vraisemblance ${\tilde{l}}_w(\theta )$ donnée par (2.7), nous obtenons un estimateur du pseudo maximum de vraisemblance (PMV) ${\tilde{\theta }}_w$ . Les calculs sont exposés en détail dans Asparouhov (2006) et dans Rabe-Hesketh et Skrondal (2006). Dans le cas particulier des modèles linéaires à deux niveaux, Pfeffermann et coll. (1998) ont utilisé une méthode par les moindres carrés généralisés itérative proposée par Goldstein (1986). Notons que nous avons besoin des pondérations de niveau 1 et de niveau 2 pour calculer ${\tilde{\theta }}_w$ , contrairement au cas des modèles marginaux qui nécessitent seulement les pondérations non conditionnelles des éléments $w_{ij}=w_i{w}_{j|i}$ .

La convergence sous le plan de sondage de l'estimateur PMV ${\tilde{\theta }}_{2w}$ du paramètre de recensement ${\theta }_{2N}$ ou la convergence sous le plan et sous le modèle de ${\tilde{\theta }}_{2w}$ en tant qu'estimateur du paramètre du modèle ${\theta }_2$ requiert que le nombre de grappes échantillonnées, $n$ , ainsi que la taille d'échantillon dans les grappes, $m_i$ , tendent vers l'infini, même dans le cas linéaire. En outre, le biais relatif des estimateurs sera important si les tailles d'échantillon $m_i$ sont petites. Pour remédier à ce problème, plusieurs méthodes de rajustement des pondérations ont été proposées dans la littérature. En particulier, un facteur de mise à l'échelle $k_{1i}$ est appliqué aux pondérations de niveau 1 $w_{j|i}$ dans (2.8) avant de maximiser la pseudo log-vraisemblance (2.7). Nous ne considérons ici que deux méthodes de rajustement des pondérations, désignées A et A1 (Asparouhov 2006). La méthode A utilise

$$k_{1i}=m_i/{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}}\left(2.9\right)$$

Dans la méthode A1, $k_{1i}$ est le même que dans la méthode A, mais les pondérations de niveau 2 $w_i$ sont également rajustées au moyen du facteur $k_{2i}=1/k_{1i}$ pour compenser le rajustement des pondérations de niveau 1. Asparouhov (2006) a mentionné l'utilisation d'un algorithme EM accéléré pour calculer l'estimateur PMV ${\tilde{\theta }}_w$ avec Mplus 3 : www.statmodel.com : Muthén et Muthén, 1998-2005.

2.3 Estimation de la variance

En ce qui concerne l'estimation de la variance, Asparouhov (2006) a proposé un estimateur de variance « sandwich » par linéarisation de Taylor de ${\tilde{\theta }}_w$ , qui est donné par

$$v_L\left({\tilde{\theta }}_w\right)={\left({\widetilde{l^{″}}}_w\right)}^{-1}\left[{\displaystyle \sum _{i\in s}{\left(k_{2i}{w}_i\right)}^2{\widetilde{l^{\prime }}}_{wi}{\left({\widetilde{l^{\prime }}}_{wi}\right)}^T}\right]{\left({\widetilde{l^{″}}}_w\right)}^{-1},\left(2.10\right)$$

où ${\widetilde{l^{\prime }}}_w$ et ${\widetilde{l^{″}}}_w$ désignent, respectivement, le vecteur des dérivées premières et la matrice des dérivées secondes de ${\tilde{l}}_w(\theta )$ évaluées à $\theta ={\tilde{\theta }}_w$ , et ${\widetilde{l^{\prime }}}_{wi}^{}$ est la dérivée première de ${\tilde{l}}_{wi}^{}(\theta )$ évaluée à $\theta ={\tilde{\theta }}_w.$ Si la fraction d'échantillonnage de niveau 2 est faible, alors $v_L\left({\tilde{\theta }}_w\right)$ suit bien la variance de ${\tilde{\theta }}_w$ , mais non l'EQM de ${\tilde{\theta }}_w$ si le biais relatif de ${\tilde{\theta }}_w$ est grand.

Kovacevic et coll. (2006) ont étudié les estimateurs bootstrap de la variance de ${\tilde{\theta }}_w$ . Ils ont considéré deux options. L'option 1 consiste à utiliser les poids bootstrap de niveau 2 $w_i(b)$ basés sur la méthode de Rao, Wu et Yue (1992) et à ne pas modifier les poids de niveau 1, c.-à-d. $w_{j|i}(b)=w_{j|i}$ , où $b=1,\mathrm{...},B$ désigne les $B$ échantillons bootstrap. L'option 2 consiste à appliquer la méthode du bootstrap de Rao, Wu et Yue (1992) au niveau 1 ainsi qu'au niveau 2, et à rajuster les poids bootstrap de niveau 1. En remplaçant les poids $w_i$ et $w_{j|i}$ par $w_i(b)$ et $w_{j|i}(b)$ dans (2.7) et (2.8), on obtient les estimateurs bootstrap PMV ${\tilde{\theta }}_w(b),b=1,\mathrm{...},B$ et l'estimateur bootstrap de la variance est donné par

$$v_{Boot}\left({\tilde{\theta }}_w\right)=\frac{1}{B}{\displaystyle \sum _{b=1}^B\left[{\tilde{\theta }}_w(b)-{\tilde{\theta }}_w\right]{\left[{\tilde{\theta }}_w(b)-{\tilde{\theta }}_w\right]}^T}.\left(2.11\right)$$

Une étude en simulation de (2.11), fondée sur le simple modèle de la moyenne (2.2), a montré que l'option 1 peut donner lieu à une sous-estimation de la variance de ${\tilde{\sigma }}_{ew}^2.$ L'option 2 a donné de meilleurs résultats que l'option 1. Grilli et Pratesi (2004) ont étudié une autre méthode bootstrap pour l'estimation de la variance.

Précédent | Suivant