3 Équations d'estimation pondérées par les poids de sondage

J.N.K. Rao, F. Verret et M.A. Hidiroglou

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Aux sections 3 et 4, nous étudions les méthodes d'établissement des équations d'estimation pondérées par les poids de sondage pour les paramètres des modèles multiniveaux qui conduisent à des estimateurs convergents sous le plan et sous le modèle, même lorsque les tailles d'échantillon dans les grappes sont petites. Les méthodes proposées dépendent uniquement des probabilités d'inclusion d'ordre un ${\pi }_i$ et ${\pi }_{j|i}$ , et des probabilités d'inclusion conjointe ${\pi }_{jk|i}$ dans les grappes. À la section 3, nous présentons une approche simple, fondée sur les moments, des équations d'estimation pondérées, qui est applicable aux modèles de régression linéaires à erreurs emboîtées. À la section 4, nous proposons une méthode unifiée, fondée sur les log-vraisemblances composites pondérées. Cette méthode permet de traiter les modèles multiniveaux linéaires ainsi que linéaires généralisés, contrairement à la méthode fondée sur les moments, et elle aboutit à des estimateurs convergents sous le plan et sous le modèle. Elle ne dépend, elle aussi, que de ${\pi }_i$ , ${\pi }_{j|i}$ et ${\pi }_{jk|i}$ .

3.1 Estimation ponctuelle

Nous commençons par illustrer l'approche des équations d'estimation pondérées, en utilisant le simple modèle de la moyenne (2.2). Ici, nous voulons estimer $\theta ={\left(\mu ,{\sigma }_v^2,{\sigma }_e^2\right)}^T$ en partant d'un plan d'échantillonnage en grappes à deux degrés qui concorde avec la hiérarchie du modèle. Nous avons choisi pour cela les trois fonctions d'estimation (FE) suivantes :

$$u_1\left(y_{ij},\theta \right)=y_{ij}-\mu ,\left(3.1\right)$$

$$u_2\left(y_{ij},\theta \right)={\left(y_{ij}-\mu \right)}^2-\left({\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2\right)\left(3.2\right)$$

$$u_3\left(y_{ij},y_{ik},\theta \right)={\left[\left(y_{ij}-\mu \right)-\left(y_{ik}-\mu \right)\right]}^2-2{\sigma }_e^2=z_{ijk}{}^2-2{\sigma }_e^2,j\ne k,\left(3.3\right)$$

où $z_{ijk}=y_{ij}-y_{ik}$ . Les équations d'estimation de recensement correspondantes sont données par

$$U_1(\theta )={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{u}_1\left(y_{ij},\theta \right)}}=0,U_2(\theta )={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{u}_2\left(y_{ij},\theta \right)}}=0\left(3.4\right)$$

$$U_3(\theta )={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j<k=1}^{M_i}{u}_3\left(y_{ij},y_{ik},\theta \right)}}=0.\left(3.5\right)$$

Le paramètre de recensement résultant, ${\tilde{\theta }}_N$ , est convergent sous le modèle pour $\theta$ parce que les espérances sous le modèle des trois fonctions d'estimation (3.1) à (3.3) sont nulles. Il découle de (3.4) et (3.5) que les équations d'estimation pondérées par les poids de sondage (EEP) sont données par

$${\widehat{U}}_{w1}(\theta )={\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}{u}_1\left(y_{ij},\theta \right)}\equiv {\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\widehat{U}}_{w1i}(\theta )=0\left(3.6\right)$$

$${\widehat{U}}_{w2}(\theta )={\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}{u}_2\left(y_{ij},\theta \right)}\equiv {\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\widehat{U}}_{w2i}(\theta )=0\left(3.7\right)$$

$${\widehat{U}}_{w3}(\theta )={\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}{u}_3\left(y_{ij},y_{ik},\theta \right)}\equiv {\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\widehat{U}}_{w3i}(\theta )=0,\left(3.8\right)$$

où $w_{jk|i}={\pi }_{jk|i}^{-1}$ . L'estimateur EEP, ${\widehat{\theta }}_w$ , est obtenu en résolvant le système d'équations (3.6) à (3.8). Pour le modèle de la moyenne, nous obtenons les solutions explicites des EEP suivantes

$${\widehat{\mu }}_w=\left({\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}{y}_{ij}}}\right)/{\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}\equiv {\overline{y}}_w}}\left(3.9\right)$$

$${\widehat{\sigma }}_{vw}^2={\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}{\left(y_{ij}-{\overline{y}}_w\right)}^2}}/{\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}-{\widehat{\sigma }}_{ew}^2}}\left(3.10\right)$$

$${\widehat{\sigma }}_{ew}^2={\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}{z}_{ijk}^2}}/\left(2{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i}{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}}\right),\left(3.11\right)$$

où $w_{ij}=w_i{w}_{j|i}$ . Soulignons que la méthode des moments susmentionnés ne dépend pas de la loi de probabilité.

Nous notons que ${\widehat{U}}_{wt}(\theta ),t=1,2,3$ sont les fonctions d'estimation d'espérance nulle par rapport au plan de sondage et au modèle, c.-à-d. $E_m{E}_p\left\{{\widehat{U}}_{wt}(\theta )\right\}=0$ . En utilisant ce résultat, nous pouvons montrer que l'estimateur EEP ${\widehat{\theta }}_w={\left({\widehat{\mu }}_w,{\widehat{\sigma }}_{vw}^2,{\widehat{\sigma }}_{ew}^2\right)}^T$ est convergent sous le plan et sous le modèle pour $\theta$ à mesure que le nombre d'unités de niveau 2 dans l'échantillon, $n$ , augmente, même si les tailles d'échantillon dans les grappes, $m_i$ , sont petites. Cette propriété n'est pas nécessairement vérifiée pour les estimateurs présentés à la section 2. La méthode proposée nécessite toutefois les probabilités d'inclusion conjointe dans les grappes ${\pi }_{jk|i}$ . Ces probabilités sont obtenues facilement pour l'échantillonnage aléatoire simple ou stratifié dans les grappes, ou quand la fraction d'échantillonnage dans les grappes est faible. En outre, plusieurs bonnes approximations de ${\pi }_{jk|i}$ lorsque l'échantillonnage dans les grappes est effectué avec probabilités inégales sont disponibles, et ces approximations dépendent uniquement des probabilités d'inclusion marginales ${\pi }_{j|i}$ (Haziza, Mecatti et Rao 2008). L'estimateur EEP ${\widehat{\theta }}_w$ est également convergent sous le plan pour ${\tilde{\theta }}_N$ , en notant que $E_p\left\{{\widehat{U}}_{wt}({\tilde{\theta }}_N)\right\}=0$ , $t=1,2,3$ .

Le choix des fonctions d'estimation (3.1) à (3.3) n'est pas forcément unique. Ainsi, nous pourrions remplacer l'équation précédente $u_2\left(y_{ij},\theta \right)$ par ${\tilde{u}}_2\left(y_{ij},y_{ik},\theta \right)=\left(y_{ij}-\mu \right)\left(y_{ik}-\mu \right)-{\sigma }_v^2$ dans (3.7) et garder (3.6) et (3.8). L'estimateur EEP résultant est également convergent sous le plan et sous le modèle pour $\theta$ à mesure que le nombre d'unités de niveau 2 augmente. L'approche de la vraisemblance composite par paire pondérée décrite à la section 4 offre une méthode unifiée de génération des fonctions d'estimation.

Korn et Graubard (2003) ont utilisé pour le modèle de la moyenne une autre approche qui présente certaines similarités avec l'approche proposée. Sous leur approche, les « paramètres de recensement », $S_e^2$ et $S_v^2$ , sont d'abord obtenus en supposant que le modèle est vérifié pour la population finie. Les estimateurs pondérés par les poids de sondage ${\widehat{S}}_{ew}^2$ et ${\widehat{S}}_{vw}^2$ des paramètres de recensement sont ensuite obtenus en supposant que $M_i$ est connu pour les grappes échantillonnées. L'estimateur ${\widehat{S}}_{ew}^2$ est donné par

$${\widehat{S}}_{ew}^2=\left\{\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i\in s}\left(M_i-1\right)w_i}\left[{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}{\left(y_{ij}-y_{ik}\right)}^2}/{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}}\right]\right\}{\left[{\displaystyle \sum _{i\in s}\left(M_i-1\right)w_i}\right]}^{-1},\left(3.12\right)$$

en supposant que $m_i>1$ pour toutes les grappes échantillonnées. Notons que (3.12) nécessite les probabilités d'inclusion conjointe ${\pi }_{jk|i}$ comme la méthode proposée, mais qu'il induit un biais de ratio intra-grappe lorsque les tailles d'échantillon dans les grappes sont faibles, contrairement à notre méthode. L'expression pour ${\widehat{S}}_{vw}^2$ est plus compliquée et nous invitons le lecteur à consulter Korn et Graubard (2003) pour la formule pertinente.

La méthode EEP peut être étendue facilement au modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées

$$y_{ij}=x_{ij}^T\beta +v_i+e_{ij};e_{ij}{~}_{iid}N\left(0,{\sigma }_e^2\right),v_i{~}_{iid}N\left(0,{\sigma }_v^2\right).\left(3.13\right)$$

Dans ce cas, la fonction d'estimation (3.1) devient

$$u_1\left(y_{ij},\theta \right)=x_{ij}\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right),\left(3.14\right)$$

La fonction d'estimation (3.2) devient

$$u_2\left(y_{ij},\theta \right)={\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)}^2-\left({\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2\right)\left(3.15\right)$$

et la fonction d'estimation (3.3) devient

$$u_3\left(y_{ij},y_{ik},\theta \right)={\left[z_{ijk}-{\left(x_{ij}-x_{ik}\right)}^T\beta \right]}^2-2{\sigma }_e^2,j\ne k,\left(3.16\right)$$

où $\theta$ est le vecteur des éléments $\beta ,{\sigma }_v^2$ et ${\sigma }_e^2$ et $z_{ijk}=y_{ij}-y_{ik}$ . Les solutions explicites de ${\widehat{U}}_{wt}(\theta )=0,t=1,2,3$ correspondant aux équations (3.14) à (3.16) sont obtenues sous la forme

$${\widehat{\beta }}_w={\left({\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}{x}_{ij}{x}_{ij}^T}}\right)}^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}{x}_{ij}{y}_{ij}}}\right),\left(3.17\right)$$

$${\widehat{\sigma }}_{vw}^2={\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}{\left(y_{ij}-x_{ij}^T{\widehat{\beta }}_w\right)}^2}}/{\displaystyle \sum _{i\in s}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{ij}-{\widehat{\sigma }}_{ew}^2}}\left(3.18\right)$$

et

$${\widehat{\sigma }}_{ew}^2={\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}{\left[z_{ijk}-{\left(x_{ij}-x_{ik}\right)}^T{\widehat{\beta }}_w\right]}^2}}/\left(2{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\displaystyle \sum _{j<k\in s(i)}{w}_{jk|i}}}\right).\left(3.19\right)$$

3.2 Estimation de la variance

Un estimateur sandwich par linéarisation de Taylor de la variance de l'estimateur EEP ${\widehat{\theta }}_w$ peut être obtenu de manière analogue à l'estimateur de variance (2.10), à condition que la fraction d'échantillonnage de niveau 2 soit faible. Soit ${\widehat{U}}_w(\theta )$ le vecteur colonne dont les composantes sont ${\widehat{U}}_{w1}(\theta ),$ ${\widehat{U}}_{w2}(\theta )$ et ${\widehat{U}}_{w3}(\theta )$ , et similairement ${\widehat{U}}_{wi}(\theta )$ le vecteur colonne dont les composantes sont ${\widehat{U}}_{w1i}(\theta ),$ ${\widehat{U}}_{w2i}(\theta )$ et ${\widehat{U}}_{w3i}(\theta )$ . Alors, l'estimateur de variance par linéarisation est donné par

$$v_L\left({\widehat{\theta }}_w\right)={\left({{\widehat{U}}^{\prime }}_w\right)}^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{i\in s}{w}_i^2}{\widehat{U}}_{wi}{\widehat{U}}_{wi}^T\right){\left[{\left({{\widehat{U}}^{\prime }}_w\right)}^{-1}\right]}^T,\left(3.20\right)$$

où ${\widehat{U}}_{wi}$ et ${{\widehat{U}}^{\prime }}_w$ désignent ${\widehat{U}}_{wi}(\theta )$ évalué à $\theta ={\widehat{\theta }}_w$ , et la dérivée première ${{\widehat{U}}^{\prime }}_w(\theta )$ évaluée à $\theta ={\widehat{\theta }}_w$ , respectivement. Les propriétés de l'estimateur de variance (3.20) sont étudiées par simulation à la section 5.2.

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