1 Introduction
J.N.K. Rao, F. Verret et M.A. Hidiroglou
Les données recueillies dans le cadre d'enquêtes socioéconomiques, sur la santé et autres à grande échelle sont utilisées abondamment à des fins analytiques, comme l'inférence sur les paramètres de modèles de régression linéaire et de régression logistique linéaire de populations. Ne pas tenir compte des caractéristiques du plan de sondage (comme la stratification, la mise en grappes et les probabilités de sélection inégales) peut donner lieu à des inférences incorrectes sur les paramètres du modèle, à cause du biais de sélection dans l'échantillon causé par l'échantillonnage informatif. Il est tentant d'étendre les modèles en incluant parmi les variables auxiliaires toutes les variables du plan de sondage qui définissent le processus de sélection à divers niveaux, puis d'ignorer le plan de sondage et d'appliquer des méthodes classiques au modèle étendu. Les principales difficultés de cette approche sont les suivantes (Pfeffermann et Sverchkov 2003) : 1) l'analyste pourrait ne pas connaître toutes les variables du plan ou ne pas avoir accès à toutes ces variables; 2) l'utilisation d'un trop grand nombre de variables du plan de sondage peut causer des difficultés d'inférence à partir du modèle étendu; 3) le modèle étendu pourrait ne plus présenter d'intérêt scientifique pour l'analyste. Par ailleurs, l'approche fondée sur le plan de sondage peut fournir des inférences par échantillonnage répété asymptotiquement valides sans modifier le modèle de l'analyste. Une approche unifiée, fondée sur des équations d'estimation pondérées par les poids de sondage conduit à des estimateurs convergents sous le plan des paramètres de « recensement », c'est-à-dire de population finie, qui à leur tour permettent d'estimer les paramètres associés du modèle. En outre, les méthodes de rééchantillonnage, comme le jackknife et le bootstrap pour données d'enquête, peuvent fournir des estimateurs de variance valides et des inférences connexes sur les paramètres de recensement. Les mêmes méthodes pourraient aussi être applicables à l'inférence sur les paramètres du modèle, dans de nombreux cas d'enquêtes à grande échelle. Dans les autres cas, il est nécessaire d'estimer la variance sous le modèle des paramètres de recensement à partir de l'échantillon. L'estimateur de la variance totale est alors donné par la somme de cet estimateur et de l'estimateur de variance par rééchantillonnage. Beaumont et Charest (2010) ont étendu le bootstrap à l'estimation de la variance totale associée aux paramètres du modèle. Le lecteur est invité à consulter Rao et coll. (2010) pour un aperçu des méthodes d'inférence sur les paramètres de régression issus de données d'enquête complexes.
Dans le présent article, nous visons avant tout à faire des inférences fondées sur le plan de sondage sur les paramètres des composantes de la variance et sur les paramètres de régression de modèles multiniveaux en partant de données obtenues au moyen de plans d'échantillonnage à plusieurs degrés qui correspondent aux niveaux du modèle. Par exemple, dans une étude sur l'éducation menée auprès des élèves, les écoles (unités d'échantillonnage de premier degré) pourraient être sélectionnées avec probabilité proportionnelle à la taille de l'école et les élèves (unités d'échantillonnage de deuxième degré) pourraient être sélectionnés dans les écoles échantillonnées selon un plan d'échantillonnage aléatoire stratifié. De nouveau, ne pas tenir compte du plan de sondage et utiliser des méthodes classiques pour les modèles multiniveaux peut donner lieu à des inférences incorrectes en cas de biais de sélection dans l'échantillon. Dans l'approche fondée sur le plan de sondage, il est plus difficile d'estimer les paramètres des composantes de la variance du modèle que les paramètres de régression. Les travaux antérieurs sur les modèles multiniveaux pour données d'enquête sont résumés à la section 2. Notre objectif principal est de présenter une approche unifiée d'inférence pour des modèles multiniveaux provenant de données d'enquête, fondée sur une log-vraisemblance composite pondérée (section 4). La méthode proposée produit des inférences asymptotiquement valides sur les paramètres des composantes de la variance, même quand les tailles d'échantillon dans les grappes sont petites, à condition que le nombre de grappes échantillonnées soit grand, contrairement à certaines méthodes existantes résumées à la section 2. Les résultats d'une simulation limitée sont présentés à la section 5.
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