Modèles mixtes linéaires et non linéaires de niveau agrégé pour l'estimation sur petits domaines d'après des dénombrements binaires provenant d'énquêtes - ARCHIVÉ

Nous proposons un modèle linéaire généralisé avec composantes aléatoires additives (GLMARC pour generalized linear model with additive random components) de niveau agrégé applicable aux dénombrements binaires provenant d'enquêtes. Ce modèle comporte une partie linéaire (pour les effets aléatoires) et une partie non linéaire (pour les effets fixes) pour la modélisation de la fonction de moyenne et appartient donc à la classe des modèles mixtes linéaires et non linéaires (MLNL). Il permet d'adopter une approche de type modèle linéaire mixte (LMM) pour l'estimation sur petits domaines (EPD) semblable dans une certaine mesure à la méthode bien connue de Fay Herriot (1979) et tient donc compte du plan d'échantillonnage. Contrairement à l'approche bayésienne hiérarchique (BH) de You et Rao (2002), la méthode proposée donne lieu à des estimations sur petits domaines et des diagnostics fréquentistes faciles à interpréter, ainsi qu'à un auto étalonnage reposant sur des estimations directes fiables sur grands domaines. La méthodologie habituelle des LMM ne convient pas dans le cas de dénombrements, à cause de l'absence de contraintes d'intervalle pour la fonction de moyenne et de la possibilité d'obtenir des estimations non raisonnables (p. ex. 0 dans le contexte de l'EPD) des composantes de variance, car le modèle ne permet pas que la partie des effets aléatoires de la fonction de moyenne conditionnelle dépende de la moyenne marginale. La méthode proposée est une amélioration de la méthode élaborée antérieurement par Vonesh et Carter (1992) qui s'appuyait aussi sur des modèles mixtes linéaires et non linéaires, mais qui ne tenait pas compte de la relation entre la variance et la moyenne, quoique cela se fasse habituellement par des contraintes d'intervalle pour les effets aléatoires. En outre, les effets du plan de sondage et l'estimation des effets aléatoires n'étaient pas envisagés. En revanche, dans notre application à l'estimation sur petits domaines, il est important d'obtenir des estimations appropriées des effets fixes ainsi qu'aléatoires. Il convient de souligner que, contrairement au modèle linéaire mixte généralisé (GLMM), le modèle GLMARC se caractérise, comme les LMM, par une grande simplicité d'ajustement. Cette dernière est due au remplacement des effets fixes et aléatoires originaux du GLMM par un nouvel ensemble de paramètres du GLMARC dont l'interprétation est assez différente, car l'effet aléatoire n'est plus intégré dans la fonction prédictrice non linéaire. Toutefois, cela n'a aucune conséquence pour estimation sur petits domaines, parce que les paramètres de petit domaine correspondent aux moyennes conditionnelles globales et non aux paramètres individuels du modèle. Nous proposons pour l'estimation des paramètres une méthode s'appuyant sur l'application itérative du meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP pour best linear unbiased predictor) qui permet l'auto étalonnage après un agrandissement approprié du modèle. Le problème des petits domaines pour lesquels la taille d'échantillon est faible, voire nulle, ou des estimations directes nulles est résolu en regroupant les domaines pour l'étape de l'estimation des paramètres uniquement. L'application du modèle à l'Enquête sur la santé dans les collectivités canadiennes de 2000 2001 en vue d'estimer la proportion de fumeurs quotidiens dans les sous populations définies par les régions sociosanitaires provinciales selon le groupe âge sexe est présentée à titre d'illustration.