Commentaires à propos de l’article « Inférence statistique avec des échantillons d’enquête non probabiliste » : La miniaturisation de la corrélation due à un défaut des données : une stratégie polyvalente de traitement des échantillons non probabilistes
Section 3. Une stratégie unificatrice fondée sur la corrélation due à un défaut des données

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Dans la configuration de Wu (2022), pour chaque personne $i,$ nous avons un ensemble de caractéristiques $A_i=\mathrm{<mo>\{</mo>}{y}_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>\}</mo>},$ où $y$ est la caractéristique d’intérêt et $x$ est une variable auxiliaire, ce qui est utile de deux façons. Premièrement, la réduction du biais d’échantillonnage attribuable à l’échantillonnage non probabiliste devient possible quand le mécanisme non probabiliste peut être (entièrement) expliqué par $x.$ Deuxièmement, en tirant parti des relations entre $y_i$ et $x_i,$ nous pouvons améliorer l’efficacité de notre estimation. Comme point de départ, Wu (2022) suppose que nous avons deux sources de données disponibles, que nous désignons au moyen de deux indicateurs d’enregistrement, $R$ et $R^{*}.$ La source principale des données est un échantillon non probabiliste dans lequel nous observons à la fois $y_i$ et $x_i$ lorsque $i\in S\equiv \mathrm{<mo>\{</mo>}i\mathrm{<mo>:</mo>}{R}_i=\mathrm{1<mo>\}</mo>},$ mais l’indicateur d’enregistrement $R_i$ est déterminé par un mécanisme non contrôlé par une probabilité de plan (connue). La deuxième source est (supposée être) un échantillon probabiliste dans lequel nous observons seulement $x_i$ lorsque $i\in S^{*}\equiv \mathrm{<mo>\{</mo>}i\mathrm{<mo>:</mo>}{R}_i^{*}=\mathrm{1<mo>\}</mo>.}$ Ce deuxième échantillon fournit des renseignements pour estimer des renseignements auxiliaires sur la population, qui sont utiles dans l’estimation des quantités de la population de $y,$ par exemple sa moyenne. Par conséquent, cette configuration est étroitement liée à la configuration où $S\cup S^{*}=N;$ voir Tan (2013).

Pour toute fonction $m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ considérons que $z_i=y-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\in N.$ Il est clair que nous pouvons estimer la moyenne de la population ${\overline{y}}_N={\text{E}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ en estimant $\overline{z}={\text{E}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et $\overline{m}={\text{E}}_I\left[m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right].$ À partir du deuxième échantillon, $\overline{m}$ peut être estimé sans biais puisqu’il ne concerne que $x.$ Nous pouvons alors nous concentrer sur l’estimation de $\overline{z},$ tout en reconnaissant qu’une méthode plus fondée sur des principes nous amènerait à établir un modèle de probabilité ou un modèle bayésien pour estimer conjointement toutes les quantités inconnues (Pfeffermann, 2017). L’application de l’identité dans l’équation (2.2) où $G=z$ nous indique alors que notre tâche centrale consiste à choisir le poids $\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_i\mathrm{,}i\in S\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ou la fonction $m$ pour miniaturiser la cdd, ${\rho }_{\tilde{R},z}.$ Dans la présente étude, il est plus facile de tout expliquer au moyen de la covariance

$$c_{\tilde{R},z}\equiv {\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{,}{z}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}={\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{W}_I{R}_I\mathrm{,}{y}_I-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{W}_i{R}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_i-\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}(3.1)$$

au lieu de la corrélation ${\rho }_{\tilde{R},z}$ parce que ${\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{,}{z}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est une fonction bilinéaire dans $R_I$ et $z_I.$ Toutefois, sur le plan théorique et à des fins de modélisation, ${\rho }_{\tilde{R},z}$ est plus attrayante en raison de sa normalisation; voir les sections 6 et 7.

L’expression dans l’équation (3.1) nous indique immédiatement la façon de la rendre nulle dans les espérances sur le plan opérationnel, et dans quel sens conceptuel. Quelle que soit la probabilité que nous imposions à $R_i$ (à préciser dans les dernières sections), supposons que ${\pi }_i=\mathrm{Pr}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_i=1|A_{}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ que nous assumons dépendra de $A_i$  seulement. Alors, la linéarité de l’opérateur de covariance implique que la covariance moyenne pour ce qui est du caractère aléatoire dans $R_i$ est obtenue par

$$\text{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_{\tilde{R},z}|A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}={\text{Cov}}_I\left(W_I{\pi }_I\mathrm{,}{y}_I-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}(3.2)$$

où $A=\mathrm{<mo>\{</mo>}{A}_i\mathrm{,}i\in N\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ De même, si l’on est prêt à postuler un modèle conjoint pour $\left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},i\in N\right\}$ conditionné sur $X$ sous forme d’indépendance ${\Pi }_{i=1}^{N}P\left(R_i,y_i|x_i\right),$ alors

$$\text{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{c}_{\tilde{R},z}|X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}={\text{Cov}}_I\left(W_I{\pi }_I\mathrm{,}\text{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_I|x_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}(3.3)$$

De façon très intuitive, on peut assurer une covariance ou une corrélation nulle entre deux variables en faisant de l’une des deux une constante. Les deux choix mèneraient alors respectivement à la méthode de quasi-randomisation si l’on fait de $W_I{\pi }_I\propto 1$ et à la méthode de la superpopulation si l’on fait de $\text{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_I|x_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ une constante (par exemple zéro). La double robustesse naît du fait que l’une ou l’autre suffise à rendre la covariance nulle (dans le modèle conjoint), puisque la variable n’a pas d’importance. Cependant, il est évident que ce ne sont pas les seules méthodes permettant d’obtenir une corrélation ou une covariance nulle, ou une double robustesse, comme le soulignent Kang et Schafer (2007) dans leur volonté de démystifier la double robustesse (Robins, Rotnitzky et Zhao, 1994; Robins, 2000; Scharfstein, Rotnitzky et Robins, 1999). La question est aussi abordée dans l’étude de Tan (2007, 2010), qui porte sur plusieurs estimateurs et leur comparaison, y compris ceux qui correspondent seulement à la méthode de quasi-randomisation ou à la méthode de la superpopulation. Certains estimateurs sont doublement robustes.

En effet, parce que la formule (2.2) est une identité pour l’erreur réelle, tout estimateur asymptotiquement sans biais (linéaire) de la moyenne de population doit impliquer que la cdd correspondante est asymptotiquement sans biais pour les valeurs nulles, et vice versa, pour ce qui est du caractère aléatoire dans $R$ ou dans $\mathrm{<mo>\{</mo>}R\mathrm{,}y\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Cependant, il est possible que la cdd soit asymptotiquement sans biais pour les valeurs nulles, sans supposer que le modèle est correctement précisé, comme l’illustre un exemple dans la section 5. (Cette « robustesse plus que double » est différente de la « robustesse multiple » de Han et Wang (2013), qui doit encore supposer la validité d’au moins un des modèles postulés.) Ces deux observations donnent à penser que toute stratégie générale suffisante et nécessaire qui assure des estimateurs asymptotiquement convergents ou sans biais (linéaires) pour la moyenne de la population équivaudrait à miniaturiser la cdd.

À titre d’exemple d’aperçu unifié qui autrement ne serait pas aussi intuitif, l’expression de l’équation (3.2) donne à penser que nous devrions inclure notre estimation de ${\pi }_I$ comme élément du prédicteur dans le modèle de régression $m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ puisque cela peut aider à réduire la corrélation entre $W_I{\pi }_I$ et $z_I=y_I-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ en particulier quand nous utilisons des poids constants $W_I.$ En général, il est difficile de motiver l’utilisation de ${\widehat{\pi }}_I$ comme prédicteur pour $y$ uniquement du point de vue de la régression, surtout quand nous supposons que $y$ et $R$ sont indépendants étant donné $x$ (ce qui est habituellement une condition nécessaire pour continuer, comme nous l’expliquons dans la section suivante). Cependant, l’expression de l’équation (3.2) nous indique que pour estimer la moyenne de $y,$ il n’est pas absolument nécessaire d’ajuster le bon modèle de régression $m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ En fait, il suffit de s’assurer que le « résidu » $z_I$ est autant non corrélé à $W_I{\pi }_I$ quand $I$ varie. Cependant, il est extrêmement important de reconnaître qu’il ne suffit pas d’assurer une corrélation nulle ou faible seulement dans les données observées, car ${\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{W}_I{\pi }_I\mathrm{,}{z}_I|R_I=1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ nous informe peu sur ${\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{W}_I{\pi }_I\mathrm{,}{z}_I|R_I=\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Dans la configuration de Wu (2022), notre capacité à extrapoler de $R_I=1$ à $R_I=0$ dépend de la disponibilité des données auxiliaires (indépendantes) indexées par $R_I^{*}=1,$ ce qui nous permet d’observer certains $x_I$ pour lesquels $R_I=0.$

La littérature montre les avantages présentés par la stratégie consistant à inclure des estimations de la propension comme prédicteur. Par exemple, Little et An (2004) ont inclus le logit de $\widehat{\pi }$ dans leur modèle d’imputation et ils ont constaté que cette inclusion a amélioré la robustesse de la moyenne imputée par rapport à la spécification erronée du modèle d’imputation. Zhang et Little (2009) et Tan, Flannagan et Elliott (2019) ont mis au point cette méthode et ils l’ont améliorée davantage; ils ont utilisé l’expression « robuste au carré » pour souligner la robustesse accrue. Dans un article plus récent portant sur une stratégie similaire pour les échantillons non probabilistes, Liu et coll. (2021) ont montré qu’il était important d’inclure la propension estimée ${\widehat{\pi }}_i$ « comme prédicteur » dans $m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\widehat{\pi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (en utilisant la notation de la présente étude). De plus, dans la littérature sur l’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance ciblée (EMVC) pour les modèles semi-paramétriques de traitement des données non probabilistes (van der Laan et Rubin, 2006; Luque-Fernandez, Schomaker, Rachet et Schnitzer, 2018) (voir aussi Scharfstein et coll., 1999; Tan, 2010), les variables $R_I/{\widehat{\pi }}_I$ et $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-R_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-{\widehat{\pi }}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ sont appelées covariables intelligentes et sont utilisées dans les modèles de régression pour $y_I.$ Les mises en œuvre et les théories de l’EMVC et celles de l’EMVC collaborative liée (van der Laan et Gruber, 2009 et 2010), sont mathématiquement plus impliquées que celles en contexte de population finie, comme nous le verrons plus bas, mais les résultats tirés des équations (3.2) et (3.3) peuvent nous permettre d’avoir des raisonnements intuitifs utiles sur la compréhension de l’essence de ces méthodes.

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