Inférence bayésienne pour les données multinomiales issues de petits domaines et intégrant l’incertitude sur la restriction d’ordre
Section 4. Application aux données de l’indice de masse corporelle

4.1 Indice de masse corporelle

Le rendement de notre méthode est étudié à l’aide de la National Health and Nutrition Examination Survey, NHANES III. La NHANES III est un plan de probabilité stratifié à plusieurs degrés qui vise à obtenir un échantillon représentatif de l’ensemble de la population américaine non institutionnalisée âgée de 2 mois et plus. L’échantillon a été sélectionné parmi les ménages des États-Unis d’octobre 1988 à septembre 1994. Certaines personnes sont sélectionnées avec des probabilités différentes. Pour des raisons de confidentialité, l’ensemble de données définitif de la présente étude n’est fondé que sur les 35 plus grands comtés (provenant de 14 États) ayant une population d’au moins 500 000 habitants dans des groupes d’âge sélectionnés par sexe (hommes, femmes) et par race (personnes blanches non hispaniques, personnes noires non hispaniques, personnes hispaniques, autres).

Les données initiales d’indice de masse corporelle (IMC) à attributs sensibles sont transformées en données catégorielles selon des critères définis par les Centers for Disease Control, à savoir le poids insuffisant, le poids normal, le surpoids, l’obésité de classe I et l’obésité de classe II. Si l’IMC est inférieur à 18,5, il se situe dans la fourchette des poids insuffisants. Si l’IMC va de 18,5 à moins de 25, il se situe dans le poids normal. Si l’IMC va de 25,0 à moins de 30, il entre dans la catégorie du surpoids. Si l’IMC va de 30,0 à moins de 35, il entre dans la catégorie de l’obésité de classe I. Si l’IMC est égal ou supérieur à 35,0, il entre dans la catégorie de l’obésité de classe II. Notre objectif est d’estimer les proportions des niveaux d’IMC. Le tableau 4.1 donne une illustration des données d’IMC des femmes de quelques comtés, où nous pouvons voir que la probabilité dans les cellules est la plus grande pour la fourchette normale et que les autres probabilités se réduisent grossièrement des deux côtés pour former la restriction d’ordre unimodal. En effet, il y a des transgressions dans certains comtés dans les cellules les plus anciennes et les plus récentes.

Ainsi, pour chaque comté, nous pouvons supposer que les comptes de l’IMC suivent une distribution multinomiale, car il est possible de croire que chaque personne existe indépendamment. La figure 4.1 présente un histogramme de toutes les valeurs d’IMC pour les femmes regroupées en un seul grand échantillon. Nous pouvons voir clairement que la restriction d’ordre unimodal est valable. Comme les données des comtés individuels sont généralement rares, il est difficile de déterminer si la restriction d’ordre unimodal est valable ou non. Cependant, il est raisonnable de supposer que la même restriction unimodale s’applique dans tous les comtés. Par conséquent, nous pouvons utiliser des répartitions multinomiales pour modéliser les comptes de l’IMC des femmes.

Tableau 4.1
L’indice de masse corporelle (IMC) des femmes en cinq niveaux
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de L’indice de masse corporelle (IMC) des femmes en cinq niveaux. Les données sont présentées selon ID du comté (titres de rangée) et IMC_lvl1, IMC_lvl2, IMC_lvl3, IMC_lvl4 et IMC_lvl5(figurant comme en-tête de colonne).
ID du comté	IMC_lvl1	IMC_lvl2	IMC_lvl3	IMC_lvl4	IMC_lvl5
1	3	40	37	13	4
2	1	36	38	15	1
3	3	20	49	13	5
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
35	1	41	41	9	0
Total	45	1 201	1 318	496	89

Figure 4.1

Description de la figure 4.1

Figure présentant un histogramme des cinq groupes d’IMC pour les femmes regroupées en un seul grand échantillon. Il y a 45 femmes dans le groupe d’IMC 1, 1 201 femmes dans le groupe d’IMC 2, 1 318 femmes dans le groupe d’IMC 3, 496 femmes dans le groupe d’IMC 4 et 89 femmes dans le groupe d’IMC 5.

4.2 Adaptation de $M_{1},$ $M_{2},$ $M_{3}$ et $M_{4}$

4.2.1 Convergence de la méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov

Pour chaque modèle, nous exécutons 20 000 itérations de la méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC); nous en prenons 10 000 en guise de « rodage » et nous utilisons chaque $10^{e}$ pour obtenir 1 000 échantillons a posteriori convergents afin de maintenir la cohérence. Le tableau 4.2 indique les tailles d’échantillon effectives des paramètres $μ,$ $τ$ pour le modèle comportant la restriction d’ordre et le modèle général. La taille réelle des échantillons est de presque 1 000. Le tableau 4.3 fournit les valeurs p du test de Geweke pour vérifier la convergence des paramètres (Geweke, 1991). Toutes les valeurs p sont suffisamment grandes pour ne pas rejeter l’hypothèse nulle selon laquelle la MCMC est stationnaire. Les échantillons a posteriori peuvent alors être utilisés pour la suite de l’inférence.

Tableau 4.2
Taille réelle des échantillons de $μ$ et $τ$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Taille réelle des échantillons de (équation) et (équation) (équation)(figurant comme en-tête de colonne).
	$μ_{1}$	$μ_{2}$	$μ_{3}$	$μ_{4}$	$μ_{5}$	$τ$
$M_{1}$	1 000	1 123,7	1 000	1 000	895,4	1 000
$M_{2}$ (mode en deuxième position)	1 000	1 000	1 000	1 000	1 150,2	1 000
$M_{3}$ (mode en troisième position)	1 000	887	889	1 000	1 173,9	1 000

Tableau 4.3
Valeurs de p du test de Geweke pour $μ$ et $τ$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Valeurs de p du test de Geweke pour (équation) et (équation) (équation)(figurant comme en-tête de colonne).
	$μ_{1}$	$μ_{2}$	$μ_{3}$	$μ_{4}$	$μ_{5}$	$τ$
$M_{1}$	0,623	0,558	0,899	0,767	0,959	0,514
$M_{2}$ (mode en deuxième position)	0,964	0,705	0,507	0,511	0,837	0,999
$M_{3}$ (mode en troisième position)	0,817	0,559	0,580	0,557	0,812	0,516

4.2.2 Comparaison des modèles

Étant donné les probabilités de mélange approximatives, nous mélangeons les échantillons a posteriori de $M_{2}$ et $M_{3}$ pour constituer des échantillons de $M_{4} .$

Nous fournissons la moyenne a posteriori (MP), l’écart-type a posteriori (ETP) et le coefficient de variation (CV) de $θ$ pour tous les comtés, qui se trouvent à l’annexe A.4.

Pour comparer visuellement les différences entre les modèles, nous présentons les tracés des densités a posteriori concernant les différents comtés dans ces modèles sous forme des figures 4.2, 4.3, 4.4 et 4.5. Nous utilisons des couleurs différentes pour indiquer les cinq niveaux d’IMC et des lignes pointillées pour les moyennes a posteriori. En raison de la différence de capacité d’emprunt de données entre les domaines, nous pouvons constater une différence de planéité des courbes de densité a posteriori dans les modèles. Compte tenu des hypothèses différentes concernant la restriction d’ordre, ces courbes de densité a posteriori sont centrées à des endroits différents et peuvent se chevaucher de manière différente. Nous nous concentrons principalement sur les courbes de densité de l’IMC normal et de l’IMC en surpoids, puisque la position modale pourrait être la deuxième ou la troisième.

La figure 4.2 présente les graphiques de densité a posteriori pour le comté 2 en appliquant différents modèles. Le nombre d’observations ayant un niveau d’IMC normal, qui est de 36, est proche du nombre d’observations ayant un niveau d’IMC en surpoids, qui est de 38. La restriction d’ordre unimodal peut ne pas être valable dans le comté 2. C’est peut-être pour cette raison qu’il existe un chevauchement important entre le niveau de poids normal et le niveau de surpoids dans le premier graphique après avoir appliqué $M_{1}$ à nos données d’IMC. Les deuxième et troisième graphiques présentent beaucoup moins de chevauchement dans les courbes de densité, en raison de la forte hypothèse sur la restriction d’ordre. Le dernier graphique, la courbe de densité de $M_{4},$ est comparable aux courbes de densité de $M_{3} .$ Sur la base des observations faites dans le comté 2, la restriction d’ordre selon laquelle la position modale est la troisième peut être raisonnable. Les courbes de densité dans $M_{3}$ et $M_{4}$ peuvent convenir au comté 2.

La figure 4.3 présente les graphiques de densité a posteriori pour le comté 3 en appliquant différents modèles. Contrairement au comté 2, les courbes de densité de $θ$ du modèle $M_{1}$ dans le comté 3 montrent une très forte unimodalité, car nous avons 49 personnes dans le niveau d’IMC en surpoids qui domine dans ce comté. Le deuxième graphique de $M_{2},$ qui suppose que le mode est au niveau de poids normal de l’IMC, présente un important chevauchement. Son hypothèse sur la restriction d’ordre, selon laquelle la position modale est la deuxième, peut ne pas être valable dans ce comté. Le troisième graphique de $M_{3},$ qui suppose que le mode se situe au niveau de l’IMC en surpoids, est comparable à la courbe de densité de $M_{1} .$ La moyenne a posteriori de la probabilité d’un niveau de poids normal de l’IMC est plus élevée que dans $M_{1} .$ Ce phénomène peut être considéré comme une preuve que $M_{3}$ a une plus forte capacité d’emprunt que $M_{1} .$ Globalement, la position modale parmi les 35 comtés pourrait être la troisième. $M_{3}$ peut emprunter plus de données entre ces comtés que les autres modèles. Ensuite, le dernier graphique, la courbe de densité de $M_{4},$ présente un léger chevauchement. Cependant, le modèle unimodal est toujours présent dans $M_{4} .$

La figure 4.4 présente les graphiques de densité a posteriori pour le comté 13 en appliquant différents modèles. Seule l’adresse $M_{2},$ en partant du principe que le mode est à un niveau de poids normal de l’IMC, ne montre pas de chevauchement important. Étant donné que davantage de personnes sont en surpoids, cette hypothèse peut être validée dans le comté 13.

La figure 4.5 présente les diagrammes de densité a posteriori pour le comté 35, lequel compte presque le même nombre de personnes ayant un IMC normal et en surpoids. $M_{2}$ et $M_{3}$ qui présentent des hypothèses unimodales différentes ont des conclusions opposées sur les probabilités de poids normal et de surpoids. Dans ce comté, $M_{1}$ et $M_{4}$ peuvent constituer de meilleurs modèles.

Figure 4.2

Description de la figure 4.2

Figure présentant les graphiques de densité a posteriori de θ pour le comté 2 montrant différentes restrictions d’ordre selon différents modèles. Le premier graphique représente le modèle sans restriction d’ordre, noté M1. Le deuxième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec poids normal, noté M2. Le troisième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec surpoids, noté M3. Le quatrième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre incertaines, noté M4. Dans chacun des graphiques, nous retrouvons les 5 niveaux d’IMC, soit Poids insuffisant, Poids normal, Surpoids, Obésité de classe I et Obésité de classe II. Les lignes verticales pointillées représentent les moyennes a posteriori.

Figure 4.3

Description de la figure 4.3

Figure présentant les graphiques de densité a posteriori de θ pour le comté 3 montrant différentes restrictions d’ordre selon différents modèles. Le premier graphique représente le modèle sans restriction d’ordre, noté M1. Le deuxième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec poids normal, noté M2. Le troisième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec surpoids, noté M3. Le quatrième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre incertaines, noté M4. Dans chacun des graphiques, nous retrouvons les 5 niveaux d’IMC, soit Poids insuffisant, Poids normal, Surpoids, Obésité de classe I et Obésité de classe II. Les lignes verticales pointillées représentent les moyennes a posteriori.

Figure 4.4

Description de la figure 4.4

Figure présentant les graphiques de densité a posteriori de θ pour le comté 13 montrant différentes restrictions d’ordre selon différents modèles. Le premier graphique représente le modèle sans restriction d’ordre, noté M1. Le deuxième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec poids normal, noté M2. Le troisième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec surpoids, noté M3. Le quatrième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre incertaines, noté M4. Dans chacun des graphiques, nous retrouvons les 5 niveaux d’IMC, soit Poids insuffisant, Poids normal, Surpoids, Obésité de classe I et Obésitéde classe II. Les lignes verticales pointillées représentent les moyennes a posteriori.

Figure 4.5

Description de la figure 4.5

Figure présentant les graphiques de densité a posteriori de θ pour le comté 35 montrant différentes restrictions d’ordre selon différents modèles. Le premier graphique représente le modèle sans restriction d’ordre, noté M1. Le deuxième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec poids normal, noté M2. Le troisième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre avec surpoids, noté M3. Le quatrième graphique représente le modèle comportant des restrictions d’ordre incertaines, noté M4. Dans chacun des graphiques, nous retrouvons les 5 niveaux d’IMC, soit Poids insuffisant, Poids normal, Surpoids, Obésité de classe I et Obésité de classe II. Les lignes verticales pointillées représentent les moyennes a posteriori.

Dans l’ensemble, le modèle comportant des restrictions d’ordre, $M_{2}$ et $M_{3},$ peut emprunter plus de données entre les domaines que le modèle sans restriction d’ordre, $M_{1} .$ Le modèle comportant des restrictions d’ordre incertaines, $M_{4},$ emprunte moins de données entre les domaines que $M_{2}$ ou $M_{3} .$ Pour cette raison, $M_{2}$ et $M_{3}$ disposent de courbes de densité a posteriori plus nettes que $M_{1},$ $M_{4}$ a des courbes de densité a posteriori légèrement plus plates que $M_{2}$ et $M_{3} .$ Pour la même raison, comme l’indique le tableau 4.4, $M_{1}$ a la plus grande variance totale, qui est la somme de la variance a posteriori des probabilités des cellules de tous les comtés. $M_{2}$ et $M_{3}$ ont la plus petite variance en raison de l’hypothèse d’une forte restriction d’ordre unimodal. La variance de $M_{4}$ se situe entre $M_{1}$ et $M_{3}$ (ou $M_{2})$ puisque $M_{4}$ est un mélange de $M_{2}$ et $M_{3} .$

Tableau 4.4
Variance totale de $θ$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Variance totale de (équation). Les données sont présentées selon (équation) (titres de rangée) et (équation) (mode normal), (équation) (mode surpoids) et (équation)(figurant comme en-tête de colonne).
$M_{1}$	$M_{2}$ (mode normal)	$M_{3}$ (mode surpoids)	$M_{4}$
0,172	0,063	0,069	0,107

Les figures 4.6 et 4.7 sont des tracés en boîte des échantillons a posteriori de $θ .$ Les premiers (poids insuffisant) et les derniers blocs (obésité de classe II) montrent que les différents modèles ne présentent pas de grandes différences dans l’estimation des probabilités des cellules pour le poids insuffisant, du poids normal et de l’obésité de classe I. Dans les diagrammes à surfaces, les segments de ligne courts de $M_{2},$ $M_{3}$ et $M_{4}$ et les segments de ligne longs de $M_{1}$ montrent que les modèles comportant des restrictions d’ordre $(M_{2}, M_{3}, M_{4})$ ont des variances plus petites que le modèle sans restriction d’ordre $(M_{1}) .$ Les modèles comportant une restriction d’ordre peuvent emprunter plus de données que le modèle sans restriction d’ordre. Les différences entre chaque cellule de $M_{1}$ sont plus importantes que celles de $M_{2},$ $M_{3}$ et $M_{4} .$ En d’autres termes, les différences entre les moyennes a posteriori de chaque comté dans $M_{1}$ sont plus grandes que celles des autres modèles. Il s’avère que les modèles comportant des restrictions d’ordre empruntent plus de données entre les domaines que le modèle sans restriction d’ordre.

Dans la figure 4.8, nous disposons de quelques lignes de régression pour montrer la comparaison de l’écart-type a posteriori global entre ces modèles. La ligne pointillée noire est une ligne de référence dont la pente est de 1. Le premier graphique montre une comparaison entre $M_{1}$ et $M_{3}$ (mode surpoids). Toutes les lignes de régression sont au-dessus de la ligne de référence, ce qui signifie que $M_{3}$ (mode surpoids) a un plus petit écart-type. Nous obtenons une plus grande précision dans l’estimation des probabilités de fréquence par cellules parmi les 35 comtés de $M_{3} .$ Le deuxième graphique montre une comparaison entre $M_{2}$ (mode normal) et $M_{3}$ (mode surpoids). Les lignes de régression concernant le surpoids, l’obésité de classe I et l’obésité de classe II se situent autour de la ligne de référence. Seule la ligne de régression concernant le surpoids présente une différence significative. Cela signifie que $M_{3}$ (mode surpoids) est légèrement meilleur que $M_{2}$ (mode normal). En d’autres termes, l’hypothèse selon laquelle la probabilité d’un IMC en surpoids est la plus élevée peut être plus raisonnable. Les deux derniers graphiques de la figure 4.8 représentent une comparaison entre $M_{2}$ (mode normal) et $M_{4},$ $M_{3}$ (mode surpoids) et $M_{4} .$ Le rendement de $M_{4}$ est légèrement inférieur à celui de $M_{3}$ et $M_{2} .$

Dans la figure 4.9, nous utilisons différents symboles pour représenter l’OPC des différents modèles pour l’ensemble des 35 comtés. Selon les données de l’IMC, le comté 4 compte la plus grande population, ce qui montre la plus faible valeur d’OPC parmi les autres. Il est connu que des valeurs OPC faibles sous-entendent de possibles observations aberrantes, à fort effet de levier et influentes. En raison de la fonction d’emprunt des modèles, le comté 3 a une faible OPC qui peut être touchée par le comté 4. Pour la plupart des comtés, le modèle comportant une restriction d’ordre qui suppose que le mode est en position de surpoids peut avoir une OPC importante, comparativement aux autres modèles. En résumé, dans le tableau 4.5, $M_{2}$ (mode surpoids) a la plus grande PVML, ce qui devrait être le « meilleur » modèle pour nos données d’IMC.

Figure 4.6

Description de la figure 4.6

Figure présentant la comparaison par tracés en boîte des échantillons a posteriori de $θ$ des comités 1 à 18 pour les 5 niveaux d’IMC (Poids insuffisant, Poids normal, Surpoids, Obésité de classe I et Obésité de classe II) selon les différents modèles (M1, M2, M3 et M4). Dans les diagrammes à surfaces, les segments de ligne courts de M2, M3 et M4 et les segments de ligne longs de M1 montrent que les modèles comportant des restrictions d’ordre (M2, M3 et M4) ont des variances plus petites que le modèle sans restriction d’ordre (M1).

Figure 4.7

Description de la figure 4.7

Figure présentant la comparaison par tracés en boîte des échantillons a posteriori de $θ$ des comités 19 à 35 pour les 5 niveaux d’IMC (Poids insuffisant, Poids normal, Surpoids, Obésité de classe I et Obésité de classe II) selon les différents modèles (M1, M2, M3 et M4). Dans les diagrammes à surfaces, les segments de ligne courts de M2, M3 et M4 et les segments de ligne longs de M1 montrent que les modèles comportant des restrictions d’ordre (M2, M3 et M4) ont des variances plus petites que le modèle sans restriction d’ordre (M1).

Figure 4.8

Description de la figure 4.8

Figure présentant la comparaison de l’écart-type a posteriori global entre les modèles M1, M2, M3 et M4 pour démontrer l’amélioration. La ligne pointillée noire est une ligne de référence dont la pente est de 1. Le premier graphique montre une comparaison entre M1 et M3. Toutes les lignes de régression sont au-dessus de la ligne de référence, ce qui signifie que M3 a un plus petit écart-type. Nous obtenons une plus grande précision dans l’estimation des probabilités de fréquence par cellules parmi les 35 comtés de M3. Le deuxième graphique montre une comparaison entre M2 et M3. Les lignes de régression concernant le surpoids, l’obésité de classe I et l’obésité de classe II se situent autour de la ligne de référence. Seule la ligne de régression concernant le surpoids présente une différence significative. Cela signifie que M3 est légèrement meilleur que M2. En d’autres termes, l’hypothèse selon laquelle la probabilité d’un IMC en surpoids est la plus élevée peut être plus raisonnable. Les deux derniers graphiques de la figure 4.8 représentent une comparaison entre M2 et M4, et M3 et M4. Le rendement de M4 est légèrement inférieur à celui de M3 et M2.

Figure 4.9

Description de la figure 4.9

Figure présentant l’ordonnée prédictive conditionnelle (OPC) pour les 35 comtés selon les modèles M1, M2, M3 et M4. Différents symboles sont utilisés pour représenter l’OPC des différents modèles pour l’ensemble des 35 comtés. Une OPC plus faible sous-entend des observations aberrantes, à fort effet de levier et influentes.

Tableau 4.5
Pseudo-probabilité marginale logarithmique (PVML), comparaison des quatre modèles fondés sur la PVML
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Pseudo-probabilité marginale logarithmique (PVML). Les données sont présentées selon (équation) (titres de rangée) et (équation) (mode normal), (équation) (mode surpoids) et (équation)(figurant comme en-tête de colonne).
$M_{1}$	$M_{2}$ (mode normal)	$M_{3}$ (mode surpoids)	$M_{4}$
-326,76	-331,88	-318,26	-329,58

ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2022-06-21

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