Les médias sociaux comme source de données pour les statistiques officielles; l’Indice de confiance des consommateurs des Pays-Bas
Section 4. Résultats

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4.1  Modèle univarié de la série de l’ICC

L’analyse univariée est fondée sur le modèle (3.8) décrit à la section 3.1 et appliqué à la série de l’ICC obtenue de décembre 2000 à mars 2015. Le tableau 4.1 donne les estimations du MV pour les hyperparamètres du modèle.

La moyenne des erreurs-types des estimations directes pour l’ICC est égale à 1,21. Il découle du tableau 4.1 que l’écart-type des termes de perturbation de l’équation de mesure est égale à 2,46. Cela illustre le fait que le bruit blanc de la population est plus grand que la variance des termes de perturbation de la mesure, tel qu’il est indiqué par le choix de la structure de variance pour (3.4) à la section 3.1.

Dans le graphique supérieur de la figure 4.1, la tendance lissée plus les valeurs aberrantes sont comparées aux estimations directes pour l’ICC. Dans le graphique inférieur de la figure 4.1, le signal lissé, défini comme étant la tendance plus les valeurs aberrantes plus la composante saisonnière, est comparé aux estimations directes pour l’ICC. Dans la série contenant la tendance lissée et les valeurs aberrantes, l’effet saisonnier, le bruit blanc du paramètre de population et l’erreur d’échantillonnage sont supprimés de la série originale. Il découle de la figure 4.1 que le modèle de séries chronologiques permet d’obtenir une estimation plus stable de l’ICC. La série de la tendance filtrée plus les valeurs aberrantes est comparée aux estimations lissées à la figure 4.2. Cette série filtrée est une approximation de ce que l’on obtiendrait dans la production des statistiques officielles si aucune révision n’était publiée. Il s’ensuit que, même dans ce cas, il est possible d’éliminer une part considérable de la variation à haute fréquence et des fluctuations saisonnières. Les deux figures montrent que le filtre de Kalman fournit des imputations lissées, mais aussi filtrées, plausibles pour l’observation manquante en octobre 2013.

La figure 4.3 donne la courbe saisonnière lissée de la série de l’ICC. Puisque les effets saisonniers sont presque invariants dans le temps, les effets sont présentés pour les 12 mois d’une année seulement. Il existe clairement des effets négatifs significatifs en octobre, novembre et décembre, et des effets positifs en janvier et en août. L’objectif de l’ICC est de mesurer la confiance à long terme des enquêtés, puisque toutes les questions font référence à leur situation financière et économique au cours des 12 derniers mois ou à leurs attentes pour les 12 mois à venir. Cependant, le patron saisonnier clair et significatif indique que les réponses des enquêtés sont manifestement dictées par des émotions à beaucoup plus court terme, qui sont, entre autres, sujettes à des fluctuations saisonnières.

À la figure 4.4, l’erreur-type des estimations directes pour l’ICC est comparée aux erreurs-types de la série de la tendance filtrée et lissée plus les valeurs aberrantes. Les pics de la courbe de l’erreur-type des estimations filtrées et lissées sont le résultat des variables de valeurs aberrantes et de l’observation manquante en 2013. Si une variable de valeur aberrante est activée à un certain point dans le temps, il faut estimer un nouveau coefficient de régression. Cela produit une incertitude supplémentaire dans les estimations du modèle, ce qui se manifeste par un pic soudain de l’erreur-type de la tendance filtrée et lissée. En 2013, une observation est manquante, ce qui donne aussi lieu à une incertitude supplémentaire, puisque le modèle espace-état produit une prédiction pour la valeur manquante.

Les erreurs-types des estimations lissées sont un peu plus grandes que celles des estimations directes. Les erreurs-types des estimations filtrées sont considérablement plus grandes que celles des estimations directes. Ce résultat est remarquable. Les estimations filtrées et lissées fournies par le modèle de séries chronologiques s’appuient sur un beaucoup plus grand ensemble de données puisque les données d’échantillon des périodes précédentes (dans le cas des estimations filtrées) ou la série de données complète (dans le cas des estimations lissées) sont utilisées pour obtenir une estimation optimale pour l’ICC mensuel. Par contre, les estimations directes sont fondées sur l’échantillon observé durant le mois en question seulement. La plupart des applications dans lesquelles les modèles de séries chronologiques structurels sont utilisés comme une forme d’estimation sur petits domaines donnent lieu à d’importantes réductions de l’erreur-type comparativement aux estimations directes; voir, par exemple, van den Brakel et Krieg (2009, 2015) et Bollineni-Balabay, van den Brakel et Palm (2015, 2017).

La raison pour laquelle, dans la présente application, une approche de modélisation de séries chronologiques produit des erreurs-types pour les estimations filtrées et lissées issues du modèle de séries chronologiques plus grandes que les erreurs-types des estimations directes tient à une grande composante de bruit blanc dans la valeur de population réelle de l’ICC. Rappelons, comme il est mentionné à la section 3.1, que le terme de perturbation de (3.8) contient deux composantes, à savoir l’erreur d’échantillonnage et la variation de haute fréquence inexpliquée de la valeur de population réelle, exprimées par (3.4). Rappelons du tableau 4.1 que ${\sigma }_{\upsilon }^{}$ est égale à 2,46 et est deux fois plus grande que la valeur moyenne des erreurs-types des estimations directes. Il s’agit d’un fort indice que la variance de la composante de bruit blanc dans la variable de population réelle est du même ordre que celle de l’erreur d’échantillonnage. L’estimateur direct de l’ICC obtenu à la section 2 traite l’ICC pour chaque mois particulier comme une variable fixe, mais inconnue. La variance de l’estimateur direct mesure uniquement l’incertitude, puisqu’un petit échantillon est observé au lieu de la population complète pour estimer l’ICC. Elle ne mesure pas la variation de haute fréquence de la valeur de population au cours du temps. Cela explique pourquoi l’approche de modélisation de séries chronologiques n’aboutit pas à une réduction de l’erreur-type de l’ICC estimé.

Même si le gain de précision des estimations de niveau obtenues au moyen du modèle de séries chronologiques est limité, les estimations de la tendance sont plus stables, comme l’illustrent les figures 4.1 et 4.2. Un modèle de séries chronologiques demeurera donc utile pour isoler une tendance à long terme plus stable de la variation de haute fréquence dans le paramètre de population et de l’erreur d’échantillonnage. Comme les variables d’état de la composante tendance des périodes subséquentes présenteront une forte corrélation positive, on peut s’attendre à ce que l’approche de modélisation de séries chronologiques offre davantage de gain si l’on se concentre sur les mouvements mois-à-mois; consulter, par exemple, Harvey et Chung (2000). Les estimations filtrées du mouvement mois-à-mois de l’ICC sont définies comme étant

$${\text{Δ}}_{t|t}=L_{t|t}-L_{t-1|t}+{\beta }_{t|t}^{08}{\delta }_t^{08}-{\beta }_{t-1|t}^{08}{\delta }_{t-1}^{08}+{\beta }_{t|t}^{11}{\delta }_t^{11}-{\beta }_{t-1|t}^{11}{\delta }_{t-1}^{11},(4.1)$$

où la notation ${\text{Θ}}_{t|t^{\prime }}$ désigne l’estimation de la variable d’état $\text{Θ}$ pour la période $t$ sachant les données observées jusqu’à la période $t^{\prime }.$ La valeur aberrante ponctuelle en 2007(9) est, évidemment, supprimée du signal. Qui plus est, les coefficients de régression sont invariants dans le temps. Par conséquent, ${\beta }_{t|t}^x={\beta }_{t-1|t}^x$ pour $x=$  08 et 11. Puisque $t=$  2008(9) et $t=$  2011(9) sont les mois où ${\delta }_t^{08}$ et ${\delta }_t^{11}$ changent de valeur, l’expression (4.1) peut être simplifiée en

$${\text{Δ}}_{t|t}=L_{t|t}-L_{t-1|t}+{\beta }_{t|t}^{08}{\tilde{\delta }}_t^{08}+{\beta }_{t|t}^{11}{\tilde{\delta }}_t^{11},(4.2)$$

avec ${\tilde{\delta }}_t^{08}=1$ si $t=$  2008(9) et ${\tilde{\delta }}_t^{08}=0$ pour toutes les autres périodes et ${\tilde{\delta }}_t^{11}=1$ si $t=$  2011(9) et ${\tilde{\delta }}_t^{11}=0$ pour toutes les autres périodes. Les estimations lissées pour le mouvement mois-à-mois de l’ICC sont définies comme étant

$${\text{Δ}}_{t|T}=L_{t|T}-L_{t-1|T}+{\beta }_{t|T}^{08}{\tilde{\delta }}_t^{08}+{\beta }_{t|T}^{11}{\tilde{\delta }}_t^{11}.(4.3)$$

Pour comparer les mouvements mois-à-mois fondés sur (4.2) et (4.3) aux estimations directes, les effets saisonniers lissés en (3.8) sont soustraits des estimations directes. Les erreurs-types des estimations directes ne sont pas corrigées pour cet ajustement.

La figure 4.5 compare les estimations directes du mouvement mois-à-mois aux estimations lissées (graphique supérieur) et aux estimations filtrées (graphique du milieu) obtenues au moyen du modèle de séries chronologiques. Le graphique inférieur compare les erreurs-types des estimations lissées, filtrées et directes. Les estimations filtrées, et en particulier les estimations lissées du mouvement mois-à-mois, ont un patron plus stable que les estimations directes, ce que reflètent également les erreurs-types. Les fortes corrélations positives des états de la composante tendance entre périodes subséquentes produisent des erreurs-types pour les estimations filtrées et lissées du mouvement mois-à-mois qui sont clairement plus petites que pour l’estimateur direct. Font exception les deux périodes où un changement de niveau est nécessaire. L’introduction d’un changement de niveau accroît le niveau d’incertitude pendant une courte période.

La réduction de l’erreur-type est mesurée par l’écart moyen relatif des erreurs-types (EMRET) et, pour les estimations filtrées, est définie comme étant $\text{EMRET}=100/\left(T-t^{\prime }\right)*{\displaystyle {\sum }_{t=t^{\prime }}^T\left[\text{et}\left({\widehat{\Delta }}_t\right)-\text{et}\left({\text{Δ}}_{t|t}\right)\right]}/\text{et}\left({\widehat{\Delta }}_t\right),$ avec $\text{et}\left({\widehat{\Delta }}_t \right)$ l’erreur-type pour l’estimation directe du mouvement mois-à-mois. Pour les estimations lissées, EMRET s’obtient en remplaçant $\text{et}\left({\text{Δ}}_{t|t}\right)$ par $\text{et}\left({\text{Δ}}_{t|T}\right).$ Durant la période observée à partir de 2003(1), l’EMRET pour les estimations lissées égale 47 % et pour les estimations filtrées, 17 %.

4.2  Modèle bivarié pour les séries de l’ICC et de l’IMS

À la présente section, nous appliquons le modèle bivarié (3.9) proposé à la section 3.2 aux séries de l’ICC et de l’IMS, qui sont disponibles pour la période allant de juin 2010 à mars 2015. Notons que les composantes de série chronologique pour l’ICC sont réestimées en utilisant la série plus courte. Le tableau 4.2 donne les estimations du maximum de vraisemblance des hyperparamètres. Le modèle décèle une forte corrélation positive de l’ordre de 0,92 entre les perturbations de pente de l’ICC et de l’IMS. Cependant, rien n’indique que les deux tendances sont cointégrées et partagent une tendance commune. Un test du rapport de vraisemblance est appliqué pour déterminer le degré de signification de la corrélation entre les perturbations de pente dans le modèle bivarié. Quand le paramètre de corrélation est fixé à zéro, la log-vraisemblance diminue, passant de -229,9 à -233,9. La valeur $p$ du test du rapport de vraisemblance correspondant égale 0,0047, ce qui indique que la corrélation entre les tendances des deux séries diffère de manière nettement significative de zéro et ne doit pas être supprimée du modèle bivarié. Quand le paramètre de corrélation est fixé à un (en choisissant $d_2$ dans (3.10) égal à zéro), la log-vraisemblance passe de -229,9 à -242,1. La valeur $p$ du test du rapport de vraisemblance correspondant avec un degré de liberté égale zéro, ce qui indique que les tendances ne sont pas cointégrées.

À la figure 4.6, nous comparons les estimations lissées de la pente de l’ICC (axe des x) et de l’IMS (axe des y) sous le modèle sans corrélation, le modèle avec une estimation du MV pour la corrélation $\left({\rho }_{\eta }=\text{0,92}\right)$ et le modèle à tendance commune avec ${\rho }_{\eta }=\text{1,0}.$ Le modèle avec pentes non corrélées révèle une corrélation nettement positive entre les pentes si les deux séries sont estimées indépendamment (graphique de gauche de la figure 4.6). Cette corrélation apparaît dans le modèle qui tient compte de la corrélation (graphique du milieu de la figure 4.6). Cependant, il existe manifestement un écart entre les pentes des deux séries, ce que l’on peut constater en comparant le graphique du modèle avec une corrélation estimée par le MV (graphique du milieu de la figure 4.6) au graphique du modèle avec un facteur commun (graphique de droite de la figure 4.6).

La figure 4.7 donne une comparaison de la série observée de l’IMS avec la tendance lissée obtenue sous le modèle bivarié. La figure 4.8 donne une comparaison des estimations directes de la série de l’ICC avec la tendance lissée plus la valeur aberrante sous le modèle univarié et le modèle bivarié. Comme le montre la figure 4.8, le niveau et l’évolution des estimations lissées de la série de l’ICC sont presque identiques sous les modèles univarié et bivarié.

À la figure 4.9, nous comparons les erreurs-types des estimations directes de la série de l’ICC avec la tendance lissée plus la valeur aberrante sous le modèle univarié et le modèle bivarié. Pour que la comparaison soit juste, les résultats pour le modèle univarié et le modèle bivarié sont fondés sur des séries de même longueur. Pour cela, le modèle univarié est réestimé en se basant sur la série allant de juin 2010 à mars 2015. La figure 4.9 révèle que l’erreur-type sous le modèle bivarié est légèrement plus petite que l’erreur-type sous le modèle univarié si les deux modèles sont appliqués à des séries de longueur égale, comme prévu étant donné la forte corrélation positive significative entre les termes de perturbation des tendances des deux séries. En revanche, si le modèle univarié est appliqué à la série disponible à partir de décembre 2000, les erreurs-types pour les estimations lissées sous le modèle univarié sont légèrement plus faibles que sous le modèle bivarié comme le montre la figure 4.10.

Pour résumer, il apparaît que le modèle bivarié décèle une forte corrélation entre les séries de l’ICC et de l’IMS. L’utilisation de la série de l’IMS comme série auxiliaire améliore légèrement la précision des estimations fondées sur un modèle pour l’ICC. Puisque la série de l’ICC est neuf années plus longue que celle de l’IMS, dans le modèle univarié, la plus grande précision obtenue avec la série auxiliaire est compensée par l’information supplémentaire disponible avant 2010 dans la série de l’ICC.

Le graphique supérieur de la figure 4.11 compare les estimations directes du mouvement mois-à-mois aux estimations lissées obtenues au moyen des modèles univarié et bivarié de séries chronologiques (tous deux fondés sur la série observée à partir de juin 2010). Le graphique inférieur donne une comparaison des erreurs-types de ces estimations. Durant la période observée à partir de 2011(1), l’EMRET pour les estimations lissées sous le modèle univarié vaut 39 % et sous le modèle bivarié, 43 %. L’EMRET pour les estimations filtrées sous le modèle univarié vaut 7 % et sous le modèle bivarié, 14 %. Comme dans le cas du modèle univarié, l’approche de modélisation de séries chronologiques produit des estimations plus stables et plus précises du mouvement mois-à-mois. L’utilisation de la série de l’IMS améliore légèrement la précision des mouvements mois-à-mois comparativement au modèle univarié.

Une fois que l’estimation directe de l’ICC pour le mois $t$ devient disponible, la valeur ajoutée de la série de l’IMS est limitée à améliorer l’estimation de la série chronologique pour l’ICC pour le mois $t.$ Toutefois, un inconvénient des sondages est que les données sont généralement moins à jour que celles provenant des médias sociaux. La valeur ajoutée de l’IMS devient plus évidente lorsque l’on profite de la plus grande fréquence de cette série pour produire des prédictions précoces ou prédictions immédiates pour l’ICC au moyen du modèle espace-état bivarié. Si une première prédiction immédiate pour l’ICC est nécessaire durant le mois $t$ ou directement à la fin de ce mois, le modèle univarié produit seulement une prévision une étape à l’avance. Par contre, dès que les résultats pour la série de l’IMS sont disponibles durant le mois $t$ ou à la fin du mois $t,$ le modèle bivarié exploite la forte corrélation entre les séries pour faire une prédiction plus précise pour l’ICC, déjà avant que l’estimation directe pour le mois $t$ devienne disponible.

Afin d’illustrer la valeur ajoutée qu’offre l’IMS dans une procédure de prédiction immédiate pour l’ICC, au graphique supérieur de la figure 4.12, nous comparons les prévisions une étape à l’avance pour la tendance plus valeur aberrante de la série de l’ICC obtenue avec le modèle univarié à l’estimation obtenue avec le modèle bivarié si l’IMS pour le mois $t$ est disponible, mais que l’estimation directe de l’ICC manque encore. Les estimations lissées pour la tendance plus valeur aberrante de l’ICC obtenues au moyen du modèle univarié sont incluses comme référence. Dans le graphique inférieur de la figure, nous comparons les erreurs-types de ces trois estimations.

Lorsque les estimations lissées issues du modèle univarié sont prises comme référence, nous utilisons comme mesure de la grandeur de la révision l’écart moyen absolu relatif (EMAR) entre les prédictions immédiates et les estimations lissées, lequel est défini par $\text{EMAR}=100/\left(T-t^{\prime }\right)*{\displaystyle {\sum }_{t=t^{\prime }}^T\left|{\theta }_{t|T}-{\theta }_{t|t-1}\right|}/\left|{\theta }_{t|T}\right|,$ où ${\theta }_t=L_t+{\beta }^{11}{\delta }_t^{11}$ désigne la tendance plus valeurs aberrantes de la série de l’ICC. En se basant sur les mois observés à partir de $t=$  2013(1), l’EMAR pour les prédictions immédiates obtenues au moyen du modèle univarié égale 35 % et au moyen du modèle bivarié, 31 %. Cela montre que les révisions sont un peu plus petites, et donc plus stables si l’on utilise les prédictions immédiates pour l’ICC obtenues au moyen du modèle bivarié. La différence de précision entre les prédictions immédiates obtenues avec le modèle univarié et le modèle bivarié est mesurée par l’EMRET qui est défini ici comme étant $\text{EMRET}=100/\left(T-t^{\prime }\right)*{\displaystyle {\sum }_{t=t^{\prime }}^T\left[\text{et}\left({\theta }_{t|t-1}^{\text{uni}}\right)-\text{et}\left({\theta }_{t|t-1}^{\text{biv}}\right)\right]}/\text{et}\left({\theta }_{t|t-1}^{\text{biv}}\right).$ En se basant sur les mois observés à partir de $t=$  2013(1), la différence de précision entre les deux prédictions immédiates selon cet EMRET est égale à 17 %. La figure 4.12, ainsi que l’EMAR et l’EMRET illustrent que l’IMS améliore la stabilité et la précision des prédictions immédiates pour l’ICC.

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