Commentaires à propos de l’article « Inférence statistique avec des échantillons d’enquête non probabiliste » : La miniaturisation de la corrélation due à un défaut des données : une stratégie polyvalente de traitement des échantillons non probabilistes
Section 2. Une identité déterministe de population finie pour l’erreur réelle

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Pour démontrer la richesse du cadre de population finie, considérons l’estimation de la moyenne de la population, indiquée par $\overline{G},$ de $\mathrm{<mo>\{</mo>}{G}_i=G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}i\in N\mathrm{<mo>\}</mo>},$ où $N=\mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo>\}</mo>}$ indexe une population finie, et les $X_i$ sont des données recueillies sur une personne $i.$ Pour chaque $i,$ supposons que $R_i=1$ si $G_i$ (ou plutôt $X_i)$ est enregistré dans notre échantillon, et que $R_i=0$ sinon. La taille de l’échantillon est alors $n_R={\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{R}_i.$ Nous insistons sur le fait qu’il s’agit d’un indicateur global, qui peut (et devrait) être décomposé en $R_i=r_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}},\dots ,r_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}},$ quand la collecte des données consiste en $J$ étapes (par exemple $r_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ indique si la $i^{\text{e}}$ personne a été échantillonnée et $r_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}},$ si la personne a répondu ou non une fois qu’elle a été échantillonnée).

Supposons que $\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_i\mathrm{,}i\in S\mathrm{<mo>\}</mo>}$ est un ensemble de poids à déterminer où l’indice est paramétré à $S=\mathrm{<mo>\{</mo>}i\mathrm{<mo>:</mo>}{R}_i=\mathrm{1<mo>\}</mo>},$ de sorte que ${\displaystyle {\sum }_{i\in S}}{W}_i>0.$ Supposons que ${\overline{G}}_W$ est la moyenne pondérée de l’échantillon, qu’on peut exprimer de trois façons :

$${\overline{G}}_W=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in S}{W}_i{G}_i}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in S}{W}_i}}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^N{R}_i{W}_i{G}_i}}{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^N{R}_i{W}_i}}=\frac{{\text{E}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I{G}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\text{E}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}(2.1)$$

où ${\tilde{R}}_I=R_I{W}_I,$ et ${\text{E}}_I$ est prise par rapport à la distribution uniforme de l’indice paramétré $N.$ La première expression dans l’équation (2.1) définit simplement une moyenne pondérée de l’échantillon. À l’aide de $R_i,$ la deuxième expression permet de transformer les moyennes de l’échantillon en moyennes de population finie. Cette nouvelle expression banale est fondamentale parce qu’elle explique le rôle de $R_i$ dans l’influence sur le comportement de ${\overline{G}}_W$ en tant qu’estimateur de $\overline{G}.$ La troisième expression révèle une probabilité divine au moyen de $I,$ la variable de l’indice de population finie (IPF), grâce au fait que le calcul de la moyenne revient à prendre en compte l’espérance d’un indice aléatoire uniformément distribué $I.$ Tous les moments de population finie peuvent alors être exprimés au moyen de ${\text{E}}_I.$

En particulier, nous pouvons exprimer l’erreur réelle de ${\overline{G}}_W$ par l’identité suivante, dont la première expression remonte à Hartley et Ross (1954), qui l’ont utilisée pour exprimer les biais dans des estimateurs par le ratio. La deuxième expression a été donnée dans Meng (2018), mais elle comportait une expression légèrement différente (mais équivalente) :

$${\overline{G}}_W-\overline{G}=\frac{{\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{,}{G}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\text{E}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}={\rho }_{\tilde{R},G}\times \sqrt{\frac{N-n_W}{n_W}}\times {\sigma }_G\mathrm{.}(2.2)$$

Dans cette équation, ${\rho }_{\tilde{R},G}={\text{Corr}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{,}{G}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est la corrélation de population finie entre ${\tilde{R}}_I$ et $G_I,$ ${\sigma }_G^2$ est la variance de la population finie de $G_I$ et $n_W$ est la taille d’échantillon efficace en raison de l’utilisation des poids (Kish, 1965),

$$n_W=\frac{n_R}{1+{\text{CV}}_W^2}\mathrm{,}(2.3)$$

où ${\text{CV}}_W$ est le coefficient de variation (c’est-à-dire l’écart-type ou la moyenne) de $\mathrm{<mo>\{</mo>}{W}_i\mathrm{,}i\in S\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

L’expression de l’équation (2.2) est une identité algébrique parce qu’elle se vérifie pour toute instance de $\left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}_i\mathrm{,}{R}_i{W}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\in N\right\}.$ Ainsi, aucune hypothèse de modèle n’est imposée, pas même l’hypothèse que $R$ (ou toute quantité) est aléatoire, ce qui rappelle le commentaire de Mary Thompson cité dans l’étude de Wu (2022), selon lequel « le fait que l’indicateur d’inclusion dans l’échantillon $R$ est une variable aléatoire est en soi une hypothèse ». La seule exigence est que la valeur de $G_i$ enregistrée soit identique à celle de $G_i$ dans la population cible. (Il faut mentionner toutefois que cette exigence comporte deux éléments : 1) il n’y a pas de surdénombrement, c’est-à-dire que chaque personne dans l’échantillon appartient à la population cible, par exemple aucun électeur non admissible n’est sondé quand la population cible est celle des électeurs admissibles; 2) il n’y a pas d’erreur de mesure. Il peut y avoir des extensions de cas comportant des erreurs de mesure, mais elles ne sont pas examinées dans la présente étude.) Quand nous utilisons des poids égaux, les trois facteurs du membre de droite de l’équation (2.2) représentent, respectivement (de gauche à droite), le défaut des données, l’insuffisance des données et la difficulté du problème, comme l’explique Meng (2018) et comme l’illustrent en détail Bradley, Kuriwaki, Isakov, Sejdinovic, Meng et Flaxman (2021) dans le contexte des enquêtes sur la vaccination contre la COVID-19.

En particulier, quand tous les poids sont égaux, ${\rho }_{\tilde{R},G}$ est appelée corrélation due à un défaut des données (cdd) dans Meng (2018) parce qu’elle permet de mesurer le manque de représentativité de l’échantillon en saisissant la dépendance de l’indicateur d’inclusion ou d’enregistrement aux caractéristiques : plus la dépendance est élevée, plus la moyenne de l’échantillon est biaisée quand il faut estimer les moyennes de population. Quand l’on utilise les stratégies de base de l’échantillonnage probabiliste ou de la pondération de probabilité inverse, la cdd est nulle en moyenne parce que $\text{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{W}_i{R}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=1,$ et elle est de l’ordre $O_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}^{-1/2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ parce qu’il s’agit essentiellement d’une moyenne de $N$ termes indépendants (Meng, 2018). Notre objectif général est donc de ramener la cdd à $O_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}^{-1/2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour les échantillons non probabilistes, ce que nous appellerons « miniaturiser la cdd » parce que $N^{-1/2}$ est généralement un nombre minuscule dans la pratique.

Quand nous utilisons des poids, le premier terme ${\rho }_{\tilde{R},G}$ saisit le défaut des données qui existe toujours après l’ajustement de la pondération, puisqu’aucun poids n’est parfait en pratique. L’identité dans l’équation (2.2) montre l’incidence des poids sur la qualité et la quantité des données. L’incidence sur la taille d’échantillon efficace nominale $n_W$ n’est jamais positive, car $n_W\le n_R$ comme on peut le voir dans l’équation (2.3). Par ailleurs, l’exactitude de l’équation (2.3) révèle qu’en fait, cette expression bien connue n’est pas une approximation (ce qui est souvent attribué à Kish, 1965), mais une formule exacte de réduction de la taille de l’échantillon en raison de la pondération si la pondération n’a pas d’incidence sur la cdd. Cependant, la pondération peut avoir une incidence positive importante sur la réduction de l’erreur globale quand on choisit judicieusement des poids pour diminuer considérablement la cdd, bien qu’apparemment cela se fasse au prix de $n_W<n_R.$ Bien entendu, c’est exactement ce que vise le cadre de quasi-randomisation dont il est question ci-dessous. Plus important encore, l’équation (2.2) donne un aperçu unifié de la variété des méthodes examinées dans l’étude de Wu (2022), notamment une explication intuitive de la propriété doublement robuste, qui fait l’objet d’une attention accrue aux fins d’intégration des sources de données, concernant à la fois des échantillons probabilistes et non probabilistes (par exemple Yang, Kim et Song, 2020).

En effet, Zhang (2019, section 3.1) a utilisé la première expression dans l’équation (2.2) pour définir une hypothèse de non-informativité asymptotique non paramétrique unifiée, qui exige que le numérateur ${\text{Cov}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{,}{G}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ passe à zéro, tout en gardant le dénominateur ${\text{E}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\tilde{R}}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ positif, quand $N\to \infty .$ Cette unification a permis à Zhang (2019) d’évaluer la méthode de quasi-randomisation et la modélisation par la régression au moyen d’un critère commun. Comme le montre la section 3, le cadre de la cdd fait écho à cette unification. La section 4 met plutôt l’accent sur le message général de Zhang (2019). La section 5 traite d’un autre avantage simple de la formulation de la cdd qui fournit une explication immédiate de la célèbre double robustesse. La section 6 aborde quant à elle le domaine beaucoup plus difficile de l‘élaboration d’un sous-échantillon plus représentatif à partir d’un grand échantillon non représentatif, soit un compromis précieux, puisque la qualité des données est beaucoup plus importante que la quantité (Meng, 2018), comme nous le voyons brièvement ci-dessous.

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