Imputation par régression quantile semi-paramétrique pour une enquête complexe avec application au Conservation Effects Assessment Project
Section 2. Imputation par régression quantile pour les données d’enquête complexes

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Imaginons un cadre conceptuel dans lequel les échantillons sont tirés d’une population finie générée à partir d’un modèle de superpopulation (Fuller, 2009b, chapitre 6). Supposons que $x_i$ et $y_i$ ont une distribution conjointe $f\left(x_i\mathrm{,}{y}_i\right)$ dans la surpopulation. Nous définissons la distribution conditionnelle de $y_i$ compte tenu de $x_i$ par la fonction quantile conditionnelle. Supposons que $q_{\tau }\left(x_i\right)$ indique le ${\tau }^{\text{e}}$ quantile de la distribution conditionnelle de $y_i,$ compte tenu de $x_i,$ dans la superpopulation, où $q_{\tau }\left(x_i\right)$ est défini par

$$P\left(y_i\le q_{\tau }\left(x_i\right)|x_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\tau \mathrm{.}(2.1)$$

Nous précisons un modèle pour les quantiles parce que les modèles de régression quantile peuvent décrire une grande variété de distributions, comme l’illustre la figure 2.1. Le panneau de gauche de la figure 2.1 illustre un modèle de régression quantile linéaire dans lequel chaque fonction quantile conditionnelle est représentée avec une ordonnée à l’origine différente et une pente différente. L’utilisation d’une pente différente permet de décrire des données avec des variances non constantes. Le panneau de droite de la figure 2.1 illustre une généralisation à la régression quantile semi-paramétrique, où le ${\tau }^{\text{e}}$ quantile de la distribution conditionnelle de $y_i$ est représenté comme une fonction continue de $x_i.$ Dans la procédure d’imputation, nous supposons que $q_{\tau }(\cdot )$ est une fonction avec $p+1$ dérivées continues. Nous obtenons la valeur approximative de $q_{\tau }\left(x_i\right)$ avec une fonction B-spline (de Boor, 2001; Chen et Yu, 2016; Yoshida, 2013; Hastie, Tibshirani et Friedman, 2009), comme nous l’expliquons plus en détail à la section 2.2. Pour permettre l’utilisation de la fonction B-spline, nous supposons que $x_i$ a un support compact, mais n’avons pas besoin d’autres hypothèses de distribution pour $x_i.$

Nous prenons en considération l’estimation des paramètres définis en fonction du modèle de superpopulation qui relie $y_i$ à $x_i,$ plutôt que des paramètres de population finie. Le véritable paramètre d’intérêt, ${\theta }_o,$ est un vecteur $d-$ dimensionnel qui permet d’obtenir :

$$E\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}0\mathrm{,}(2.2)$$

où $g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)$ est une fonction $r-$ dimensionnelle à deux dérivées continues, et $r\ge d.$ L’opérateur d’espérance $E[\cdot ]$ indique des espérances par rapport au modèle de superpopulation. Veuillez prendre note que $E\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\right]=E\left[E_{y|x}\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\right]\right],$ où

$$\begin{array}{ll}{E}_{y|x}\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\right]\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }}g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)f_{y|x}\left(y_i|x_i\right)d{y}_i\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^1}g\left(F_{y|x}^{-1}\left(\tau \right)\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\frac{f_{y|x}\left(F_{y|x}^{-1}\left(\tau \right)|x_i\right)}{f_{y|x}\left(F_{y|x}^{-1}\left(\tau \right)|x_i\right)}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^1}g\left(q_{\tau }\left(x_i\right)\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)d\tau \mathrm{,}(2.3)\hfill \end{array}$$

et $F_{y|x}\left(y_i|x_i\right)$ et $f_{y|x}\left(y_i|x_i\right),$ respectivement, dénotent la fonction de distribution cumulative (fdc) et la fonction de densité de probabilité (fdp) de la distribution conditionnelle de $y_i$ compte tenu de $x_i.$ La deuxième égalité dans (2.3) découle de la transformation de l’intégrale de la probabilité et d’un changement de variables de $y_i$ $\tau$ de distribution uniforme avec fdp $f\left(\tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}I\left[\tau \in \left(\mathrm{0,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>1}\right)\right],$ ou $I[\cdot ]$ représente la variable indicatrice qui prend la valeur « 1 » si l’argument est vrai et « 0 » dans le cas contraire. La relation définie par la troisième égalité dans (2.3) joue un rôle important dans la procédure d’imputation. Pour chaque $y_i,$ manquant nous générons $J$ valeurs imputées définies par $\left\{{\widehat{q}}_{{\tau }_1}\left(x_i\right)\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{q}}_{{\tau }_J}\left(x_i\right)\right\},$ où ${\widehat{q}}_{{\tau }_j}\left(x_i\right)$ estime la valeur de $q_{{\tau }_j}\left(x_i\right),$ et ${\tau }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tau }_J$ forme une grille fine sur l’intervalle $\left[\mathrm{0,}1\right].$ Nous estimons ensuite la valeur de $E_{y|x}\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\right]$ en donnant une valeur approximative à l’intégrale dans la dernière expression de (2.3) avec une moyenne des valeurs $J$ imputées.

La procédure d’imputation comporte deux étapes principales. Nous générons d’abord les valeurs imputées, en estimant $q_{\tau }\left(x_i\right)$ à l’aide d’une combinaison linéaire de fonctions de base B-spline. Nous estimons ensuite la valeur de ${\theta }_o$ en utilisant la méthode généralisée des moments (MGM), en remplaçant la valeur $y_i$ manquante par la valeur estimée de $E_{y|x}\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\right]$ en fonction des valeurs estimées et de la relation (2.3). Pour officialiser la procédure, nous avons besoin d’hypothèses précises sur la conception et le mécanisme de réponse, que nous précisons à la section 2.1. La section 2.2 explique l’estimation de la fonction quantile et la section 2.3 décrit la méthode généralisée des moments (MGM). Les logiciels de mise en œuvre des procédures sont disponibles auprès des auteurs.

2.1  Hypothèses sur la conception et le mécanisme de réponse

Supposons que $I_i$ est l’indicateur d’appartenance à l’échantillon, défini par $I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ si l’unité $i$ est sélectionnée. Supposons que ${\pi }_i$ et ${\pi }_{ij}$ représentent les probabilités d’inclusion de premier ordre et de deuxième ordre, respectivement, définies par

$$\left[{\pi }_i\mathrm{,}{\pi }_{ij}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\left[P\left(I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|y_i\mathrm{,}{x}_i\right)\mathrm{,}P\left(I_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}{I}_j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}{y}_j\mathrm{,}{x}_j\right)\right]\mathrm{.}(2.4)$$

La dépendance de ${\pi }_i$ sur $y_i$ dans (2.4) représente une corrélation possible entre $y_i$ et ${\pi }_i$ qui peut rendre le plan d’échantillonnage informatif pour le modèle de régression quantile (2.1). Nous indiquons l’échantillon sélectionné par $A,$ où $A\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{i\mathrm{<mo>:</mo>}{I}_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right\}.$

Nous supposons que $x_i$ est observé pour toutes les $i$ dans $A,$ tandis que $y_i$ peut être manquant. Supposons que ${\delta }_i$ est l’indicateur de réponse, défini par ${\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ si $y_i$ est observé et ${\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ si $y_i$ est manquant. Supposons que ${\delta }_i\sim \text{Bernoulli}\left(p_i\right),$ où la probabilité de réponse $p_i$ est définie ainsi :

$$p_i\mathrm{<mo>=</mo>}P\left({\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}{I}_i\right)\mathrm{.}(2.5)$$

Pour définir une procédure d’imputation approximativement sans biais, nous avons besoin d’une hypothèse sur la relation entre ${\delta }_i$ et $y_i.$ Une approche commune dans l’analyse des données manquantes consiste à présumer que la variable de réponse, $y_i,$ est indépendante de l’indicateur de valeur manquante, ${\delta }_i,$ conditionnellement aux valeurs observées (Little, 1982; Pfeffermann, 2011). Cette hypothèse est une interprétation largement utilisée de la RMH définie dans Rubin (1976), et clarifiée dans Mealli et Rubin (2015). Pour une enquête complexe, la relation entre les probabilités d’inclusion, les probabilités de réponse et $y$ peut être complexe si les indicateurs de réponse et les indicateurs d’inclusion de l’échantillon dépendent d’une variable qui n’est pas incluse dans le modèle d’imputation.

Nous suivons l’approche de Berg et coll. (2016) et examinons deux hypothèses relatives à la relation entre ${\delta }_i$ and $y_i.$ Nous définissons un échantillon manquant au hasard (EMH) comme suit :

$$P\left({\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|x_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{,}{I}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left({\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|x_i\mathrm{,}{I}_i\right)\mathrm{.}(2.6)$$

En revanche, nous définissons une population manquant au hasard (PMH) comme suit :

$$P\left({\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|x_i\mathrm{,}{y}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left({\delta }_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}|x_i\right)\mathrm{.}(2.7)$$

Berg et coll. (2016) discutent de situations où une hypothèse de PMH peut être considérée comme raisonnable, et fournissent des exemples où une hypothèse de PMH tient alors qu’une hypothèse d’EMH ne tient pas. Si les probabilités de réponse et les probabilités d’inclusion de l’échantillon dépendent d’une variable qui n’est pas incluse dans le modèle d’imputation, alors une hypothèse de PMH peut tenir, alors que ce n’est pas le cas pour une hypothèse d’EMH. Un exemple de variable qui peut être exclue du modèle d’imputation est une variable de plan. L’analyste peut omettre une variable de plan du modèle d’imputation si cette variable n’est pas disponible à l’étape de l’imputation ou si le modèle d’imputation est un modèle spécialisé qui établit un lien entre $y_i$ et $x_i.$ Nous élaborons la procédure de l’IRQ pour qu’elle soit suffisamment souple pour tenir compte soit de la PMH, soit de l’EMH. Dans la pratique, l’analyste peut décider laquelle est plus réaliste pour une application particulière. À la section 2.2, nous expliquons précisément comment la nature de l’hypothèse de RMH peut avoir une incidence sur l’utilisation des poids d’échantillonnage dans la procédure d’estimation. Dans la théorie de la section 3, nous nous concentrons sur la situation dans laquelle l’hypothèse (2.7) tient.

2.2  Régression quantile avec fonction B-Splines pénalisées

Nous évaluons approximativement la fonction quantile définissant la relation entre $y_i$ et $x_i$ dans la superpopulation avec une combinaison linéaire de fonctions de base B-splines. Une fonction B-Spline de base d’ordre $p$ couvre l’espace linéaire des polynômes par morceaux de degré $p-1$ à dévirées continues jusqu’à l’ordre $p-2.$ Les B-splines permettent d’améliorer l’efficacité de calcul par rapport à l’utilisation directe de splines polynomiaux (Hastie, Tibshirani et Friedman, 2009).

Pour définir une B-spline, nous empruntons la terminologie de Hastie, Tibshirani, et Friedman (2009) et de Chen et Yu (2016). Supposons que $x_i$ a un support compact sur l’intervalle $\left[M_1\mathrm{,}{M}_2\right].$ Nous définissons les nœuds internes $K_n-1,$ espacés à des emplacements équidistants de l’intervalle $\left[M_1\mathrm{,}{M}_2\right]$ par ${\kappa }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{M}_1+\left[M_2-M_1\right]{\left[K_n\right]}^{-1}i,$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{K}_n-1.$ Nous définissons les nœuds limites $p$ pour $M_1$ par ${\kappa }_k$ pour $k\mathrm{<mo>=</mo>}-p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}0,$ et dénotons les nœuds limites à $M_2$ par ${\kappa }_k$ pour $k\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_n\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{K}_n+p-1.$ Les fonctions B-spline de base du degré $p$ pour la séquence de nœuds ${\kappa }_{-p+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\kappa }_{K_n+p-1}$ sont les éléments du vecteur de dimension $K_n+p,$

$$B\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(B_{-p+1}^{\left[p\right]}\left(x\right)\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{B}_{K_n}^{\left[p\right]}\left(x\right)\right)}^{\prime }\mathrm{,}(2.8)$$

où $B_i^{\left[s\right]}\left(x\right)$ $\left(s\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}p\right)$ est défini de façon récursive par des différences divisées. De façon plus particulière,

$$B_i^{\left[1\right]}\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}I\left[{\kappa }_i\le x\le {\kappa }_{i+1}\right]\mathrm{,}\text{pour}i\mathrm{<mo>=</mo>}-p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{K}_n+p-\mathrm{2,}(2.9)$$

et

$$B_i^{\left[s\right]}\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x-{\kappa }_i}{{\kappa }_{i+s-1}-{\kappa }_i}{B}_i^{\left[s-1\right]}\left(x\right)+\frac{{\kappa }_{i+s}-x}{{\kappa }_{i+s}-{\kappa }_{i+1}}{B}_{i+1}^{\left[s-1\right]}\left(x\right)\mathrm{,}(2.10)$$

pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}-p+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{K}_n+p-1-s$ et $s\mathrm{<mo>=</mo>\; 2,}\dots \mathrm{,}p.$

L’estimateur de la fonction de régression quantile est défini par

$${\widehat{q}}_{\tau }\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}B{\left(x\right)}^{\prime }{\widehat{\beta }}_{\tau }\mathrm{,}(2.11)$$

où l’estimateur ${\widehat{\beta }}_{\tau }$ est obtenu en minimisant la forme quadratique,

$$Q_{\tau }\left(\beta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n{\delta }_i{w}_i{b}_i{\rho }_{\tau }}\left(y_i-B{\left(x_i\right)}^{\prime }\beta \right)+\frac{{\lambda }_n}{2}{\beta }^{\prime }{D}_m^{\prime }{D}_m\beta \mathrm{,}(2.12)$$

où $w_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i^{-1}{\left({\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{\pi }_i^{-1}}\right)}^{-1},$ ${\lambda }_n$ est un paramètre de lissage spécifié, et ${\rho }_{\tau }(\cdot ),$ $b_i,$ et $D_m$ sont définis comme suit. La fonction ${\rho }_{\tau }\left(u\right)$ au premier terme dans (2.12), est la fonction de vérification de Koenker et Bassett (1978) définie par

$${\rho }_{\tau }\left(u\right)\mathrm{<mo>=</mo>}u\left(\tau -I\left[u\mathrm{<mo><</mo>\; 0}\right]\right)\mathrm{.}(2.13)$$

La fonction de vérification de Koenker (2.13) est un critère d’optimisation standard pour la régression quantile parce que $q_{\tau }\left(x\right)$ minimise la fonction $R\left(a\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[{\rho }_{\tau }\left(y-a\right)|x\right]$ pour les $a.$ Le deuxième terme dans (2.12) impose une pénalité de rugosité à la fonction de régression quantile estimée. La matrice $D_m$ est la $m^{\text{e}}$ matrice de la différence avec l’élément $\left(i\mathrm{,}j\right),$ $d_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(-1\right)}^{j-i}C\left(m\mathrm{,}j-i\right)I\left[0\le j-i\le m\right]+\left(1-I\left[0\le j-i\le m\right]\right),$ où $C\left(a\mathrm{,}b\right)$ est la fonction de choix. Lorsque $m\mathrm{<mo>=</mo>\; 2},$ $D_m$ a une interprétation liée à l’intégrale du carré de la deuxième dérivée de la fonction définie par la fonction B-Spline. Comme la deuxième dérivée d’une ligne droite est zéro, l’utilisation de $D_m$ pour $m\mathrm{<mo>=</mo>\; 2}$ réduit la fonction de régression quantile estimée vers une ligne droite. Le choix approprié de $b_i$ au premier terme dans (2.12) dépend des hypothèses formulées au sujet du mécanisme de non-réponse. Si (2.6) tient, on peut établir que $b_i\mathrm{<mo>=</mo>}{w}_i^{-1},$ ce qui mène à l’équation d’estimation non pondérée de Chen et Yu (2016). Si (2.6) n’est pas satisfaite, l’estimateur non pondéré peut mener à un biais, et fixer $b_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ constitue une façon d’obtenir un estimateur approximativement sans biais (Berg et coll., 2016). Nous nous concentrons sur le choix conservateur de $b_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ qui permet d’obtenir des estimateurs cohérents en fonction de (2.7) sans qu’il soit nécessaire de satisfaire à (2.6).

Remarque 1. Par souci de simplicité, nous considérons un $x_i$ univarié avec support dans un intervalle fermé. Chen et Yu (2016) montrent que la procédure s’étend directement à un vecteur $h-$ dimensionnel $x_i,$ dont chaque élément a un support dans un intervalle fermé. Pour étendre la procédure à un vecteur $x_i,$ Chen et Yu (2016) définissent $B\left(x_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(B{\left(x_{1i}\right)}^{\prime }\mathrm{,}B{\left(x_{2i}\right)}^{\prime }\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}B{\left(x_{hi}\right)}^{\prime }\right),$ où $x_{\tilde{h}i}$ est le ${\tilde{h}}^{\text{e}}$ élément de $x_i,$ pour $\tilde{h}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}h.$

2.3  Estimation MGM fondée sur l’imputation par régression quantile

Rappelons-nous que le paramètre d’intérêt de la population est défini par l’équation d’estimation dans (2.2). Nous définissons un estimateur d’échantillon complet de ${\theta }_o$ par

$${\widehat{\theta }}_A\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{argmin}}_{\theta }{G}_{n\text{}\mathrm{,}A}{\left(\theta \right)}^{\prime }{G}_{n\text{}\mathrm{,}A}\left(\theta \right)\mathrm{,}(2.14)$$

où

$$G_{n\text{}\mathrm{,}A}\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n{w}_{i}g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)}\mathrm{,}(2.15)$$

$w_i$ est défini selon (2.12), et $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ indexe les éléments dans $A.$ L’estimateur défini dans (2.15) est un estimateur MGM, selon lequel chaque élément de $G_{n\text{}\mathrm{,}A}$ définit un écart entre un moment d’échantillonnage et le paramètre de population correspondant. Par exemple, si ${\theta }_o\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[y_i\right],$ alors $g_i\left(y_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_o\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(y_i-{\theta }_o\right).$ D’autres exemples sont fournis dans l’étude en simulation de la section 5. Comme $y_i$ n’est pas observée pour les non-répondants, il est impossible d’arriver à ${\widehat{\theta }}_A.$

Une version imputée de (2.15) est définie en remplaçant $g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)$ pour une unité non observée $i$ par un estimateur de la valeur attendue. En partant de (2.3), un estimateur de $E_{y|x}\left[g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)\right]$ est ${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left({\widehat{q}}_{\tau i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)}d\tau ,$ où ${\widehat{q}}_{\tau i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{q}}_{\tau }\left(x_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}B{\left(x_i\right)}^{\prime }{\widehat{\beta }}_{\tau }.$ Nous définissons ensuite l’estimateur $\widehat{\theta }$ par

$$\widehat{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{argmin}}_{\theta }\left\{G_n{\left(\theta \right)}^{\prime }{G}_n\left(\theta \right)\right\}\mathrm{,}(2.16)$$

où

$$G_n\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n{w}_i\left\{{\delta }_{i}g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)+\left(1-{\delta }_i\right){\displaystyle {\int }_0^{1}g\left({\widehat{q}}_{\tau i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)}d\tau \right\}}\mathrm{.}(2.17)$$

Pour un $g_i$ spécifique, le minimiseur de (2.16) a une expression en forme fermée. Dans le cas où ${\theta }_o\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[y_i\right],$ et $\widehat{\theta }$ est l’estimateur de Hájek défini par

$$\widehat{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n{w}_i\left\{{\delta }_i{y}_i+\left(1-{\delta }_i\right){\displaystyle {\int }_0^1{\widehat{q}}_{\tau }\left(x_i\right)}d\tau \right\}}\mathrm{.}$$

Dans d’autres situations, il n’existe peut-être pas d’expression en forme fermée et il est possible d’utiliser des procédures numériques standard, comme Newton-Raphson, pour minimiser (2.17). En dérivant les résultats asymptotiques de la section 3, nous supposons que ${\theta }_o$ est la valeur unique telle que $E\left[g_i\left(y_i\mathrm{,}{\theta }_o\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}0,$ qui se rapporte à l’existence d’un minimum unique dans (2.16). Voir Fuller (1996, page 252) pour une condition semblable et une discussion de la théorie des estimateurs qui minimisent une forme quadratique.

Dans la pratique, une approximation de l’intégrale est requise. Nous utilisons une approximation du point milieu (c’est-à-dire Nusser, Carriquiry, Dodd et Fuller, 1996). Supposons que la séquence $\mathrm{0\; <mo><</mo>}{\tau }_1\le {\tau }_2\cdots \le {\tau }_J\mathrm{<mo><</mo>\; 1}$ constitue les points milieux des sous-intervalles régulièrement espacés de [0,1] pour $J.$ Pour le non-répondant $i,$ des valeurs imputées $J$ sont construites,

$$y_{ij}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}B{\left(x_i\right)}^{\prime }{\widehat{\beta }}_{{\tau }_j}\text{}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}J\mathrm{,}(2.18)$$

où ${\widehat{\beta }}_{{\tau }_j}$ est obtenu en minimisant $Q_{{\tau }_j}\left(\beta \right)$ dans (2.12). Nous définissons l’estimateur ${\widehat{\theta }}_J$ pour satisfaire à

$${\widehat{\theta }}_J\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{argmin}}_{\theta }\left\{G_{n\text{}\mathrm{,}J}{\left(\theta \right)}^{\prime }{G}_{n\text{}\mathrm{,}J}\left(\theta \right)\right\}\mathrm{,}(2.19)$$

où

$$G_{n\text{}\mathrm{,}J}\left(\theta \right)\mathrm{<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mo>:</mo>\; <mo>=</mo>}{G}_n\left(\theta \mathrm{,}\widehat{\beta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n{w}_i\left\{{\delta }_{i}g\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)+\left(1-{\delta }_i\right)J^{-1}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{J}g\left(y_{ij}^{*}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\theta \right)}\right\}}\mathrm{,}(2.20)$$

$w_i$ est défini selon (2.12), et $\widehat{\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\widehat{\beta }}_{{\tau }_1}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\beta }}_{{\tau }_J}\right)}^{\prime }\text{}.$ La procédure d’imputation ci-dessus diffère de Chen et Yu (2016) en ce sens que l’approximation du point milieu pour l’intégrale est utilisée au lieu de l’intégration Monte Carlo. L’approximation du point milieu et l’intégration de Monte Carlo sont toutes deux justifiées par la transformation de l’intégrale de probabilité, qui relie l’espérance à la fonction quantile conditionnelle, comme expliqué en (2.3). Pour les fonctions avec dérivées secondes bornées, l’erreur dans l’approximation du point milieu est $O\left(J^{-2}\right).$ Nous préférons également l’approximation du point milieu parce que dans les simulations, elle réduit la variance de l’estimateur et réduit l’instabilité de l’estimateur de variance en raison de quantiles extrêmes par rapport à la simulation de Monte Carlo. James et Wang (2015) discutent du problème potentiel des estimateurs instables pour les quantiles extrêmes des modèles de régression quantile non structurés.

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