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Section 3. Modélisation de séries chronologiques structurelle de l’ICC et de l’IMS

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La présente section décrit l’élaboration de modèles de séries chronologiques structurels univarié et bivarié pour l’ICC et l’IMS. Dans un modèle de séries chronologiques structurel, la série est décomposée en une composante tendance, une composante saisonnière, d’autres composantes cycliques, une composante de régression et une composante irrégulière. Chaque composante est supposée suivre un modèle stochastique, ce qui permet que les composantes tendance, saisonnière et cyclique, mais aussi les coefficients de régression dépendent du temps. Au besoin, des composantes autorégressives-moyennes mobiles (ARMA) peuvent être ajoutées pour tenir compte de l’autocorrélation dans la série au-delà de ces composantes structurelles. Consulter Harvey (1989) ou Durbin et Koopman (2012) pour des précisions au sujet de la modélisation de séries chronologiques structurelle.

La question abordée dans le présent article est celle de savoir dans quelle mesure l’IMS suit une courbe semblable à l’ICC, de sorte que l’IMS puisse être utilisé dans la procédure d’estimation de l’ICC, voire, dans le cas le plus extrême, le remplacer. Pour traiter cette question, nous élaborons un modèle de séries chronologiques structurel bivarié pour l’ICC et pour l’IMS, et modélisons la corrélation entre les termes de perturbation des différentes composantes du modèle structurel pour les deux séries. Nous appliquons le concept de cointégration pour déterminer si les composantes non observées des deux séries sont sous-tendues par des facteurs communs. Si, par exemple, les tendances des deux séries sont sous-tendues par une tendance commune, on pourrait soutenir que l’IMS représente une évolution des sentiments comparable à l’ICC. L’IMS pourrait aussi être utilisé comme une série auxiliaire dans une procédure d’estimation de l’ICC fondée sur un modèle ou dans une procédure de prédiction immédiate pour obtenir des estimations en temps réel plus précises.

3.1  Modèle univarié de la série de l’ICC

En guise de première étape, nous proposons un modèle de séries chronologiques univarié pour la série de l’ICC. Selon l’approche fondée sur le plan de sondage décrite à la section 2.1, l’information observée chaque mois sur l’échantillon sert à calculer une estimation de l’ICC pour le mois en question. Un inconvénient de cette approche est que l’information observée lors des périodes précédentes n’est pas utilisée pour obtenir des estimations plus précises de l’ICC. Dans le domaine des techniques d’enquête, il est fréquent d’appliquer des modèles de séries chronologiques pour obtenir des estimations pour des enquêtes périodiques. Blight et Scott (1973) et Scott et Smith (1974) ont proposé de considérer les paramètres de population inconnus comme une réalisation d’un processus stochastique qui peut être décrit au moyen d’un modèle de séries chronologiques. Cela introduit des relations entre les paramètres de population estimés à différents points dans le temps dans le cas d’échantillons non chevauchants ainsi que chevauchants. La modélisation explicite de cette relation entre les estimations issues de l’enquête au moyen d’un modèle de séries chronologiques peut servir à combiner l’information observée sur l’échantillon dans le passé pour améliorer la précision des estimations obtenues au moyen d’enquêtes périodiques. Parmi les références clés à des auteurs qui ont appliqué l’approche des séries chronologiques aux données d’enquêtes répétées pour améliorer l’efficacité des estimations par sondage, nous mentionnerons Scott, Smith et Jones (1977), Tam (1987), Binder et Dick (1989, 1990), Bell et Hillmer (1990), Tiller (1992), Rao et Yu (1994), Pfeffermann et Burck (1990), Pfeffermann (1991), Pfeffermann et Rubin-Bleuer (1993), Pfeffermann, Feder et Signorelli (1998), Pfeffermann et Tiller (2006), Harvey et Chung (2000), Feder (2001), Lind (2005) et van den Brakel et Krieg (2009, 2015).

L’élaboration d’un modèle de séries chronologiques pour les estimations par sondage observées au moyen d’une enquête périodique débute par un modèle énonçant que l’estimation par sondage peut être décomposée en la valeur de la variable dans la population et une erreur d’échantillonnage :

$$I_t={\theta }_t+e_t,(3.1)$$

où ${\theta }_t$ désigne l’ICC réel au mois $t$ sous un dénombrement complet de la population cible et $e_t,$ l’erreur d’échantillonnage.

L’ICC est observé mensuellement. Par conséquent, à titre de première étape, la série du paramètre de population finie peut être décomposée en une tendance stochastique, une composante saisonnière pour modéliser les écarts systématiques par rapport à la tendance durant une année, et une composante de bruit blanc pour les variations restantes, inexpliquées. Ces considérations mènent au modèle qui suit pour la série du paramètre de population finie :

$${\theta }_t=L_t+S_t+{\xi }_t,(3.2)$$

où $L_t$ désigne une tendance stochastique, $S_t,$ une composante saisonnière stochastique et ${\xi }_t,$ la variation inexpliquée du paramètre de population finie. L’insertion de (3.2) dans le modèle de mesure (3.1) donne

$$I_t=L_t+S_t+{\xi }_t+e_t.(3.3)$$

Dans une enquête transversale, il est difficile de séparer l’erreur d’échantillonnage du bruit blanc du paramètre de population. Donc, les deux composantes sont combinées en un terme de perturbation

$${\upsilon }_t={\xi }_t+e_t.(3.4)$$

Nous supposons que $E\left({\upsilon }_t\right)=0$ et $\text{Var}\left({\upsilon }_t\right)={\sigma }_{\upsilon }^2.$ Pour tenir compte de la variance non homogène dans les erreurs d’échantillonnage, Binder et Dick (1990) ont proposé une erreur de mesure où les termes de perturbation ${\upsilon }_t$ sont proportionnels aux erreurs-types de $I_t,$ c’est-à-dire

$${\upsilon }_t=\sqrt{\text{Var}\left(I_t\right)}{\tilde{\upsilon }}_t,(3.5)$$

avec $E\left({\tilde{\upsilon }}_t\right)=0,$ $\text{Var}\left({\tilde{\upsilon }}_t\right)={\sigma }_{\upsilon }^2$ et où $\text{Var}\left(I_t\right)$ est définie par (2.3) et est utilisée comme une information a priori dans le modèle de séries chronologiques. Un tel modèle serait utile si l’erreur d’échantillonnage est plus importante que le bruit blanc dans le paramètre de population. Pour la présente application, les premières analyses indiquent que la variance du bruit blanc de la population est importante, ce qui invalide (3.5). En outre, toujours dans cette application, la variance de l’erreur d’échantillonnage est constante au cours du temps. Nous avons donc décidé de combiner l’erreur d’échantillonnage et le bruit blanc de la population, et avons supposé que la variance était constante au cours du temps. Savoir comment tenir compte de la variance d’échantillonnage est une question qui se pose également dans le cas des variances de désaisonnalisation (Pfeffermann et Sverchkov, 2014). Bell (2005) a étudié la contribution de la variance d’échantillonnage à la variance de l’erreur d’estimation des séries désaisonnalisées et à la composante non saisonnière. Dans le cas de panels (rotatifs), l’erreur d’échantillonnage peut être isolée du bruit blanc de la population. Dans le cas des enquêtes transversales répétées, il est difficile d’identifier les composantes distinctes et les deux termes sont donc combinés en un terme de perturbation qui inclut à la fois la variance d’échantillonnage et la variation inexpliquée du paramètre de population.

Un exercice approfondi de sélection du modèle a montré qu’un modèle de tendance lissé est le plus approprié pour représenter la tendance et le cycle économique dans la série de l’ICC. Le modèle de tendance lissé est défini comme étant (Durbin et Koopman, 2012) :

$$L_t=L_{t-1}+R_t,$$

$$\begin{array}{l}{R}_t=R_{t-1}+{\eta }_t,\text{E}\left({\eta }_t\right)=0,(3.6)\hfill \\ \text{Cov}\left({\eta }_t,{\eta }_{t^{\prime }}\right)=\{\begin{array}{ll}{\sigma }_{\eta }^2\hfill & \text{si}t=t^{\prime }\hfill \\ 0\hfill & \text{si}t\ne t^{\prime }\hfill \end{array}.\hfill \end{array}$$

L’ajout d’une composante aléatoire pour le niveau dans (3.6) améliore la log-vraisemblance de cinq unités, mais aboutit à un surajustement des données en ce sens que le signal lissé suit presque exactement la série observée, avec une très petite variance de l’erreur de mesure. Un modèle au niveau local (niveau aléatoire sans une pente) améliore la log-vraisemblance de trois unités, mais a également tendance à surajuster les données.

La composante saisonnière est modélisée par un modèle trigonométrique, qui est défini comme étant (Durbin et Koopman, 2012) :

$$S_t={\displaystyle \sum _{j=1}^6{\gamma }_{jt}},(3.7)$$

avec

$$\begin{array}{ll}{\gamma }_{jt}\hfill & ={\gamma }_{jt-1}\cos \left({\lambda }_j\right)+{\tilde{\gamma }}_{jt-1}\sin \left({\lambda }_j\right)+{\omega }_{jt},\hfill \\ {\tilde{\gamma }}_{jt}\hfill & =-{\gamma }_{jt-1}\sin \left({\lambda }_j\right)+{\tilde{\gamma }}_{jt-1}\cos \left({\lambda }_j\right)+{\tilde{\omega }}_{jt}.\hfill \end{array}$$

Ici, ${\lambda }_j$ désigne la fréquence des différents cycles exprimée en radians et définie comme étant

$${\lambda }_j=\frac{2\pi j}{12},\text{pour}j=1,\dots ,6.$$

Pour les termes de perturbation, il est supposé que

$$\begin{array}{c}E\left({\omega }_{jt}\right)=0,E\left({\tilde{\omega }}_{jt}\right)=0,\\ \text{Cov}\left({\omega }_t,{\omega }_{t^{\prime }}\right)=\{\begin{array}{cc}{\sigma }_{\omega }^2& \text{si}t=t^{\prime }\\ 0 & \text{si}t\ne t^{\prime }\end{array}.\end{array}$$

Par souci de parcimonie, nous supposons que la structure de variance est la même avec le même hyperparamètre pour ${\tilde{\omega }}_{jt}.$ Qui plus est, nous supposons que ${\omega }_t$ et ${\tilde{\omega }}_t$ ne sont pas corrélés.

Après l’introduction de la composante de tendance stochastique (3.6) et de la composante saisonnière (3.7), aucune autre composante cyclique n’est nécessaire. La procédure de sélection du modèle a montré que deux changements de niveau sont nécessaires pour modéliser des sauts soudains dans la série. Le premier est dû à la crise financière de septembre 2008, et le second, au ralentissement économique de septembre 2011. Enfin, une valeur aberrante ponctuelle est nécessaire pour septembre 2007. L’ajout de ces trois composantes accroît la log-vraisemblance de 15 unités. Nous arrivons ainsi au modèle qui suit pour la série observée de l’ICC

$$I_t=L_t+S_t+{\beta }^{07}{\delta }_t^{07}+{\beta }^{08}{\delta }_t^{08}+{\beta }^{11}{\delta }_t^{11}+{\upsilon }_t,(3.8)$$

avec

$${\delta }_t^{07}=\{\begin{array}{cc}1& \text{si}t=2007\left(9\right)\\ 0& \text{si}t\ne 2007\left(9\right)\end{array},{\delta }_t^{08}=\{\begin{array}{cc}1& \text{si}t\ge 2008\left(9\right)\\ 0& \text{si}t<2008\left(9\right)\end{array},{\delta }_t^{11}=\{\begin{array}{cc}1& \text{si}t\ge 2011\left(9\right)\\ 0& \text{si}t<2011\left(9\right)\end{array},$$

et ${\beta }^x$ représente les coefficients de régression correspondants.

Enfin, des composantes autorégressives (AR) et de moyennes mobiles (MA pour moving average) peuvent être ajoutées au modèle de séries chronologiques structurel (3.8). Dans la présente application, rien n’indique que de telles composantes soient nécessaires, puisqu’il n’y a aucun signe évident d’une corrélation sériale résiduelle entre les innovations standardisées. L’ajout d’un processus AR(1) ou MA(1) à (3.8) augmente la log-vraisemblance de 5 et de 4,5 unités, respectivement. L’ajout de modèles AR ou MA d’ordre deux n’améliore pas davantage la log-vraisemblance. L’ajout d’un processus ARMA(1,1) n’accroît pas non plus davantage la log-vraisemblance. Un processus AR(1) ou MA(1) améliore légèrement le corrélogramme, mais augmente aussi l’erreur-type des signaux lissés filtrés. Donc, nous avons finalement choisi le modèle (3.8) pour la série de l’ICC.

Les modèles espace-état supposent que les termes de perturbation suivent des lois normales indépendantes. Ces hypothèses se traduisent en l’hypothèse que les innovations suivent des lois normales indépendantes. Le tableau A.1 en annexe donne un aperçu des statistiques de qualité de l’ajustement appliquées aux innovations standardisées. Les valeurs obtenues pour l’asymétrie, l’aplatissement et le test de Bowman-Shenton ne révèlent pas d’écarts par rapport à la loi normale pour les innovations standardisées. Les valeurs pour le test de Ljung-Box et le test de Durban-Watson n’indiquent aucune corrélation sériale entre les innovations standardisées. Ces observations sont également confirmées par un corrélogramme (non présenté). En conclusion, selon ces diagnostics, le modèle (3.8) est raisonnablement bien ajusté à la série de l’ICC.

3.2  Modèle bivarié des séries de l’ICC et de l’IMS

L’étape suivante consiste à combiner le modèle univarié pour l’ICC avec la série pour l’IMS. Avant de combiner l’ICC et l’IMS dans un modèle bivarié, nous élaborons un modèle univarié pour l’IMS afin de mieux comprendre le comportement de cette série. Une procédure de sélection de modèle similaire à celle effectuée pour la série de l’ICC à la sous-section 3.1 indique que la série observée pour l’IMS peut être modélisée avec un modèle de tendance lisse et une composante de bruit blanc pour la variation inexpliquée. Aucune présence significative d’une composante saisonnière ou d’un cycle économique n’est établie. Il n’existe aucun signe de valeur aberrante ni de changements de niveau. Nous n’avons pas inclus de composante AR(1) et MA(1) puisqu’il n’existe aucune corrélation sériale entre les innovations standardisées. Ces observations ont mené à un modèle bivarié pour l’ICC et l’IMS dans lequel l’ICC comprend une tendance et une composante saisonnière, tandis que l’IMS comprend une composante tendance.

Les tableaux A.2 et A.3 en annexe donnent un aperçu des statistiques de qualité de l’ajustement pour les innovations standardisées de l’ICC et de l’IMS, respectivement. Rien n’indique que les innovations standardisées s’écartent d’une loi normale dans l’une ou l’autre des deux séries. L’hypothèse nulle d’absence de corrélation sériale entre les innovations standardisées n’a pas pu être rejetée. Le corrélogramme des innovations pour l’IMS montre toutefois un patron saisonnier non significatif (données non présentées). Les innovations de l’IMS présentent aussi une hétéroscédasticité.

Les termes de perturbation des tendances des deux séries sont corrélés. Puisque la série pour l’IMS est disponible à partir de juin 2010, le modèle pour l’ICC contient aussi le dernier changement de niveau en septembre 2011, mais non la valeur aberrante ponctuelle en septembre 2007 et le changement de niveau en septembre 2008. Par conséquent, nous obtenons le modèle bivarié suivant :

$$\left(\begin{array}{c}{I}_t\\ X_t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_t^I\\ L_t^X\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{S}_t^I\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\beta }^{11}{\delta }_t^{11}\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\upsilon }_t^I\\ {\upsilon }_t^X\end{array}\right),(3.9)$$

dans lequel $L_t^I$ et $L_t^X$ désignent le modèle de tendance lissé défini en (3.6) avec la structure de covariance

$$\begin{array}{ll}\text{Cov}\left({\eta }_t^I\text{},{\eta }_{t^{\prime }}^I\right)\hfill & =\{\begin{array}{lll}{\sigma }_{\eta I}^2\hfill & \text{si}\hfill & t=t^{\prime }\hfill \\ 0\hfill & \text{si}\hfill & t\ne t^{\prime }\hfill \end{array},\hfill \\ \text{Cov}\left({\eta }_t^X\text{},{\eta }_{t^{\prime }}^X\right)\hfill & =\{\begin{array}{lll}{\sigma }_{\eta X}^2\hfill & \text{si}\hfill & t=t^{\prime }\hfill \\ 0\hfill & \text{si}\hfill & t\ne t^{\prime }\hfill \end{array},\hfill \\ \text{Cov}\left({\eta }_t^I\text{},{\eta }_{t^{\prime }}^X\right)\hfill & =\{\begin{array}{lll}{\sigma }_{\eta I}{\sigma }_{\eta X}{\rho }_{\eta }\hfill & \text{si}\hfill & t=t^{\prime }\hfill \\ 0\hfill & \text{si}\hfill & t\ne t^{\prime }\hfill \end{array}.\hfill \end{array}$$

Dans la dernière expression, ${\rho }_{\eta }$ désigne la corrélation entre les perturbations de la pente de l’ICC et de l’IMS. De surcroît, $S_t^I$ représente l’effet saisonnier défini par (3.7) et ${\delta }_t^{11},$ le changement de niveau en septembre 2011 avec le coefficient de régression correspondant ${\beta }^{11}.$ Enfin, ${\upsilon }_t^I$ et ${\upsilon }_t^X$ sont les termes de perturbation pour les séries de l’ICC et de l’IMS, qui sont définis comme il suit :

$$\begin{array}{ll}E({\upsilon }_t^I)\hfill & =E({\upsilon }_t^X)=0,\hfill \\ \text{Cov}\left({\upsilon }_t^I\text{},{\upsilon }_{t^{\prime }}^I\right)\hfill & =\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{\sigma }_{\upsilon I}^2 & \text{si}& t=t^{\prime }\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0 & \text{si}& t\ne t^{\prime }\end{array}\end{array},\hfill \\ \text{Cov}\left({\upsilon }_t^X\text{},{\upsilon }_{t^{\prime }}^X\right)\hfill & =\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{\sigma }_{\upsilon X}^2& \text{si}& t=t^{\prime }\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0 & \text{si}& t\ne t^{\prime }\end{array}\end{array},\hfill \\ \text{Cov}\left({\upsilon }_t^I\text{},{\upsilon }_{t^{\prime }}^X\right)\hfill & =0\text{pour}\text{tout}t\text{et}{t}^{\prime }.\hfill \end{array}$$

Si le modèle détecte une forte corrélation entre les tendances de l’ICC et de l’IMS, alors les tendances des deux séries se développeront dans la même direction plus ou moins simultanément. Dans ces conditions, l’information supplémentaire provenant de la série de l’IMS aboutira à une plus grande précision des estimations des chiffres de l’ICC. Dans le cas d’une forte corrélation entre les perturbations des tendances, c’est-à-dire si ${\rho }_{\eta }\to 1,$ les tendances sont dites cointégrées. Dans ces conditions, il existe une tendance commune sous-jacente qui dicte l’évolution des tendances des deux séries observées. Pour le voir, nous notons que la matrice de covariance des perturbations de la pente est obtenue sous forme d’une décomposition en valeurs singulières :

$$\text{cov}\left(\begin{array}{c}{\eta }_t^I\\ {\eta }_t^X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_{\eta I}^2& {\sigma }_{\eta I}{\sigma }_{\eta X}{\rho }_{\eta }\\ {\sigma }_{\eta I}{\sigma }_{\eta X}{\rho }_{\eta }& {\sigma }_{\eta X}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{d}_1& 0\\ 0& d_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right).(3.10)$$

Au lieu de ${\sigma }_{\eta I}^2,$ ${\sigma }_{\eta X}^2$ et ${\rho }_{\eta },$ ce sont les paramètres $d_1,$ $d_2$ et $a$ qui sont estimés. Si $d_2\to 0,$ il s’ensuit que ${\rho }_{\eta }\to 1.$ Dans ces conditions, la matrice de covariance des perturbations de la pente est de rang réduit et les deux tendances sont sous-tendues par une tendance commune. Cela implique que les perturbations des pentes des deux séries montent ou descendent simultanément et que les perturbations de la pente de l’IMS peuvent être prédites parfaitement à partir des perturbations de la pente de l’ICC au moyen de ${\eta }_t^X=a{\eta }_t^I.$ En outre, la pente de la série de l’IMS peut s’exprimer sous forme d’une combinaison linéaire de la pente de la série de l’ICC par l’expression $R_t^X=a{R}_t^I+\overline{R}.$ De même, la tendance de la série de l’IMS peut être exprimée sous forme d’une combinaison linéaire de la tendance pour la série de l’ICC par l’expression $L_t^X=a{L}_t^I+\overline{L}+\overline{R}t.$ Notons que $\overline{R}$ et $\overline{L}$ sont des constantes qui sont calculées à partir des états estimés aux deux dernières périodes de la série.

La cointégration accroît la précision des estimations de la tendance et du signal de la série de l’ICC, permet de formuler des modèles plus parcimonieux, mais pourrait aussi être considérée comme un argument en vue de remplacer la série de l’ICC par celle de l’IMS, puisque les deux séries sont sous-tendues par une même tendance commune et représentent toutes deux cette tendance. Pour une discussion plus détaillée de la cointégration dans le contexte de la modélisation espace-état, consulter Koopman, Harvey, Shephard et Doornik (2009, sections 6.4 et 9.1).

3.3  Estimation des modèles de séries chronologiques structurels

Le moyen général d’analyser un modèle de séries chronologiques structurel consiste à l’exprimer dans la représentation dite espace-état et à appliquer le filtre de Kalman pour obtenir des estimations optimales pour les variables d’état (voir par exemple, Durbin et Koopman (2012)). Le logiciel pour l’analyse et l’estimation des modèles de séries chronologiques est développé en Ox en combinaison avec les sous-routines de SsfPack 3.0; voir Doornik (2009) et Koopman, Shephard et Doornik (2008).

Toutes les variables d’état sont non stationnaires et initialisées au moyen d’un prior diffus, c’est-à-dire que les espérances des états initiaux sont nulles et que la matrice de covariance initiale des états est diagonale avec de grands éléments diagonaux. Dans Ssfpack 3.0, une fonction de log-vraisemblance diffuse exacte s’obtient à l’aide de la procédure proposée par Koopman (1997). Les estimations du maximum de vraisemblance (MV) pour les hyperparamètres, c’est-à-dire les composantes de variance des processus stochastiques pour les variables d’état, sont obtenues avec une procédure d’optimisation numérique (algorithme de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS), Doornik, 2009). Pour éviter d’obtenir des estimations de variance négatives, on estime les variances log-transformées. Le lecteur trouvera d’autres renseignements techniques sur l’analyse des modèles espace-état dans Harvey (1989) ou dans Durbin et Koopman (2012).

Sous l’hypothèse que les termes de perturbation suivent une loi normale, on peut appliquer le filtre de Kalman pour obtenir des estimations optimales des variables d’état, voir par exemple, Durbin et Koopman (2012). Le filtre de Kalman suppose que les termes de variance et de covariance sont connus d’avance et ces termes sont souvent appelés hyperparamètres. En pratique, ces hyperparamètres sont inconnus et, par conséquent, remplacés par l’estimation de leur MV. Les estimations pour les variables d’état pour la période $t$ fondées sur l’information disponible jusqu’à la période $t$ inclusivement sont appelées estimations filtrées. Elles s’obtiennent à l’aide du filtre de Kalman où les estimations du MV des hyperparamètres sont fondées sur la série chronologique complète. Les estimations filtrées des vecteurs d’état antérieurs peuvent être mises à jour si de nouvelles données deviennent disponibles. Cette procédure, appelée lissage, donne des estimations lissées qui sont fondées sur la série chronologique complète.

Les erreurs-types des estimations obtenues avec le filtre de Kalman ne reflètent pas l’incertitude supplémentaire due à l’utilisation des estimations du MV pour les hyperparamètres inconnus. Donc, les estimations des erreurs-types sont trop optimistes.

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