Note brève sur l’estimation fondée sur les quantiles et les expectiles dans les échantillons à probabilités inégales 5. SimulationsNote brève sur l’estimation fondée sur les quantiles et les expectiles dans les échantillons à probabilités inégales 5. Simulations

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On a réalisé une petite étude par simulations pour illustrer l’efficacité des estimations fondées sur les expectiles. On utilise ci-dessous la méthode d’échantillonnage de Midzuno (voir Midzuno 1952); les probabilités d’inclusion ${\pi }_j$  sont définies comme étant proportionnelles à une mesure de la taille $x,$  selon le module «sampling» de Tillé et Matei (2015) dans le logiciel R. On examine deux ensembles de données, que Kuk (1988) a aussi utilisés. Le premier ensemble de données (Logements) comprend deux variables fortement corrélées (corrélation de 0,97), soit le nombre d’unités de logement $\left(X\right)$  et le nombre d’unités louées $\left(Y\right);$  voir aussi Kish (1965). Le deuxième ensemble de données (Villages) comprend de l’information sur la population $\left(X\right)$  et sur le nombre de personnes travaillant dans des entreprises familiales $\left(Y\right)$  dans 128 villages de l’Inde; voir Murthy (1967). Dans le deuxième ensemble de données, la corrélation entre $Y$  et $X$  s’établit à 0,54. Afin de comparer les résultats de la simulation à ceux de Kuk (1988), on a choisi un échantillon de la même taille, soit $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 30}$  (pour une population totale de $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 270}$  en ce qui concerne les données sur les logements et de $N\mathrm{<mo>=</mo>\; 128}$  pour les données sur les villages).

On compare les quantiles définis par l’inversion de ${\widehat{F}}_R$ avec les quantiles définis par l’inversion de ${\widehat{F}}_R^M.$ Le tableau 5.1 présente la racine de l’erreur quadratique moyenne (REQM) et l’efficience relative pour certains quantiles. On constate que la médiane pour les données relatives aux villages et, pour les données relatives aux logements, les quantiles supérieurs dérivés des expectiles ont une efficience accrue. En outre, le gain d’efficience n’est pas uniforme; on constate en effet une perte d’efficience dans les quantiles inférieurs.

Pour mieux comprendre, on a réalisé une simulation à l’aide d’un échantillon plus grand de taille $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 100}$ sélectionné à partir de populations de tailles $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{1 000}$ et $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{10 000}\text{.}$ On a tiré $Y$ et $X$ d’une loi log-normale standard bivariée avec $\mu \mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ et $\sigma \mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Les variables $Y$ et $X$ sont tirées de façon que la corrélation entre les variables soit égale à 0,9. On a encore une fois calculé la racine de l’erreur quadratique moyenne pour une gamme de valeurs de $\alpha ;$ l’efficience relative de l’approche fondée sur les expectiles est illustrée à la figure 5.1. Pour une meilleure présentation visuelle, les graphiques donnent une version lissée de l’efficience relative. On constate une diminution de la racine de l’erreur quadratique moyenne dans les deux cas, soient $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{1 000}$ et $N\mathrm{<mo>=</mo>}\text{10 000}.$ On peut conclure que les expectiles peuvent être facilement ajustés dans un échantillonnage à probabilités inégales et que la relation entre les expectiles et la fonction de répartition peut être exploitée numériquement pour calculer les quantiles avec une efficience accrue. Ce gain d’efficience ne se vérifie que pour les quantiles supérieurs, c’est-à-dire pour les valeurs de $\alpha$ dont la borne inférieure est strictement positive. Soulignons toutefois que le plan de sondage est tel que les grandes valeurs de $Y$ sont échantillonnées selon une probabilité supérieure, puisque le plan de sondage vise à obtenir des estimations plus fiables pour le côté droit de la fonction de répartition, c’est-à-dire pour les quantiles supérieurs. Si on s’intéresse aux quantiles inférieurs, il faut utiliser un plan de sondage différent en attribuant une probabilité d’inclusion accrue aux personnes ayant une valeur $Y$ faible. Dans ce cas, on observerait un comportement correspondant au reflet de celui qui est illustré à la figure 5.1 en ce qui concerne $\alpha .$

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