Note brève sur l’estimation fondée sur les quantiles et les expectiles dans les échantillons à probabilités inégales 4. Des expectiles à la fonction de répartitionNote brève sur l’estimation fondée sur les quantiles et les expectiles dans les échantillons à probabilités inégales 4. Des expectiles à la fonction de répartition

La fonction quantile $Q (α)$ et la fonction expectile $M (α)$ définissent toutes deux de façon unique une fonction de répartition $F (.) .$ Tandis que $Q (α)$ est une simple inversion de $F (.),$ la relation entre $M (α)$ et $F (.)$ est plus complexe. Selon Schnabel et Eilers (2009) et Yao et Tong (1996), on peut établir la relation

$M (α) = \frac{(1 - α) G (M (α)) + α {M (0,5) - G (M (α))}}{(1 - α) F (M (α)) + α {1 - F (M (α))}}, (4.1)$

où $G (m)$ est la fonction génératrice des moments définie par $G (m) = \sum_{i =1}^{N} Y_{i} 1 {Y_{i} \leq m} / N .$ L’expression (4.1) donne la relation unique de la fonction $M (α)$ à la fonction de répartition $F (.) .$ Il faut maintenant résoudre (4.1) pour $F (.),$ c’est-à-dire exprimer la répartition $F (.)$ en termes de la fonction expectile $M (.) .$ Cela n’est apparemment pas possible sous une forme analytique, mais on peut effectuer le calcul numériquement. Pour ce faire, on évalue la fonction ajustée $\hat{M} (α)$ selon un ensemble dense de valeurs $0< α_{1} < α_{2} \dots < α_{L} <1,$ en désignant les valeurs ajustées par ${\hat{m}}_{l} = \hat{M} (α_{l}) .$ On définit aussi des bornes à gauche et à droite par ${\hat{m}}_{o} = {\hat{m}}_{1} - c_{0}$ et ${\hat{m}}_{L + 1} = {\hat{m}}_{L} + c_{L + 1},$ où $c_{0}$ et $c_{L}$ sont des constantes définies par l’utilisateur. Par exemple, on peut définir $c_{0} = {\hat{m}}_{2} - {\hat{m}}_{1}$ et $c_{L + 1} = {\hat{m}}_{L} - {\hat{m}}_{L - 1} .$ Ce faisant, on dérive les valeurs ajustées pour la fonction de répartition cumulative $F (.)$ à ${\hat{m}}_{l},$ que l’on écrit ${\hat{F}}_{l} := \hat{F} ({\hat{m}}_{l}) = \sum_{j =1}^{l} {\hat{δ}}_{j}$ pour les échelons non négatifs ${\hat{δ}}_{j} \geq 0, j =1, \dots, L$ avec $\sum_{j =1}^{L} {\hat{δ}}_{j} \leq 1.$ On définit ${\hat{δ}}_{L + 1} =1 - \sum_{l =1}^{L} {\hat{δ}}_{l}$ pour faire de $\hat{F} (.)$ une fonction de répartition. En supposant une répartition uniforme entre les points de support ${\hat{m}}_{l}$ de l’ensemble dense, on peut exprimer la fonction de génération des moments $G (.)$ par simple intégration séquentielle comme

${\hat{G}}_{l} := \hat{G} ({\hat{m}}_{l}) = \int_{- \infty}^{m_{l}} x d \hat{F} (x) = \sum_{j =1}^{l} {\hat{d}}_{j} {\hat{δ}}_{l},$

où ${\hat{d}}_{j} = ({\hat{m}}_{j} - {\hat{m}}_{j - 1}) / 2$ sous la contrainte que ${\hat{G}}_{L + 1} = \hat{M} (0,5)$ et $\hat{M} (0,5) = \sum_{j =1}^{n} (y_{j} / π_{j}) / \sum_{j =1}^{n} (1 / π_{j}) .$ Avec les échelons ${\hat{δ}}_{l}, l =1, \dots, L,$ on peut maintenant réécrire l’expression (4.1) comme

${\hat{m}}_{l} = \frac{(1 - α) \sum_{j =1}^{l} {\hat{d}}_{j} {\hat{δ}}_{j} + α (\hat{M} (0,5) - \sum_{j =1}^{l} {\hat{d}}_{j} {\hat{δ}}_{j})}{(1 - α) \sum_{j =1}^{l} {\hat{δ}}_{j} + α (1 - \sum_{j =1}^{l} {\hat{δ}}_{j})}, l =1, \dots, L,$

que l’on résout ensuite pour ${\hat{δ}}_{1}, \dots, {\hat{δ}}_{L} .$ Il s’agit d’un exercice numérique relativement direct sur le plan conceptuel. On peut consulter Schulze Waltrup et coll.(2014) pour les détails. Une fois qu’on a calculé ${\hat{δ}}_{1}, \dots, {\hat{δ}}_{L},$ on obtient une estimation pour la fonction de répartition cumulative, qu’on écrit ${\hat{F}}_{N}^{M} (y) = \sum_{l : {\hat{m}}_{l} < y} {\hat{δ}}_{l} .$ On peut aussi inverser ${\hat{F}}_{N}^{M} (.),$ ce qui donne une fonction quantile ajustée que l’on désigne ${\hat{Q}}_{N}^{M} (α) .$

Comme le montre Kuk (1988), à la fois théoriquement et empiriquement, ${\hat{F}}_{R} (.)$ est plus efficiente que ${\hat{F}}_{N} (.) .$ On exploite cette relation en l’appliquant à ${\hat{F}}_{N}^{M} (.)$ pour obtenir l’estimateur

${\hat{F}}_{R}^{M} :=1 - \frac{1}{N} \sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j} + \frac{\sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j}}{N} {\hat{F}}_{N}^{M} .$

Dans la section qui suit, on compare les quantiles calculés à partir de l’estimateur fondé sur les expectiles ${\hat{F}}_{R}^{M}$ avec les quantiles calculés à partir de ${\hat{F}}_{R} .$ Soulignons que ${\hat{F}}_{R}^{M}$ et ${\hat{F}}_{R}$ ne sont pas des fonctions de répartition appropriées puisqu’elles ne sont pas normalisées pour prendre des valeurs situées entre 0 et 1.

ISSN : 1712-5685

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N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : Semi-annuel

Ottawa

Date de modification :: 2016-06-22

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