Appariement statistique par imputation fractionnaire 4. Plan de sondage à questionnaire scindéAppariement statistique par imputation fractionnaire 4. Plan de sondage à questionnaire scindé

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À la section 3, on examine le cas où l’échantillon A et l’échantillon B sont deux échantillons indépendants de la même population cible. Nous allons maintenant examiner un autre cas, celui d’un plan de sondage à questionnaire scindé en vertu duquel l’échantillon initial  $S$ est sélectionné à partir d’une population cible, puis l’échantillon A et l’échantillon B sont sélectionnés au hasard de sorte que $A\cup B\mathrm{<mo>=</mo>}S$ et $A\cap B\mathrm{<mo>=</mo>}\varphi .$ On observe $\left(x\mathrm{,}{y}_1\right)$ dans l’échantillon A et $\left(x\mathrm{,}{y}_2\right)$ dans l’échantillon B. On souhaite créer des données entièrement augmentées avec observation de $\left(x\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\right)$ dans  $S.$

De tels plans de sondage à questionnaire scindé gagnent en popularité parce qu’ils réduisent le fardeau de réponse (Raghunathan et Grizzle 1995; Chipperfield et Steel 2009). Des plans de sondage à questionnaire scindé ont notamment été explorés dans le cadre de la Consumer Expenditure Survey (Gonzalez et Eltinge 2008) et de la National Assessment of Educational Progress (NAEP) Survey aux États-Unis. Les analystes qui utilisent les résultats des enquêtes à questionnaire scindé peuvent s’intéresser à des paramètres multiples, comme la moyenne pour $y_1$ et la moyenne pour $y_2,$ en plus du coefficient de la régression de $y_2$ sur $y_1.$

Nous avons examiné un plan de sondage où l’échantillon initial  $S$ est divisé en deux sous-échantillons : $A$ et $B.$ On suppose que $x_i$ est observé pour $i\in S,$ que $y_{1i}$ est recueilli pour $i\in A$ et que $y_{2i}$ est recueilli pour $i\in B.$ La probabilité de sélection dans $A$ ou $B$ peut dépendre de $x_i$ mais ne dépend pas de $y_{1i}$ ni de $y_{2i}.$ En conséquence, le plan de sondage utilisé pour sélectionner les sous-échantillons $A$ et $B$ est non informatif pour le modèle spécifié (Fuller 2009, chapitre 6). Soit $w_i$ le poids d’échantillonnage associé à l’échantillon complet  $S.$ On suppose qu’il existe une procédure pour estimer la variance d’un estimateur de la forme $\widehat{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in S}}{w}_i{y}_i,$ et on désigne l’estimateur de la variance par ${\widehat{V}}_s\left({\displaystyle {\sum }_{i\in S}}{w}_i{y}_i\right).$

Décrivons maintenant une procédure pour obtenir un ensemble de données entièrement imputées. D’abord, on utilise la méthode décrite à la section 3 pour obtenir les valeurs imputées $\left\{y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>:</mo>}i\in B\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m\right\}$ et une estimation  $\widehat{\theta }$ du paramètre de la distribution $f\left(y_2|y_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right).$ On obtient l’estimation $\widehat{\theta }$ en résolvant

$${\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_i{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_2\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}(4.1)$$

où $S_2\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}x\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \log f\left(y_2|y_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right)/\partial \theta .$ Sachant $\widehat{\theta },$ on génère les valeurs imputées $y_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\sim f\left(y_2|y_{1i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}\widehat{\theta }\right),$ pour $i\in A$ et $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m.$

Si l’on suppose que le modèle est identifié, l’estimateur de paramètre $\widehat{\theta }$ généré par la résolution de (4.1) est entièrement efficace au sens où la valeur imputée de $y_{2i}$ pour l’échantillon A ne donne lieu à aucun gain d’efficacité. Pour le voir, notons que l’équation de score utilisant la valeur imputée de $y_{2i}$ se calcule comme suit :

$${\displaystyle \sum _{i\in A}}{w}_i{m}^{-1}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{S}_2\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}\mathrm{,}{y}_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\right)+{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_i{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_2\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}(4.2)$$

Comme $y_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(m\right)}$ sont générées à partir de $f\left(y_2|y_{1i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}\widehat{\theta }\right),$

$$p\underset{m\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{i\in A}}{w}_i{m}^{-1}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{S}_2\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}\mathrm{,}{y}_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in A}}{w}_{i}E\left\{S_2\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}\mathrm{,}{Y}_2\right)|y_{1i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}\widehat{\theta }\right\}\mathrm{.}$$

Ainsi, en vertu de la propriété de la fonction de score, le premier terme de (4.2) évalué à $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{\theta }$ est proche de zéro et la solution de l’équation (4.2) est essentiellement la même que celle de l’équation (4.1), c’est-à-dire qu’on ne gagne pas en efficience en utilisant la valeur imputée de $y_{2i}$ pour calculer l’EMV pour $\theta$ dans $f\left(y_2|y_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right).$

Toutefois, les valeurs imputées de $y_{2i}$ peuvent améliorer l’efficience des inférences pour les paramètres de la distribution conjointe de $\left(y_{1i}\mathrm{,}{y}_{2i}\right).$ À titre d’exemple simple, prenons l’estimation de ${\mu }_2,$ la moyenne marginale de $y_{2i}.$ En vertu d’un échantillonnage aléatoire simple, l’estimateur imputé de $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}E\left(Y_2\right)$ est

$${\widehat{\mu }}_{I\mathrm{,}m}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i\in A}}\left(m^{-1}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{y}_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\right)+{\displaystyle \sum _{i\in B}}{y}_{2i}\right\},(4.3)$$

où les valeurs de $y_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{2i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(m\right)}$ sont générées à partir de $f\left(y_2|y_{1i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}\widehat{\theta }\right).$ Pour des valeurs de $m,$ suffisamment grandes, on peut écrire

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\mu }}_{I\mathrm{,}\infty }\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i\in A}}{\widehat{y}}_{2i}+{\displaystyle \sum _{i\in B}}{y}_{2i}\right\}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}\left\{{\displaystyle \sum _{i\in A}}E\left(y_2|y_{1i}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo>;</mo>}\widehat{\theta }\right)+{\displaystyle \sum _{i\in B}}{y}_{2i}\right\}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

En vertu du scénario de l’exemple 2.1, on peut écrire ${\widehat{y}}_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\beta }}_0+{\widehat{\beta }}_1{y}_{1i}+{\widehat{\beta }}_2{x}_{2i}$ où $\left({\widehat{\beta }}_0\mathrm{,}{\widehat{\beta }}_1\mathrm{,}{\widehat{\beta }}_2\right)$ satisfont

$${\displaystyle \sum _{i\in B}}\left(y_{2i}-{\widehat{\beta }}_0-{\widehat{\beta }}_{1i}{\widehat{y}}_{1i}-{\widehat{\beta }}_2{x}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$$

et ${\widehat{y}}_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\alpha }}_0+{\widehat{\alpha }}_1{x}_{1i}+{\widehat{\alpha }}_2{x}_{2i}$ où $\left({\widehat{\alpha }}_0\mathrm{,}{\widehat{\alpha }}_1\mathrm{,}{\widehat{\alpha }}_2\right)$ satisfont ${\displaystyle {\sum }_{i\in A}}\left(y_{1i}-{\widehat{\alpha }}_0-{\widehat{\alpha }}_1{x}_{1i}-{\widehat{\alpha }}_2{x}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$ Ainsi, en ignorant les termes d’ordre plus faible, on obtient

$$V\left({\widehat{\mu }}_{I\mathrm{,}\infty }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}V\left(y_2\right)+\left(\frac{1}{n_b}-\frac{1}{n}\right)V\left(y_2-{\widehat{y}}_2\right),$$

qui est inférieure à la variance de l’estimateur direct ${\widehat{\mu }}_b\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_b^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in B}}{y}_{2i}.$

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