Appariement statistique par imputation fractionnaire 3. Imputation fractionnaireAppariement statistique par imputation fractionnaire 3. Imputation fractionnaire

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Nous allons maintenant décrire les méthodes d’imputation fractionnaire aux fins d’appariement statistique sans avoir recours à l’hypothèse d’IC. L’utilisation de l’imputation fractionnaire pour l’appariement statistique a été présentée pour la première fois dans le chapitre 9 de Kim et Shao (2013) en vertu de l’hypothèse de VI. Dans le présent article, nous présentons la méthodologie sans recourir à l’hypothèse de VI. Nous présumons seulement que le modèle spécifié est entièrement identifié. L’identifiabilité du modèle spécifié peut facilement être vérifiée dans le calcul de la procédure proposée.

Pour expliquer l’idée, rappelons que la variable $y_1$ est absente de l’échantillon B et que le but est de générer $y_1$ à partir de la distribution conditionnelle de $y_1$ sachant les observations. Autrement dit, nous voulons générer $y_1$ à partir de

$$f\left(y_1|x\mathrm{,}{y}_2\right)\propto f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1\right)f\left(y_1|x\right)\mathrm{.}(3.1)$$

Pour ce faire, on peut utiliser la stratégie d’imputation en deux étapes suivante :

1. Générer $y_1^{*}$ à partir de ${\widehat{f}}_a\left(y_1|x\right).$
2. Accepter $y_1^{*}$ si $f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1^{*}\right)$ est suffisamment grande.

Soulignons que la première étape est la méthode habituelle en vertu de l’hypothèse d’IC. La deuxième étape intègre l’information dans $y_2.$ Pour déterminer si $f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1^{*}\right)$ est suffisamment grande à l’étape 2, on applique souvent une méthode Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC), par exemple l’algorithme de Metropolis-Hastings (Chib et Greenberg 1995). Soit $y_1^{\left(t-1\right)}$ la valeur courante de $y_1$ dans la chaîne de Markov; on accepte alors $y_1^{*}$ selon la probabilité

$$R\left(y_1^{*}\mathrm{,}{y}_1^{\left(t-1\right)}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left\{\mathrm{1,}\frac{f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1^{*}\right)}{f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1^{\left(t-1\right)}\right)}\right\}\mathrm{.}$$

De tels algorithmes peuvent devenir fastidieux à calculer, à cause de la convergence lente de l’algorithme MCMC.

L’imputation fractionnaire paramétrique de Kim (2011) permet de générer les valeurs imputées en (3.1) sans recourir à la méthode MCMC. On peut utiliser l’algorithme espérance-maximisation (EM) par imputation fractionnaire suivant :

1. Pour tout $i\in B,$ générer $m$ valeurs imputées de $y_{1i},$ désignées par $y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(m\right)},$ à partir de ${\widehat{f}}_a\left(y_1|x_i\right),$ où ${\widehat{f}}_a\left(y_1|x\right)$ correspond à la densité estimée pour la distribution conditionnelle de $y_1$ sachant $x$ obtenue à partir de l’échantillon A.
2. Soit ${\widehat{\theta }}_t$ la valeur courante du paramètre $\theta$ dans $f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1\right).$ Pour la $j^{\text{e}}$ valeur imputée $y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)},$ affecter le poids fractionnaire

$$w_{ij\left(t\right)}^{*}\propto f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right)$$

• de sorte que ${\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$

3. Résoudre l’équation de score obtenue par imputation fractionnaire pour  $\theta$

$${\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij\left(t\right)}^{*}S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}(3.2)$$

• pour obtenir ${\widehat{\theta }}_{t+1},$ où $S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}x\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \log f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right)/\partial \theta ,$ et $w_{ib}$ correspond au poids d’échantillonnage de l’unité  $i$ dans l’échantillon B.

4. Reprendre à l’étape 2 et poursuivre jusqu’à la convergence.

Une fois le modèle identifié, la séquence EM obtenue à partir de la méthode d’imputation fractionnaire paramétrique ci-dessus converge. Si le modèle spécifié n’est pas identifiable, c’est qu’il n’y a pas de solution unique pour maximiser la vraisemblance observée et la séquence EM ci-dessus ne converge pas. Soulignons qu’en (3.2), pour une valeur suffisamment grande de  $m,$

$$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij\left(t\right)}^{*}S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\hfill & \cong \frac{{\displaystyle \int }S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_{2i}\right)f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right){\widehat{f}}_a\left(y_1|x_i\right)d{y}_1}{{\displaystyle \int }f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right){\widehat{f}}_a\left(y_1|x_i\right)d{y}_1}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left\{S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{Y}_1\mathrm{,}{y}_{2i}\right)|x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right\}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Si $y_{i1}$ est catégorique, le poids fractionnaire peut être établi par la probabilité conditionnelle correspondant à la valeur imputée réalisée (Ibrahim 1990). On a recours à l’étape 2 pour intégrer les données observées de $y_{i2}$ dans l’échantillon B. Précisons que l’étape 1 n’est pas répétée pour chaque itération. Seules les étapes 2 et 3 sont reprises jusqu’à ce qu’il y ait convergence. Comme l’étape 1 n’est pas répétée, la convergence est garantie et la vraisemblance observée augmente, à condition que le modèle soit identifiable (voir le théorème 2 de Kim [2011]).

Remarque 3.1 À la section 2, il est question de VI uniquement parce que c’est la façon la plus répandue d’assurer l’identifiabilité. La méthode proposée ici ne dépend pas de cette hypothèse. Pour illustrer une situation où il est possible d’identifier le modèle sans l’hypothèse de VI, supposons le modèle suivant :

$$\begin{array}{ll}{y}_2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_0+{\beta }_{1}x+{\beta }_2{y}_1+e_2\hfill \\ y_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }_0+{\alpha }_{1}x+e_1\hfill \end{array}$$

où $e_1\sim N\left(\mathrm{0,}{x}^2{\sigma }_1^2\right)$  et $e_2|e_1\sim N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_2^2\right).$  Alors

$$f\left(y_2|x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1\right)f\left(y_1|x\right)d{y}_1$$

est aussi une distribution normale de moyenne $\left({\beta }_0+{\beta }_2{\alpha }_0\right)+\left({\beta }_1+{\beta }_2{\alpha }_1\right)x$  et de variance ${\sigma }_2^2+{\beta }_2^2{\sigma }_1^2{x}^2.$  En vertu de la structure de données présentée dans le tableau 1.1, on peut identifier ce modèle sans poser l’hypothèse de VI. L’hypothèse d’absence d’interaction entre $y_1$  et $x$  dans le modèle pour $y_2$  est essentielle pour s’assurer que le modèle est identifiable.

Au lieu de générer $y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}$ à partir de ${\widehat{f}}_a\left(y_1|x_i\right),$ on peut utiliser une méthode d’imputation fractionnaire hot deck (IFHD), en vertu de laquelle toutes les valeurs observées de $y_{1i}$ dans l’échantillon A sont utilisées comme valeurs imputées. Dans ce cas, les poids fractionnaires de l’étape 2 sont donnés par

$$w_{ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_t\right)\propto w_{ij0}^{*}f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right)\mathrm{,}$$

où

$$w_{ij0}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\widehat{f}}_a\left(y_{1j}|x_i\right)}{{\displaystyle \sum _{k\in A}}{w}_{ka}{\widehat{f}}_a\left(y_{1j}|x_k\right)}\mathrm{.}(3.3)$$

Le poids fractionnaire initial $w_{ij0}^{*}$ en (3.3) est calculé par l’application d’une pondération préférentielle à l’aide de

$${\widehat{f}}_a\left(y_{1j}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }{\widehat{f}}_a\left(y_{1j}|x\right){\widehat{f}}_a\left(x\right)dx\propto {\displaystyle \sum _{i\in A}}{w}_{ia}{\widehat{f}}_a\left(y_{1j}|x_i\right)$$

comme densité proposée pour $y_{1j}.$ L’étape de maximisation est la même que pour l’imputation fractionnaire paramétrique. Pour en savoir davantage à propos de l’IFHD, voir Kim et Yang (2014). Dans la pratique, on peut utiliser une seule valeur imputée pour chaque unité. Dans ce cas, les poids fractionnaires peuvent être utilisés comme probabilité de sélection dans l’échantillonnage avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT) de taille $m\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$

Pour estimer la variance, on peut utiliser une méthode de linéarisation ou une méthode de ré-échantillonnage. On examine d’abord l’estimation de la variance pour l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de $\theta .$ Si on a recours à un modèle paramétrique $f\left(y_1|x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(y_1|x\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\right)$ et $f\left(y_2|x\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_2\right),$ on obtient l’EMV de $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\right)$ en résolvant

$$\left[S_1\left({\theta }_1\right)\mathrm{,}{\overline{S}}_2\left({\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\mathrm{0,0}\right)\mathrm{,}(3.4)$$

où $S_1\left({\theta }_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in A}}{w}_{ia}{S}_{i1}\left({\theta }_1\right),$ $S_{i1}\left({\theta }_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \log f\left(y_{1i}|x_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\right)/\partial {\theta }_1$ est la fonction de score de ${\theta }_1,$

$${\overline{S}}_2\left({\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left\{S_2\left({\theta }_2\right)|X\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\right\}\mathrm{,}$$

$S_2\left({\theta }_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in B}}{w}_{ib}{S}_{i2}\left({\theta }_2\right),$ et $S_{i2}\left({\theta }_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \log f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_{1i}\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_2\right)/\partial {\theta }_2$ est la fonction de score de ${\theta }_2.$ Soulignons qu’on peut écrire ${\overline{S}}_2\left({\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in B}}{w}_{ib}E\left\{S_{i2}\left({\theta }_2\right)|x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}.$ Ainsi,

$$\begin{array}{ll}\frac{\partial }{\partial {\theta }_{1^{}}}{\overline{S}}_2\left(\theta \right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}\frac{\partial }{\partial {\theta }_{1^{}}}\left[\frac{{\displaystyle \int }{S}_{i2}\left({\theta }_2\right)f\left(y_1|x_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\right)f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_2\right)d{y}_1}{{\displaystyle \int }f\left(y_1|x_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\right)f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_2\right)d{y}_1}\right]\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}E\left\{S_{i2}\left({\theta }_2\right)S_{i1}\left({\theta }_1\right)\prime |x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}\hfill \\ \hfill & -{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}E\left\{S_{i2}\left({\theta }_2\right)|x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}E\left\{S_{i1}\left({\theta }_1\right)\prime |x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{ll}\frac{\partial }{\partial {\theta }_{2^{}}}{\overline{S}}_2\left(\theta \right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}\frac{\partial }{\partial {\theta }_{2^{}}}\left[\frac{{\displaystyle \int }{S}_{i2}\left({\theta }_2\right)f\left(y_1|x_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\right)f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_2\right)d{y}_1}{{\displaystyle \int }f\left(y_1|x_i\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_1\right)f\left(y_{2i}|x_i\mathrm{,}{y}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\theta }_2\right)d{y}_1}\right]\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}E\left\{\frac{\partial }{\partial {\theta }_{2^{}}}{S}_{i2}\left({\theta }_2\right)|x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}\hfill \\ \hfill & +{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}E\left\{S_{i2}\left({\theta }_2\right)S_{i2}\left({\theta }_2\right)\prime |x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}\hfill \\ \hfill & -{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}E\left\{S_{i2}\left({\theta }_2\right)|x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}E\left\{S_{2i}\left({\theta }_2\right)\prime |x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Maintenant, on peut estimer de manière convergente $\partial {\overline{S}}_2\left(\theta \right)/\partial {\theta }_{1^{}}$ par

$${\widehat{B}}_{21}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_{2ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right){\left\{S_{1ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_1\right)-{\overline{S}}_{1i}^{*}\left({\widehat{\theta }}_1\right)\right\}}^{\prime }\mathrm{,}(3.5)$$

où $S_{1ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_1\left({\widehat{\theta }}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\right),$ $S_{2ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_2\left({\widehat{\theta }}_2\mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right),$ et ${\overline{S}}_{1i}^{*}\left({\widehat{\theta }}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_1\left({\widehat{\theta }}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\right).$ De plus, on peut estimer $\partial {\overline{S}}_2\left(\theta \right)/\partial {\theta }_{2^{}}$ de manière convergente par

$$-{\widehat{I}}_{22}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{\dot{S}}_{2ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right)-{\widehat{B}}_{22}(3.6)$$

où

$${\widehat{B}}_{22}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_{2ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right){\left\{S_{2ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right)-{\overline{S}}_{2i}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right)\right\}}^{\prime }\mathrm{,}$$

${\dot{S}}_{2ij}^{*}\left({\theta }_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\partial S_2\left({\theta }_2\mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)/\partial {\theta }_{2^{}}$ et ${\overline{S}}_{2i}^{*}\left({\theta }_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_{2ij}^{*}\left({\theta }_2\right).$

En effectuant un développement en série de Taylor par rappport à ${\theta }_1,$

$$\begin{array}{ll}{\overline{S}}_2\left({\widehat{\theta }}_1\mathrm{,}{\theta }_2\right)\hfill & \cong {\overline{S}}_2\left({\theta }_1\mathrm{,}{\theta }_2\right)-E\left\{\frac{\partial }{\partial {\theta }_{1^{}}}{\overline{S}}_2\left(\theta \right)\right\}{\left[E\left\{\frac{\partial }{\partial {\theta }_{1^{}}}{S}_1\left({\theta }_1\right)\right\}\right]}^{-1}{S}_1\left({\theta }_1\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{S}}_2\left(\theta \right)+K{S}_1\left({\theta }_1\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

on peut écrire

$$V\left({\widehat{\theta }}_2\right)\doteq {\left\{E\left(\frac{\partial }{\partial {\theta }_{2^{}}}{\overline{S}}_2\right)\right\}}^{-1}V\left\{{\overline{S}}_2\left(\theta \right)+K{S}_1\left({\theta }_1\right)\right\}{\left\{E\left(\frac{\partial }{\partial {\theta }_{2^{}}}{\overline{S}}_2\right)\right\}}^{-1^{\prime }}\mathrm{.}$$

En écrivant

$${\overline{S}}_2\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\overline{s}}_{2i}\left(\theta \right)\mathrm{,}$$

où ${\overline{s}}_{2i}\left(\theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left\{S_{i2}\left({\theta }_2\right)|x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right\},$ on peut obtenir un estimateur convergent de $V\left\{{\overline{S}}_2\left(\theta \right)\right\}$ en appliquant un estimateur de la variance convergent par rapport au plan à ${\displaystyle {\sum }_{i\in B}}{w}_{ib}{\widehat{s}}_{2i}$ où ${\widehat{s}}_{2i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}{S}_{2ij}^{*}\left({\widehat{\theta }}_2\right).$ En vertu d’un échantillonnage aléatoire simple pour l’échantillon B, on obtient

$$\widehat{V}\left\{{\overline{S}}_2\left(\theta \right)\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_B^{-2}{\displaystyle \sum _{i\in B}}{\widehat{s}}_{2i}{\widehat{s}}_{2i}^{{\prime }^{}}\mathrm{.}$$

De plus, on peut estimer de manière convergente $V\left\{K{S}_1\left({\theta }_1\right)\right\}$ par

$${\widehat{V}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{K}\widehat{V}\left(S_1\right){\widehat{K}}^{\prime }\mathrm{,}$$

où $\widehat{K}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{B}}_{21}{\widehat{I}}_{11}^{-1},$ ${\widehat{B}}_{21}$ est défini selon l’équation (3.5), et ${\widehat{I}}_{11}\mathrm{<mo>=</mo>}-\partial S_1\left({\theta }_1\right)/\partial {\theta }_{1^{}}$ est évalué à ${\theta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\theta }}_1.$ Comme les deux termes ${\overline{S}}_2\left(\theta \right)$ et $S_1\left({\theta }_1\right)$ sont indépendants, on peut estimer la variance par

$$\widehat{V}\left(\widehat{\theta }\right)\doteq {\widehat{I}}_{22}^{-1}\left[\widehat{V}\left\{{\overline{S}}_2\left(\theta \right)\right\}+{\widehat{V}}_2\right]{\widehat{I}}_{22}^{-1^{\prime }}\mathrm{,}$$

où ${\widehat{I}}_{22}$ est défini selon l’équation (3.6).

De façon plus générale, on pourrait considérer l’estimation d’un paramètre  $\eta$ défini comme une racine de l’équation d’estimation de recensement ${\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}U\left(\eta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$ L’estimation de la variance de l’estimateur par imputation fractionnaire de $\eta$ calculée à partir de ${\displaystyle {\sum }_{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij}^{*}U\left(\eta \mathrm{<mo>;</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ est présentée à l’annexe B.

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