8. Conclusions

Andrés Gutiérrez, Leonardo Trujillo et Pedro Luis do Nascimento Silva

Précédent

Cet article a examiné un problème fréquent d’applications de l’échantillonnage. Au moyen des modèles en chaîne de superpopulation de Markov, une nouvelle méthodologie a été proposée, entraînant des estimateurs à peu près sans biais des flux bruts à différents moments pour le cas particulier des données provenant d’enquêtes complexes avec des poids d’échantillonnage inégaux. Les applications possibles de la méthodologie dans le présent article sont larges, notamment dans le cas des bureaux de statistique nationaux envisageant des enquêtes complexes. Les enquêtes sur la qualité de vie ou sur la population active s’intéressent habituellement à l’estimation des flux bruts. Toutefois, les extensions possibles de cette méthodologie pourraient être appliquées au secteur de la politique publique pour les évaluations d’impacts ayant une classification des répondants avant et après une intervention.

De plus, nous présentons une solution à un problème général, comme la non-réponse non ignorable. Des modèles où la non-réponse n’est pas différenciée pendant différentes périodes ou selon l’état de classification ont été envisagés. Cependant, dans certaines applications pratiques, il est possible que ce ne soit pas le cas.

L’approche de cet article considère que les poids déterminés par le plan d’échantillonnage pour les unités entre les deux périodes sont les mêmes. Dans le cadre de travaux plus poussés, on s’efforcera de considérer différents poids entre les vagues en envisageant une classification d’échantillonnage à deux phases ou une approche de calage sur marges à deux degrés. En effet, il serait intéressant de comparer le rendement de la méthodologie donné dans cet article à la méthode du calage sur marges. On pourrait considérer l’approche d’Ash (2005) et de Sikkel, Hox et de Leeuw (2008) pour calibrer en deux périodes, ainsi que l’approche de Särndal et Lundström (2005) pour traiter la non-réponse.

Des travaux plus poussés chercheront à élargir cette méthodologie pour des modèles en chaîne de Markov plus complexes afin de considérer différents poids d’échantillonnage. Une nouvelle définition des paramètres du modèle sera nécessaire. De plus, cette méthodologie pourrait être appliquée au cas des flux bruts dans plus de deux périodes lorsque les erreurs de classification sont prises en compte.

Remerciements

Les auteurs souhaitent remercier deux réviseurs anonymes de leurs commentaires constructifs au sujet d’une version précédente de l’article, qui ont donné lieu à la présente version améliorée. De plus, le premier auteur tient à remercier l’Universidad Santo Tomas de son soutien financier pendant ses études doctorales. Cet article est le fruit de la thèse de doctorat d’Andrés Gutiérrez de l’Universidad Nacional de Colombia, sous la supervision des deux autres auteurs.

Annexe

A.1 Preuves mathématiques des résultats de l’article

Dans cette section, les preuves mathématiques de certains des résultats les plus importants de l’article sont incluses.

Preuve du résultat 4.1

Preuve. En prenant le logarithme de la fonction de vraisemblance, et en le définissant comme $l$ , il s’ensuit que

$$\begin{array}{ll}{l}_U& =\ln \left(L_U\right)\hfill \\ & ={\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{N}_{ij}\ln \left(\psi {\rho }_{RR}{\eta }_i{p}_{ij}\right)+{\displaystyle \sum _i}{R}_i\ln \left({\displaystyle \sum _j}\psi \left(1-{\rho }_{RR}\right){\eta }_i{p}_{ij}\right)\hfill \\ & +{\displaystyle \sum _j}{C}_j\ln \left({\displaystyle \sum _i}\left(1-\psi \right)\left(1-{\rho }_{MM}\right){\eta }_i{p}_{ij}\right)+M\ln \left({\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left(1-\psi \right){\rho }_{MM}{\eta }_i{p}_{ij}\right).\hfill \end{array}$$

Notons que $N_{ij}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}}{y}_{1ik}{y}_{2jk}$ , $R_i={\displaystyle {\sum }_{k\in U}}{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)$ , $C_j={\displaystyle {\sum }_{k\in U}}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)$  et $M={\displaystyle {\sum }_{k\in U}}\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right).$  Après avoir pris en compte la somme de la population totale, le résultat est finalement obtenu.

Preuve du résultat 4.2

Preuve. En commençant par la définition de la pseudo-vraisemblance et en tenant compte des hypothèses du modèle, il s’ensuit que

$$\begin{array}{l}{l}_U={\displaystyle \sum _{k\in U}}[{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{y}_{1ik}{y}_{2jk}\left[\ln \left(\psi \right)+\ln \left({\rho }_{RR}\right)+\ln \left({\eta }_i\right)+\ln \left(p_{ij}\right)\right]\\ +{\displaystyle \sum _i}{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)\left[\ln \left(\psi \right)+\ln \left(1-{\rho }_{RR}\right)+\ln \left({\eta }_i\right)+\ln \left({\displaystyle \sum _j}{p}_{ij}\right)\right]\\ +{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\left[\ln (1-{\rho }_{MM})+\ln (1-\psi )+\ln \left({\displaystyle \sum _i}{\eta }_i{p}_{ij}\right)\right]\\ +\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)\left[\ln \left(1-\psi \right)+\ln \left({\rho }_{MM}\right)+\ln \left({\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{\eta }_i{p}_{ij}\right)\right]]\\ ={\displaystyle \sum _{k\in U}}{f}_k\left(\psi \mathrm{,}{\rho }_{RR}\mathrm{,}{\rho }_{MM}\mathrm{,}\eta \mathrm{,}p\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\right).\end{array}$$

Le score pour $\psi$  peut être défini comme suit :

$$\begin{array}{ll}{u}_k\left(\psi \right)& =\frac{\partial f_k\left(\psi \mathrm{,}{\rho }_{RR}\mathrm{,}{\rho }_{MM}\mathrm{,}\eta \mathrm{,}p\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\right)}{\partial \psi }\hfill \\ & =\frac{\left(1-\psi \right)\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{y}_{1ik}{y}_{2jk}}}+{\displaystyle {\sum }_i{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}\right)-\psi \left({\displaystyle {\sum }_j{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)\right)}{\psi \left(1-\psi \right)}.\hfill \end{array}$$

Alors, pour ce paramètre, les équations de pseudo-vraisemblance sont données par

$${\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k{u}_k\left(\psi \right)=0.$$

Pour la solution de $\psi$ , on constate que

$${\widehat{\psi }}_{mpv}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}}_i+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}+\widehat{M}}.$$

Au moyen d’un processus analogue pour les paramètres restants, le résultat est obtenu.

Preuve du résultat 4.3

Preuve. D’abord, il faut savoir que l’estimation pour ces paramètres est assujettie aux restrictions ${\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i=1$  et ${\displaystyle {\sum }_j}{p}_{ij}=1$ . Alors, le processus doit tenir compte de l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange. La fonction à maximiser, y compris ces restrictions, peut être exprimée comme suit :

$$l_U+{\lambda }_1\left({\displaystyle \sum _i}{\eta }_i-1\right)+{\lambda }_2\left({\displaystyle \sum _j}{p}_{ij}-1\right).$$

Alors, le score correspondant pour ${\eta }_i$  est défini par

$$\begin{array}{ll}{u}_k\left({\eta }_i\right)& =\frac{\partial f_k\left(\psi \mathrm{,}{\rho }_{RR}\mathrm{,}{\rho }_{MM}\mathrm{,}\eta \mathrm{,}p\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\right)}{\partial {\eta }_i}+\frac{\partial {\lambda }_1\left({\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i}-1\right)}{\partial {\eta }_i}\hfill \\ & =\frac{{\displaystyle {\sum }_j{y}_{1ik}{y}_{2jk}}+y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}{{\eta }_i}+{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\frac{p_{ij}}{{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)+{\lambda }_1.\hfill \end{array}$$

La dernière étape tient compte des restrictions, puisque ${\displaystyle {\sum }_i}{\displaystyle {\sum }_j}{\eta }_i{p}_{ij}={\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i{\displaystyle {\sum }_j}{p}_{ij}={\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i=1$ . Alors, pour ce paramètre, les équations de pseudo-vraisemblance sont données par

$${\displaystyle \sum _{k\in S}}{w}_k{u}_k\left({\eta }_i\right)=0.$$

Alors, après un peu d’algèbre, il s’ensuit que

$${\eta }_i=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{y}_{1ik}{y}_{2jk}}}+{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}+{\displaystyle {\sum }_j{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\left({\eta }_i{p}_{ij}/{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}}}{-{\displaystyle {\sum }_s{w}_k\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)}-{\lambda }_1{\displaystyle {\sum }_s{w}_k}}.$$

Par ailleurs, en utilisant la restriction ${\displaystyle {\sum }_i}{\eta }_i=1$  et en faisant la somme par rapport à $i$ , il s’ensuit que

$${\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{\widehat{N}}_{ij}+{\displaystyle \sum _i}{\widehat{R}}_i+{\displaystyle \sum _j}{\widehat{C}}_j=\left(-{\displaystyle \sum _s}{w}_k\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right)-{\lambda }_1{\displaystyle \sum _s}{w}_k\right).$$

Alors, nous obtenons enfin que

$${\eta }_i=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}+{\widehat{R}}_i+{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{C}}_j{\eta }_i{p}_{ij}/{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}}.$$

Par ailleurs, afin de trouver l’estimateur du maximum de pseudo-vraisemblance de $\left\{p_{ij}\right\}$ , le score pour $p_{ij}$  est défini comme suit :

$$\begin{array}{ll}{u}_k\left(p_{ij}\right)& =\frac{\partial f_k\left(\psi \mathrm{,}{\rho }_{RR}\mathrm{,}{\rho }_{MM}\mathrm{,}\eta \mathrm{,}p\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\right)}{\partial p_{ij}}+\frac{\partial {\lambda }_2\left({\displaystyle {\sum }_i{p}_{ij}}-1\right)}{\partial p_{ij}}\hfill \\ & =\frac{y_{1ik}{y}_{2jk}}{p_{ij}}+y_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)+y_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)\frac{{\eta }_i}{{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}}+\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right){\eta }_i+{\lambda }_2.\hfill \end{array}$$

Par conséquent,

$$p_{ij}=\frac{{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{y}_{1ik}{y}_{2jk}}+{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)p_{ij}{\eta }_i/{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}}}{-{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)}-{\displaystyle {\sum }_s{w}_k\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right){\eta }_i}-{\displaystyle {\sum }_s{w}_k{\lambda }_2}}.$$

En utilisant la restriction ${\displaystyle {\sum }_j}{p}_{ij}=1$  et en faisant la somme par rapport à $j$  des deux côtés, il s’ensuit que

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _j}{\widehat{N}}_{ij}+{\displaystyle \sum _j}{\widehat{C}}_j\frac{p_{ij}{\eta }_i}{{\displaystyle \sum _i}{\eta }_i{p}_{ij}}\\ =\left(-{\displaystyle \sum _s}{w}_k{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)-{\displaystyle \sum _s}{w}_k\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right){\eta }_i-{\displaystyle \sum _s}{w}_k{\lambda }_2\right).\end{array}$$

Alors, il s’ensuit que

$$p_{ij}=\frac{{\widehat{N}}_{ij}+\left({\widehat{C}}_j{\eta }_i{p}_{ij}/{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}+{\displaystyle {\sum }_j\left({\widehat{C}}_j{\eta }_i{p}_{ij}/{\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}}.$$

Maintenant, soulignons qu’il est impossible de résoudre la dernière expression pour $\left\{p_{ij}\right\}$  de façon à ce que la solution soit une expression fermée. Il en va de même en ce qui concerne l’expression pour $\left\{{\eta }_i\right\}$ . Cependant, il est possible d’utiliser une approche itérative, qui s’est avérée avoir une convergence rapide des problèmes d’estimation du maximum de vraisemblance pour les tableaux de contingence. Cette approche présume que l’estimateur du maximum de pseudo-vraisemblance peut se trouver après une itération conjointe des expressions suivantes à l’étape $\left(v+1\right)$ , pour $v\ge 1$ ,

$$\begin{array}{lll}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}^{(v+1)}\hfill & =\hfill & \begin{array}{l}\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}+{\widehat{R}}_i+{\displaystyle {\sum }_j\left({\widehat{C}}_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{R}}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{C}}_j}}\\ \end{array}\hfill \\ {\widehat{p}}_{ij\mathrm{,}mpv}^{(v+1)}\hfill & =\hfill & \frac{{\widehat{N}}_{ij}+\left({\widehat{C}}_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}{{\displaystyle {\sum }_j{\widehat{N}}_{ij}}+{\displaystyle {\sum }_j\left({\widehat{C}}_j{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}/{\displaystyle {\sum }_i{\widehat{\eta }}_i^{(v)}{\widehat{p}}_{ij}^{(v)}}\right)}}.\hfill \end{array}$$

Cette procédure itérative particulière a été utilisée au départ pour la formulation de modèles de vraisemblance imbriqués de Hocking et Oxspring (1971). Toutefois, elle semble également avoir été mise en œuvre par Blumenthal (1968), Reinfurt (1970), Chen et Fienberg (1974), Fienberg et Stasny (1983), Stasny (1987), Stasny (1988) et d’autres.

Preuve du résultat 5.5

Preuve. L’estimateur non linéaire ${\widehat{\psi }}_{mpv}$ , peut être exprimé comme une fonction des totaux estimés ${\widehat{N}}_{ij},{\widehat{R}}_i,{\widehat{C}}_j$  et $\widehat{M}$  (où $i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}G$  ). Alors,

$${\widehat{\psi }}_{mpv}=f\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{R}}_i\mathrm{,}{\widehat{C}}_j\mathrm{,}\widehat{M}\right).$$

Enfin, l’approximation du premier degré de Taylor au point $\left({\widehat{N}}_{ij}=N_{ij}\mathrm{,}{\widehat{R}}_i=R_i\mathrm{,}{\widehat{C}}_j=C_j\mathrm{,}\widehat{M}=M\right)$  est donnée par

$$\begin{array}{l}{\widehat{\psi }}_{mpv}={\psi }_U+a_1{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{N}}_{ij}-N_{ij}\right)+a_1{\displaystyle \sum _i}\left({\widehat{R}}_i-R_i\right)\\ +a_2{\displaystyle \sum _j}\left({\widehat{C}}_j-C_j\right)+a_2\left(\widehat{M}-M\right)\end{array}$$

où

$$a_1={\frac{\partial f\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{R}}_i\mathrm{,}{\widehat{C}}_j\mathrm{,}\widehat{M}\right)}{\partial {\widehat{R}}_i}|}_{\begin{array}{c}{\widehat{N}}_{ij}=N_{ij}\\ {\widehat{R}}_i=R_i\\ {\widehat{C}}_j=C_j\\ \widehat{M}=M\end{array}}={\frac{\partial f\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{R}}_i\mathrm{,}{\widehat{C}}_j\mathrm{,}\widehat{M}\right)}{\partial {\widehat{N}}_{ij}}|}_{\begin{array}{c}{\widehat{N}}_{ij}=N_{ij}\\ {\widehat{R}}_i=R_i\\ {\widehat{C}}_j=C_j\\ \widehat{M}=M\end{array}}=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M\right)}^2}$$

et

$$a_2={\frac{\partial f\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{R}}_i\mathrm{,}{\widehat{C}}_j\mathrm{,}\widehat{M}\right)}{\partial {\widehat{C}}_j}|}_{\begin{array}{c}{\widehat{N}}_{ij}=N_{ij}\\ {\widehat{R}}_i=R_i\\ {\widehat{C}}_j=C_j\\ \widehat{M}=M\end{array}}={\frac{\partial f\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{R}}_i\mathrm{,}{\widehat{C}}_j\mathrm{,}\widehat{M}\right)}{\partial \widehat{M}}|}_{\begin{array}{c}{\widehat{N}}_{ij}=N_{ij}\\ {\widehat{R}}_i=R_i\\ {\widehat{C}}_j=C_j\\ \widehat{M}=M\end{array}}=-\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{N}_{ij}}}+{\displaystyle {\sum }_i{R}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{C}_j}+M\right)}^2}.$$

Preuve du résultat 5.8

Preuve. Pour calculer la valeur prévue conformément au plan d’échantillonnage, il s’ensuit que

$$\begin{array}{ll}A{E}_p\left({\widehat{\psi }}_{mpv}\right)\hfill & \cong E_p\left({\widehat{\psi }}_0\right)\hfill \\ \hfill & ={\psi }_U+a_1{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}\left(E_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)-N_{ij}\right)+a_1{\displaystyle \sum _i}\left(E_p\left({\widehat{R}}_i\right)-R_i\right)\hfill \\ \hfill & +a_2{\displaystyle \sum _j}\left(E_p\left({\widehat{C}}_j\right)-C_j\right)+a_2\left(E_p\left(\widehat{M}\right)-M\right)\hfill \\ \hfill & ={\psi }_U.\hfill \end{array}$$

En suivant un processus semblable pour les estimateurs restants, on obtient le résultat. Cette preuve découle de l’application de la méthode de pseudo-vraisemblance qui induit les estimations sans biais pour les paramètres de population dans le modèle comme le prouve le corollaire 1 de Binder (1983, p. 291).

Preuve du résultat 5.10

Preuve. En supposant ${\widehat{\psi }}_{mpv}$ , en remplaçant les expressions pour ${\widehat{N}}_{ij},{\widehat{R}}_i,{\widehat{C}}_j,\widehat{M}$  et en faisant quelques simplifications algébriques, on peut exprimer la variance approximative comme suit :

$$AV\left({\widehat{\psi }}_{mpv}\right)=Var\left(a_1{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{\widehat{N}}_{ij}+a_1{\displaystyle \sum _i}{\widehat{R}}_i+a_2{\displaystyle \sum _j}{\widehat{C}}_j+a_2\widehat{M}\right)=Var\left({\displaystyle \sum _{k\in S}}\frac{E_k^{\psi }}{{\pi }_k}\right).$$

Initialement, nous avons

$$E_k^{\psi }=a_1{\displaystyle \sum _i}{\displaystyle \sum _j}{y}_{1ik}{y}_{2jk}+a_1{\displaystyle \sum _i}{y}_{1ik}\left(1-z_{2k}\right)+a_2{\displaystyle \sum _j}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right)+a_2\left(1-z_{1k}\right)\left(1-z_{2k}\right).$$

Alors, sachant que ${\displaystyle {\sum }_i}{\displaystyle {\sum }_j}{y}_{1ik}{y}_{2jk}={\displaystyle {\sum }_i}{y}_{1ik}={\displaystyle {\sum }_j}{y}_{2jk}=1$  et après un peu d’algèbre, il s’ensuit que

$$E_k^{\psi }=a_1\left(2-z_{2k}\right)+a_2\left(1-z_{1k}\right)\left(2-z_{2k}\right).$$

Après un processus analogue pour ${\widehat{\rho }}_{RR\mathrm{,}mpv}$  et ${\widehat{\rho }}_{MM\mathrm{,}mpv}$ , les autres expressions de la variance dans ce résultat sont obtenues.

Preuve du résultat 5.12

Preuve. On obtient la preuve en suivant l’expression (3.3) de Binder (1983) et en tenant compte de ce qui suit

$$\begin{array}{cc}{J}_{{\eta }_i}& =\frac{\partial {\displaystyle {\sum }_U{u}_k\left({\eta }_i\right)}}{\partial {\eta }_i}\hfill \\ J_{p_{ij}}& =\frac{\partial {\displaystyle {\sum }_U{u}_k\left(p_{ij}\right)}}{\partial p_{ij}}.\hfill \end{array}$$

De plus,

$$\begin{array}{l}\frac{\partial u_k\left({\eta }_i\right)}{\partial {\eta }_i}=-\frac{2y_{1ik}-y_{1ik}{z}_{2k}}{{\eta }_i^2}-\left(1-z_{1k}\right){\displaystyle \sum _j}\frac{y_{2jk}{p}_{ij}^2}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}^2}\\ \frac{\partial u_k\left(p_{ij}\right)}{\partial p_{ij}}=-\frac{y_{1ik}{y}_{2jk}}{p_{ij}^2}-\frac{{\eta }_i^2}{{\left({\displaystyle {\sum }_i{\eta }_i{p}_{ij}}\right)}^2}{y}_{2jk}\left(1-z_{1k}\right).\end{array}$$

Preuve du résultat 5.16

Preuve.

$$\begin{array}{ll}A{V}_p\left({\widehat{\mu }}_{ij\mathrm{,}mpv}\right)\hfill & =a_7^{2}Va{r}_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)+a_8^{2}A{V}_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)+a_9^{2}A{V}_p\left({\widehat{p}}_{ij}\right)\hfill \\ \hfill & +2a_7{a}_{8}Cov\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)+2a_7{a}_{9}Cov\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{p}}_{ij}\right)2a_8{a}_{9}Cov\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\mathrm{,}{\widehat{p}}_{ij}\right)\hfill \\ \hfill & \cong a_7^{2}Va{r}_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)+a_8^{2}A{V}_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)+a_9^{2}A{V}_p\left({\widehat{p}}_{ij}\right).\hfill \end{array}$$

Parce que

$$\begin{array}{ll}Cov\left({\widehat{N}}_{ij}\mathrm{,}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)& =E_p\left({\widehat{N}}_{ij}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)-E_p\left({\widehat{N}}_{ij}\right)E_p\left({\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)\hfill \\ & \cong {\widehat{N}}_{ij\mathrm{,}U}{\eta }_{i\mathrm{,}U}-{\widehat{N}}_{ij\mathrm{,}U}{\eta }_{i\mathrm{,}U}=0.\hfill \end{array}$$

Alors, il est possible d’obtenir ce qui suit :

$$E_p\left({\widehat{N}}_{ij}{\widehat{\eta }}_{i\mathrm{,}mpv}\right)\cong {\widehat{N}}_{ij\mathrm{,}U}\mathrm{,}{\eta }_{i\mathrm{,}U}$$

au moyen de la linéarisation de Taylor pour $\left({\widehat{N}}_{ij\mathrm{,}U}\mathrm{,}{\eta }_{i\mathrm{,}U}\right)$ . Les autres covariances sont obtenues de façon semblable.

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