4. Effet de l’utilisation de paramètres de coût estimés

David G. Steel et Robert Graham Clark

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En pratique, les coûts $c_i$ ne sont pas connus précisément. Supposons qu’ils sont remplacés par les estimations ${\widehat{c}}_i=b_i{c}_i$ . L’utilisation de la variable auxiliaire et des coûts estimés dans les probabilités optimales implique que ${\pi }_i\propto z_i^{1/2}{\widehat{c}}_i^{-1/2}.$ Pour faire des comparaisons pour les mêmes coûts prévus,

$${\pi }_i=C_f\frac{z_i^{1/2}{\widehat{c}}_i^{-1/2}}{{\displaystyle {\sum }_{j\in U}{z}_j^{1/2}{\widehat{c}}_j^{-1/2}{c}_j}}\mathrm{.}$$

La variance anticipée résultante est

$$A{V}_{ests}={\sigma }^2{C}_f^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{\widehat{c}}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\right)\left({\displaystyle \sum _{j\in U}}{z}_j^{1/2}{\widehat{c}}_j^{-1/2}{c}_j\right)-{\sigma }^2{\displaystyle \sum _{i\in U}}{z}_i\mathrm{.}(4.1)$$

Si nous supposons que les valeurs de $b_i$ ne sont pas reliées aux valeurs de $c_i$ et $z_i,$ alors

$$A{V}_{ests}={\sigma }^2{C}_f^{-1}{\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\right)}^2{N}^{-2}\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{-1/2}\right)\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{1/2}\right)-{\sigma }^2{\displaystyle \sum _{i\in U}}{z}_i,(4.2)$$

Voir l’annexe pour des renseignements détaillés. Si le coefficient de variation de $b_i$ est faible, l’approximation par développement en série de Taylor donne $N^{-2}{\displaystyle \sum }{b}_i^{-1/2}{\displaystyle \sum }{b}_i^{1/2}\approx 1+\left(1/4\right)C_b^2.$ En appliquant cela, ainsi que les mêmes approximations qu’à la sous-section 3.1, (4.2) devient

$$A{V}_{ests}=\frac{{\sigma }^2{C}_f^{-1}{N}^2\overline{c}\overline{z}\left(1+\frac{1}{4}{C}_b^2\right)}{\left(1+\frac{1}{4}{C}_c^2\right)\left(1+\frac{1}{4}{C}_z^2\right)}.(4.3)$$

Voir l’annexe pour des renseignements détaillés.

La comparaison de (4.3) et (3.7) montre qu’utiliser des paramètres de coûts estimés au lieu de faire totalement abstraction des coûts a pour effet de multiplier la variance anticipée par $\left[1+\left(1/4\right)C_b^2\right]/\left[1+\left(1/4\right)C_c^2\right].$ Par conséquent, l’utilisation de l’information sur les coûts est valable à condition que $C_b<C_c.$ Le coefficient de variation des facteurs d’erreur doit être plus faible que celui des coûts par unité réels sur l’ensemble de la population.

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