3. Plan optimal avec paramètres de coût et de variance connus

David G. Steel et Robert Graham Clark

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3.1 Plan assisté par modèle optimal

Les valeurs de $\left({\pi }_i:i\in U\right)$ qui minimisent (2.3) sous la contrainte (2.4) sont

$${\pi }_i=C_f\frac{z_i^{1/2}{c}_i^{-1/2}}{{\displaystyle {\sum }_{j\in U}{z}_j^{1/2}{c}_j^{1/2}}}\propto z_i^{1/2}{c}_i^{-1/2}(3.1)$$

et la variance anticipée résultante est

$$A{V}_{opt}=E_{M}va{r}_p\left[{\widehat{t}}_y\right]={\sigma }^2{C}_f^{-1}{\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\right)}^2-{\sigma }^2{\displaystyle \sum _{i\in U}}{z}_i\mathrm{.}(3.2)$$

Cette expression peut être obtenue facilement en utilisant les multiplicateurs de Lagrange ou l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et généralise Särndal et coll. (1992, résultat 12.2.1, p. 452) pour tenir compte des coûts inégaux. Une plus grande probabilité de sélection est attribuée aux unités dont la variance est plus élevée ou dont le coût est plus faible. Toutefois, dans (3.1), les racines carrées de $z_i$ et $c_i$ signifient que, dans de nombreuses enquêtes, les probabilités de sélection ne varient pas spectaculairement.

Dans le cas particulier de l’échantillonnage stratifié où $c_i={\overline{c}}_h$ et $z_i={\overline{z}}_h$ pour les unités $i$ dans la strate $h,$ (3.1) devient la répartition stratifiée optimale habituelle avec ${\pi }_i\propto \sqrt{{\overline{z}}_h/{\overline{c}}_h},$ de sorte que $n_h\propto N_h\sqrt{{\overline{z}}_h/{\overline{c}}_h}.$

Nous supposons que le dernier terme de (3.2), qui représente la correction pour population finie, est négligeable. L’application de (2.5) donne :

$$A{V}_{opt}\approx \frac{{\sigma }^2{C}_f^{-1}{N}^2\overline{c}\overline{z}{\left(1+C_{\sqrt{c},\sqrt{z}}\right)}^2}{\left(1+C_{\sqrt{c}}^2\right)\left(1+C_{\sqrt{z}}^2\right)}(3.3)$$

où $C_{\sqrt{c}}$ et $C_{\sqrt{z}}$ désignent les coefficients de variation de population de $\sqrt{c_i}$ et $\sqrt{z_i},$ respectivement. Pour que nos résultats puissent être interprétés, nous supposons que les coûts par unité $c_i$ et les variances $\sigma z_i$ ne sont pas reliés, de sorte que $C_{\sqrt{c}\mathrm{,}\sqrt{z}}=0.$ Cette hypothèse n’est pas toujours satisfaite en pratique, mais toute relation entre $c_i$ et $z_i$ sera propre à un échantillon particulier et pourrait être positive ou négative. Afin de dégager des principes généraux, il est logique d’ignorer ce genre de relation. En pratique, il est souvent raisonnable de supposer également que $C_{\sqrt{c}}$ et $C_{\sqrt{z}}$ sont faibles. Un développement en série de Taylor montre alors que $C_c^2\approx 4C_{\sqrt{c}}^2$ et $C_z^2\approx 4C_{\sqrt{z}}^2.$ En regroupant ces approximations, (3.3) devient

$$A{V}_{opt}=\frac{{\sigma }^2{C}_f^{-1}{N}^2\overline{c}\overline{z}}{\left(1+\frac{1}{4}{C}_c^2\right)\left(1+\frac{1}{4}{C}_z^2\right)}.(3.4)$$

Voir l’annexe pour les détails de ces calculs.

Ignorer les coûts

Si l’on fait abstraction des coûts, alors (3.1) fait penser que ${\pi }_i\propto z_i^{1/2}.$ Pour faire des comparaisons pour le même coût prévu, $C_f,$

$${\pi }_i=C_f\frac{z_i^{1/2}}{{\displaystyle {\sum }_{j\in U}{z}_j^{1/2}{c}_j}}(3.5)$$

et la variance anticipée résultante est

$$A{V}_{nocosts}={\sigma }^2{C}_f^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{z}_i^{1/2}\right)\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i{z}_i^{1/2}\right)-{\sigma }^2{\displaystyle \sum _{i\in U}}{z}_i\mathrm{.}(3.6)$$

En effectuant des calculs similaires à ceux utilisés à la section 3.1, nous obtenons

$$A{V}_{nocosts}\approx \frac{{\sigma }^2{C}_f^{-1}{N}^2\overline{c}\overline{z}}{\left(1+\frac{1}{4}{C}_z^2\right)}\mathrm{.}(3.7)$$

Voir l’annexe pour des renseignements détaillés. La comparaison de (3.7) et de (3.4) montre que tenir compte des coûts dans le plan de sondage donne lieu à la division de la variance anticipée par $\left(1+\left(1/4\right)C_c^2\right).$

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