2. Répliques des différences successives

Stephen Ash

Précédent | Suivant

2.1  Définition de la méthode des répliques des différences successives

F et T présentent une méthode qu'ils nomment successive difference replication (SDR), c.-à-d. répliques des différences successives, qui permet d'estimer la variance sous échantillonnage $sys$ en imitant ${\widehat{v}}_{\text{SD}2}\left(\widehat{Y}\right),$ ce qui signifie que l'estimateur SDR est équivalent ou quasi équivalent à ${\widehat{v}}_{\text{SD}2}\left(\widehat{Y}\right)$ . Nous montrons comment la méthode SDR peut être appliquée pour produire les facteurs et les poids de rééchantillonnage pour un estimateur de variance par rééchantillonnage général qui est équivalent à l'estimateur SD2. Avant de définir l'estimateur SDR dans le premier théorème, nous établissons certains termes et fournissons un lemme qui est utilisé dans le théorème.

Un schéma d'attribution de lignes, ou plus simplement schéma AL, correspond à l'attribution de deux lignes d'une matrice à chaque unité de l'échantillon. Nous désignons habituellement la paire de lignes par $\left(a_i,b_i\right)$ pour l'unité  $i.$ Une boucle connectée est un schéma AL qui ne répète aucune des lignes, c.-à-d. $a_i\ne a_j$ et $b_i\ne b_j$ pour tous $i$ et $j$ dans la boucle connectée, et qui est circulaire, c.-à-d. $b_i=a_{i+1}$ pour tout $i<n$ et $b_n=a_1.$ Un exemple de boucle connectée pour trois observations est (1,2), (2,3), (3,1).

Une matrice de décalage $S$ peut être utilisée pour déplacer les lignes ou les colonnes d'une matrice. Nous expliquons le processus de déplacement des lignes, qui est similaire au processus de déplacement des colonnes. Une matrice de décalage est une matrice carrée dont tous les éléments valent 0, à l'exception d'une valeur 1 unique dans chaque colonne. Si nous voulons déplacer la ligne  $p$ jusqu'à la ligne  $q,$ nous plaçons une valeur 1 dans la $q^{\text{e}}$ ligne de la $p^{\text{e}}$ colonne et des 0 ailleurs. Nous insistons sur le fait que l'ordre est important lorsqu'on applique une matrice de décalage à une autre matrice. L'application de $S$ à une autre matrice carrée $A$ sous la forme $AS$ déplace les colonnes de $A,$ mais sous la forme $SA,$ elle déplace les lignes de $A.$

Lemme : Soit $S_1,S_2,\dots ,S_c$ les matrices de décalage, alors $\text{bloc}\left({S^{\prime }}_1{S}_1,{S^{\prime }}_2{S}_2,\dots ,{S^{\prime }}_C{S}_C\right)=I.$

Preuve. Nous commençons par définir une matrice diagonale par blocs générale $A$ qui est formée par les matrices carrées $A_1,A_2,\dots ,A_C$ comme

$$A=\text{bloc}\left(A_1,A_2,\dots ,A_C\right)=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& A_2& \mathrm{...}& ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \mathrm{...}& A_C\end{array}\right].$$

On peut montrer que, si $A$ et $B$ sont toutes deux des matrices diagonales par blocs et que les matrices carrées $A_1,A_2,\dots ,A_C$ ont les mêmes dimensions que $B_1,B_2,\dots ,B_C,$ respectivement, alors $AB=\text{bloc}\left(A_1{B}_1,A_2{B}_2,\dots ,A_C{B}_C\right).$ Pour une matrice de décalage donnée, nous savons aussi que $S^{\prime }S=I,$ puisque le décalage d'une ligne vers le bas d'une matrice de décalage est $I.$ Le lemme découle des deux éléments qui précèdent.

Nous définissons aussi une matrice de décalage d'une ligne comme étant une matrice de décalage qui décale toutes les lignes d'une autre matrice d'une ligne vers le bas et transfère la dernière ligne à la première ligne, ou qui décale toutes les lignes d'une autre matrice d'une ligne vers le haut et transfère la première ligne à la dernière ligne. Si $S_D$ est une matrice de décalage d'une ligne qui déplace les lignes vers le bas, tous les éléments de la diagonale supérieure et l'élément inférieur gauche de la matrice ont une valeur de 1, par exemple $S_1.$ De même, si $S_U$ est une matrice de décalage d'une ligne qui déplace les lignes vers le haut, tous les éléments de la diagonal inférieure et l'élément supérieur droit de la matrice ont une valeur de 1, par exemple la matrice $S_2$ subséquemment définie. Notons la propriété que $S_D={S^{\prime }}_U$ et $S_U={S^{\prime }}_D;$ donc, $S_U+{S^{\prime }}_U=S_D+{S^{\prime }}_D.$ Nous présentons maintenant le théorème principal de l'article qui établit les conditions sous lesquelles l'estimateur SDR est équivalent à l'estimateur SD2.

Théorème 1 : Soit $n$ la taille d'un échantillon $sys$ donné et ${\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }=\left[{\stackrel{⌣}{y}}_1{\stackrel{⌣}{y}}_2\dots {\stackrel{⌣}{y}}_n\right]$ , le vecteur d'observations pondérées de dimension $n\times 1$ , où l'ordre des observations reflète l'ordre de tirage de l'échantillon $sys.$

• (a) Choisir une matrice de Hadamard d'ordre $k$ $\left(H{H}^{\prime }=kI\right),$ où $n\le k.$
• (b) Choisir un schéma d'attribution de lignes (AL) qui assigne deux lignes $\left(a_i,b_i\right)$ à chaque unité $i$ de l'échantillon. Poser que le schéma AL définit $C$ boucles connectées $c$ contenant chacune $m_c$ unités.
• (c) Choisir les $m=n$ lignes de $H$ correspondant au schéma AL pour créer la matrice $M$ de dimensions $m\times k$ . L'ordre des lignes de $M$ doit correspondre à la première ligne du schéma AL. Par exemple, la première ligne de $M$ doit être la ligne $a_{i=1}$ de $H,$ la deuxième ligne doit être la ligne $a_{i=2}$ de $H,$ etc. Ensuite, définir la matrice de décalage de dimensions $m\times m$ comme étant $S=\text{bloc}\left(S_1,S_2,\dots ,S_C\right)$ , où les matrices de décalage d'une ligne $S_c$ de dimensions $m_c\times m_c$ sont définies en vue d'identifier la position de la deuxième ligne $b_i$ du schéma AL dans $M.$ En général, chaque matrice de décalage $S_c$ sera une matrice de décalage vers le haut, une matrice de décalage vers le bas ou une matrice de décalage de dimensions $2\times 2$ (voir la matrice $S_4$ subséquemment définie).

Définir l'estimateur du total $r$ pour chaque réplique comme ${\widehat{Y}}_r={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{f}_{i,r}{\stackrel{⌣}{y}}_i,}$ où la matrice des facteurs de rééchantillonnage est $F=1_m{1^{\prime }}_k+\left(2^{-3/2}{I}_m-2^{-3/2}S\right)M$ et les valeurs individuelles dans la matrice sont définies pour chaque unité $i$ (lignes de $F$ ) de la réplique $r$ (colonnes de $F$ ) comme étant $f_{i,r}=1+2^{-3/2}{h}_{a_i,r}-2^{-3/2}{h}_{b_i,r}.$ $I_m$ est une matrice identité de dimensions $m\times m$ et $1_m$ est un vecteur de dimension $m\times 1$ de 1. Alors, l'estimateur de variance SDR ${\widehat{v}}_{\text{SDR}}\left(\widehat{Y}\right)=\left(1-f\right)4/k{\displaystyle {\sum }_{r=1}^m{\left({\widehat{Y}}_r-\widehat{Y}\right)}^2}$ est équivalent à la somme des $C$ différents estimateurs SD2.

Preuve. L'estimateur SDR peut s'écrire en notation matricielle sous la forme

$$\begin{array}{l}\left(1-f\right)\frac{4}{k}\left({\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }\left(1_m{1^{\prime }}_k+\left(2^{-3/2}{I}_m-2^{-3/2}S\right)M\right)-{\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }{1}_m{1^{\prime }}_k\right){\left({\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }\left(1_m{1^{\prime }}_k+\left(2^{-3/2}{I}_m-2^{-3/2}S\right)M\right)-{\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }{1}_m{1^{\prime }}_k\right)}^{\prime }\\ =\left(1-f\right)\frac{4}{k}{\left(2^{-3/2}\right)}^2{\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }\left(I_m-S\right)M{M}^{\prime }{\left(I_m-S\right)}^{\prime }\stackrel{⌣}{y}\end{array}$$

Comme $\left\{lignes\text{de}M\right\}\subseteq \left\{lignes\text{de}H\right\}$ , on peut montrer que $M{M}^{\prime }=kI.$ Partant de ce résultat, la variance devient

$$\begin{array}{cc}\hfill \left(1-f\right)\frac{1}{2k}{\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }\left(I_m-S\right)\left(k{I}_m\right){\left(I_m-S\right)}^{\prime }\stackrel{⌣}{y}& =\frac{1}{2}\left(1-f\right){\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }\left(I_m-S\right){\left(I_m-S\right)}^{\prime }\stackrel{⌣}{y}\hfill \\ & =\frac{1}{2}\left(1-f\right){\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }\left(2I_m-S-S^{\prime }\right)\stackrel{⌣}{y}\hfill \end{array}$$

La dernière ligne découle du lemme et a une valeur constante pour tout choix de $H.$ En notant la structure diagonale par blocs de $S,$ nous pouvons écrire l'estimateur sous la forme

$$\frac{1}{2}\left(1-f\right){\displaystyle \sum _{c=1}^C{{\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }}_c\left(2I_m-S_c-{S^{\prime }}_c\right){\stackrel{⌣}{y}}_c},$$

où ${\stackrel{⌣}{y}}_c$ correspond au vecteur des observations pondérées dans la boucle connectée $c,$ qui est un résultat de la partition du vecteur d'observations pondérées pour donner ${\stackrel{⌣}{y}}^{\prime }=\left[{\stackrel{⌣}{y}}_{c=1}{\stackrel{⌣}{y}}_{c=2}\dots {\stackrel{⌣}{y}}_{c=C}\right].$ Le choix du schéma AL ne modifie pas le résultat, puisque nous savons que $2I_m-S_c-{S^{\prime }}_c$ est constant pour une matrice de décalage d'une ligne vers le haut ou vers le bas $S_c.$

Note 1 : Le théorème 1 définit l'estimateur SDR en fonctions des facteurs de rééchantillonnage, mais nous pouvons aussi l'exprimer en fonction des poids de rééchantillonnage sous la forme

$$\left(1-f\right)\frac{4}{k}{y}^{\prime }\left(W-1_m{1^{\prime }}_k\right){\left(W-1_m{1^{\prime }}_k\right)}^{\prime }y.$$

Ici, $W$ est la matrice de dimensions $m\times k$ des poids de rééchantillonnage définie comme étant $W=w*F,$ où $w=\left(w_1,w_2,\dots ,w_n\right)$ est le vecteur de poids de sondage pour les $n$ unités de l'échantillon et l'opérateur $*$ multiplie les éléments du vecteur $w$ par chacune des colonnes de $F,$ c.-à-d. que, si $W_{i,r}$ et $w_i$ sont des entrées de $W$ et $w,$ respectivement, les entrées de $W$ sont définies comme étant $W_{i,r}=w_i\times f_{i,r}.$

Note 2 : Huang et Bell (2009) définissent similairement l'estimateur SDR sous une forme quadratique et l'utilisent pour établir certaines propriétés générales de l'estimateur quand $y_k$ est $\text{i}\text{.i}\text{.d}\text{.}\left(\mu ,{\sigma }^2\right).$ Nous souhaitons interpréter la façon dont l'estimateur SDR fonctionne et la qualité de son fonctionnement. Définir la forme quadratique avec des matrices de décalage et des boucles connectées permet de mieux comprendre les attributions de lignes et l'efficacité de l'estimateur.

Pour un échantillon de grande taille, il n'est habituellement pas pratique d'utiliser une matrice $H$ où $n<k.$ Le deuxième théorème offre un moyen d'utiliser $H$ en prenant $k<n$ pour produire une plus grande matrice de Hadamard $\tilde{H}$ où $k\ge n$ qui résultera en un estimateur SDR équivalent à l'estimateur SD2. Le deuxième théorème étoffe et clarifie aussi les instructions données par F et T pour le cas où $n>k.$ Dans leurs instructions, F et T utilisent le mot cycle pour désigner chaque tranche de $m_d\le k$ unités de l'échantillon. Le théorème 2 n'impose pas de contraintes sur le schéma AL, mais suit à part cela les conditions établies par F et T.

Théorème 2 : Soit $n$ la taille d'un échantillon $sys$ donné.

• (a) Choisir une matrice de Hadamard $H_A$ d'ordre $k_A,$ où $n>k_A.$
• (b) Choisir un schéma AL qui assigne les lignes de $H_A$ à l'échantillon. En gardant l'ordre original, répartir les $n$ unités de l'échantillon en $D$ cycles. Chaque cycle $d$ comprend $m_d\le k_A$ unités. Dans chaque cycle, le schéma AL définit une ou plusieurs boucles connectées.
• (c) Choisir une matrice de Hadamard semi-normale $H_B$ d'ordre $k_B$ et l'utiliser pour définir une plus grande matrice de Hadamard $\tilde{H}$ d'ordre $\tilde{k}$ générée à partir de la matrice $H_A$ originale. Cela peut se faire en appliquant une construction de Welsch à $H_A,$ c.-à-d. $\tilde{H}=H_B\otimes H_A.$
• (d) Choisir les $m={\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{m}_d}$ lignes de $\tilde{H}$ qui correspondent au schéma AL pour créer la matrice $\tilde{M}$ de dimensions $m\times \tilde{k}$ . L'ordre des lignes de $\tilde{M}$ doit correspondre à la première ligne du schéma AL. Ensuite, définir la matrice de décalage de dimensions $m\times m$ comme étant $S=\text{bloc}\left(S_1,S_2,\dots ,S_D\right)$ où les matrices $S_d$ de dimensions $m_d\times m_d$ identifient la position de la deuxième ligne $b_i$ du schéma AL dans $\tilde{M}.$

Dans ces conditions, l'estimateur SDR est défini comme

$${\widehat{v}}_{\text{SDR}}\left(\widehat{Y}\right)=\left(1-f\right)\frac{4}{\tilde{k}}{\displaystyle \sum _{r=1}^{\tilde{k}}{\left({\widehat{Y}}_r-\widehat{Y}\right)}^2}$$

et est équivalent à la somme d'au moins $D$ estimateurs SD2.

Preuve. Le résultat découle de l'application du théorème 1. La valeur particulière de $D$ découle du fait que chacun des $D$ cycles peut posséder une ou plusieurs boucles connectées, de manière à avoir un total d'au moins $D$ boucles connectées.

Exemple 1 : Soit $n=14$ et choisissons la matrice de Hadamard non normale $H_A=H_{4b}$ d'ordre $k_A=4.$ Le nombre de cycles est $D=4$ et le schéma AL dans chaque cycle est donné dans la deuxième colonne du tableau 2.1 pour chaque unité. Définissons $\tilde{H}$ d'ordre $\tilde{k}=$ 16 en utilisant une construction de Welsh de la matrice de Hadamard normale originale comme il suit

$$H_{16}=H_{4a}\otimes H_{4b}=\left[\begin{array}{rrrr}\hfill H_{4b}& \hfill H_{4b}& \hfill H_{4b}& \hfill H_{4b}\\ \hfill H_{4b}& \hfill -H_{4b}& \hfill H_{4b}& \hfill -H_{4b}\\ \hfill H_{4b}& \hfill H_{4b}& \hfill -H_{4b}& \hfill -H_{4b}\\ \hfill H_{4b}& \hfill -H_{4b}& \hfill -H_{4b}& \hfill H_{4b}\end{array}\right]$$

où

$$H_{4a}=\left[\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 1& \hfill 1& \hfill 1\\ \hfill 1& \hfill -1& \hfill 1& \hfill -1\\ \hfill 1& \hfill 1& \hfill -1& \hfill -1\\ \hfill 1& \hfill -1& \hfill -1& \hfill 1\end{array}\right]\text{ et }{H}_{4b}=\left[\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill -1& \hfill 1& \hfill 1\\ \hfill -1& \hfill -1& \hfill -1& \hfill 1\\ \hfill 1& \hfill -1& \hfill -1& \hfill -1\\ \hfill 1& \hfill 1& \hfill -1& \hfill 1\end{array}\right].$$

En utilisant $H_{16},$ nous pouvons calculer les facteurs de rééchantillonnage pour 16 répliques comme au tableau 2.1. En notation matricielle, $\tilde{M}$ englobe toutes les lignes de $\tilde{H}=H_{16}$ sauf les lignes 13 et 16. Les lignes de $\tilde{M}$ sont ordonnées par $a_i,$ la première ligne assignée dans le schéma AL. La matrice de décalage est définie comme $S=\text{bloc}\left(S_1,S_2,S_3,S_4\right),$ où les matrices de décalage correspondant à chaque cycle sont

$$S_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]S_2=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right],S_3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right],S_4=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right].$$

Tableau 2.1
Matrice des facteurs de rééchantillonnage $\left(f_{i,r}\right)$ pour l'exemple 1
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats des matrice des facteurs de rééchantillonnage $\left(f_{i,r}\right)$ . Les données sont présentées selon Unité # (titres de rangée) et AL $H_A=H_{4b}$ , AL $\tilde{H}=H_{16}$ , Cycle, Réplique (figurant comme en-tête de colonne).

Unité #	AL $H_A=H_{4b}$	AL $\tilde{H}=H_{16}$	Cycle	Réplique
				1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	(1,2)	(1,2)	1	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0
2	(2,3)	(2,3)		0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7
3	(3,4)	(3,4)		1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3
4	(4,1)	(4,1)		1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0
5	(1,3)	(5,7)		1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3
6	(3,1)	(7,5)	2	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7
7	(2,4)	(6,8)		0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0
8	(4,2)	(8,6)		1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0
9	(1,4)	(9,12)		1,0	0,3	1,7	1,0	1,0	0,3	1,7	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0
10	(4,3)	(12,11)	3	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3
11	(3,2)	(11,10)		1,7	1,0	1,0	0,3	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7
12	(2,1)	(10,9)		0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	0,3	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0	1,7	1,0
13	(2,3)	(14,15)	4	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3	1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7
14	(3,2)	(15,14)		1,7	1,0	1,0	0,3	0,3	1,0	1,0	1,7	0,3	1,0	1,0	1,7	1,7	1,0	1,0	0,3

Étant donné les facteurs de rééchantillonnage du tableau 2.1, l'estimateur SDR est équivalent à la somme de cinq estimateurs SD2 différents, un pour chaque boucle connectée du schéma AL, c.-à-d.

$$\left(1-f\right)\frac{4}{\tilde{k}}{\displaystyle \sum _{r=1}^{\tilde{k}}{\left({\widehat{Y}}_r-\widehat{Y}\right)}^2}=\frac{1}{2}\left(1-f\right)\left[\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=2}^4{\left(y_i-y_{i-1}\right)}^2}+{\left(y_4-y_1\right)}^2+2{\left(y_6-y_5\right)}^2\\ +2{\left(y_8-y_7\right)}^2+{\displaystyle \sum _{i=10}^{12}{\left(y_i-y_{i-1}\right)}^2}+{\left(y_{12}-y_9\right)}^2\\ +2{\left(y_{13}-y_{13}\right)}^2\end{array}\right].\text{ (2}\text{.1)}$$

Il convient de souligner quelques éléments concernant l'exemple 1. Premièrement, le nombre de répliques nécessaires est supérieur à la taille de l'échantillon. Cela se produit lorsque $m_d$ n'est pas constant dans tous les cycles. Le quatrième cycle ne comprend que deux unités d'échantillon, mais nous avons dû utiliser quatre répliques de chaque $H_{4b}$ parce qu'au moins un des cycles utilisait quatre lignes.

Pour rendre l'exemple plus intéressant, nous avons choisi une matrice de Hadamard non normale $H_{4b}$ pour $H_A.$ Cette matrice de Hadamard non normale a été construite en partant de la matrice de Hadamard normale $H_{4a}$ et en inversant la procédure décrite par Hedayat et Wallis (1978) pour trouver une matrice de Hadamard normale.Ici nous avons simplement changé le signe de tous les éléments de la deuxième ligne, puis nous avons changé le signe de tous les éléments de la deuxième colonne.

Si nous avions utilisé la matrice de Hadamard normale $H_{4a}$ pour $H_A$ ainsi que $H_B,$ les facteurs de rééchantillonnage pour les répliques 1, 5, 9 et 13 auraient tous été égaux à 1,0. Nous disons qu'une réplique est « morte » quand chaque élément reçoit une valeur de 1,0 et que l'estimation basée sur la réplique est donc égale à l'estimation originale.Dans l'estimateur SDR, les répliques mortes sont tout à fait valables et dues simplement à la façon dont les facteurs de rééchantillonnage sont répartis par la matrice de Hadamard.En cas de réplique morte, de nombreuses valeurs 1,0 se trouvent dans celle-ci, et la composition des autres répliques est plus mélangée, avec des valeurs de 1,7 et de 0,3.Cependant, toutes les répliques, même les répliques mortes, sont nécessaires pour l'estimation.

La valeur réelle du théorème 2 tient au fait qu'il permet de comprendre la prescription originale de F et T pour l'estimateur SDR quand $n>k.$ Dans F et T, le schéma AL est appliqué de manière répétée aux $m=k-1$ lignes de $H_A$ (en sautant la première ligne de $H_A$ ), où $H_A$ est choisie comme une matrice de Hadamard normale. Les répliques sont ensuite formées en utilisant les $k_A$ colonnes de $H_A.$ Si nous appliquons le cadre plus vaste du théorème 2, nous dirions qu'ils ont utilisé implicitement une matrice normale $H_B,$ qui donne $\tilde{H}=H_B\otimes H_A$ et n'inclut que les $k_A$ premières répliques dans l'estimateur de variance. Puisqu'un sous-ensemble des répliques nécessaires pour que l'estimateur SDR soit équivalent à l'estimateur SD2 est utilisé, nous disons que l'estimateur résultant est une approximation de l'estimateur SD2.

Exemple 1 (suite) : Si nous utilisons seulement les quatre premières répliques du tableau 2.1, l'estimateur SDR sera équivalent à (2.1) plus le terme de reste $R$ qui est défini comme

$$R=\left[\begin{array}{l}\left(y_1-y_2\right)\left(y_8-y_7\right)+\left(y_1-y_2\right)\left(y_{11}-y_{12}\right)+\left(y_1-y_2\right)\left(-y_{13}+y_{14}\right)\\ +\left(y_8-y_7\right)\left(y_{11}-y_{12}\right)+\left(y_8-y_7\right)\left(y_{14}-y_{13}\right)+\left(y_{11}-y_{12}\right)\left(y_{14}-y_{13}\right)\\ +\left(y_4-y_3\right)\left(y_8-y_7\right)+\left(y_4-y_3\right)\left(y_{10}-y_9\right)+\left(y_8-y_7\right)\left(y_{10}-y_9\right)\\ +\left(y_1-y_4\right)\left(y_5-y_6\right)+\left(y_1-y_4\right)\left(y_9-y_{12}\right)+\left(y_5-y_6\right)\left(y_9-y_{12}\right)\\ +\left(y_2-y_3\right)\left(y_5-y_6\right)+\left(y_2-y_3\right)\left(y_{10}-y_{11}\right)+\left(y_2-y_3\right)\left(y_{13}-y_{14}\right)\\ +\left(y_5-y_6\right)\left(y_{10}-y_{11}\right)+\left(y_5-y_6\right)\left(y_{13}-y_{14}\right)+\left(y_{10}-y_{11}\right)\left(y_{13}-y_{14}\right)\end{array}\right]$$

Notons que $R$ comprend le même nombre de termes positifs et négatifs, qui ne s'annulent pas exactement, mais qui font que la valeur de $R$ est habituellement proche de zéro. De même, utiliser les répliques 1 à $q\times k_A,$ où $q=1,2,\dots ,k_B,$ donne un reste $R$ comprenant un nombre égal de termes positifs et de termes négatifs. Ce n'est qu'en utilisant toutes les répliques de $\tilde{H}$ que le terme de reste $R$ est nul.

Exemple 2 : La taille de l'échantillon mensuel de la Current Population Survey (CPS) est de $n=$  72 000 ménages par mois (U.S. Census Bureau 2006). La CPS est réalisée selon un plan de sondage à deux degrés comprenant la sélection d'un échantillon de premier degré formé d'unités primaires d'échantillonnage (UPE), qui sont habituellement des comtés ou des groupes de comtés, puis le tirage de l'échantillon de deuxième degré de ménages à partir de l'échantillon d'UPE. Certaines UPE, généralement les régions métropolitaines, sont sélectionnées avec certitude, c.-à-d. que leur probabilité de sélection au premier degré est 1,0. Dans le cas des UPE sélectionnées avec certitude, l'échantillon $sys$ peut être traité comme le plan de sondage de premier degré dans l'estimation de la variance, c.-à-d. que la méthode SDR est appliquée pour produire les répliques. Dans le cas des UPE sélectionnées sans certitude, la méthode des répliques équilibrées répétées (BRR pour Balanced Repeated Replication) [McCarthy 1966] est appliquée pour produire les répliques. Environ 75 % de l'échantillon ou 54 000 unités sont comprises dans les UPE autoreprésentatives, auxquelles est appliquée la méthode SDR.

L'application de la méthode SDR à la CPS comprend l'utilisation d'une matrice de Hadamard d'ordre $k=$ 160 dont sont exclues deux lignes, c.-à-d. que $m=$ 158. Les poids de rééchantillonnage sont produits pour 160 répliques. Même s'il peut sembler qu'il s'agit d'une conclusion logique du présent article, nous ne suggérons pas que l'on utilise pour la CPS une matrice de Hadamard d'ordre $k=$ 54 000 ni que l'on produise 54 000 jeux de poids de rééchantillonnage.Cela donnerait en effet un nombre irraisonnable de répliques. Nous sommes plutôt d'avis que le sous-ensemble de 160 répliques utilisé pour la CPS est grand et fournit par conséquent une approximation raisonnable de l'estimateur SD2.Plus loin, dans les exemples empiriques, nous examinons l'effet de l'utilisation d'un jeu réduit de répliques.

2.2  Attribution de lignes quand $n>k$

Jusqu'ici, nous avons supposé qu'un schéma AL était donné et nous n'avons pas discuté de la façon de générer ce schéma pour un échantillon particulier, où $n>k.$ À la présente section, nous examinons deux schémas AL et formulons certains commentaires au sujet de l'attribution de lignes en général. Le premier schéma AL est similaire à celui décrit par Sukasih et Jang (2003) et est destiné à être utilisé quand $k<n$ et avec le théorème 2.

AL1 : Ce schéma AL attribue une paire de lignes $a_i$ et $b_i$ à chaque tranche de $m_d$ unités de l'échantillon, que nous appelons cycle $d,$ où $m_d\le k.$ Après $m_d-1$ cycles, le schéma AL est répété jusqu'à ce qu'une paire de lignes ait été attribuée à chacune des unités de l'échantillon.

Étape 1 : Trier l'échantillon dans l'ordre dans lequel il était trié avant la sélection de l'échantillon.

Étape 2 : Initialiser le numéro du cycle par $d=1$ et le nombre de boucles connectées par $c=1.$

Étape 3 : Commencer l'AL au début d'un cycle ou d'une boucle connectée en prenant $a_1=c.$

Étape 4 : Répéter le schéma AL suivant : $b_i=\mathrm{mod}\left(a_i+d,k\right)$ et $a_i=b_i$ jusqu'à ce que chacune des $m_d$ lignes du cycle ait été utilisée ou que l'AL devienne une boucle connectée. Ici, la fonction modulo ou $\mathrm{mod}\left(a,b\right)$ est définie comme étant le reste de la division de $a$ par $b.$ Si les $m_d$ lignes du cycle ont toutes été utilisées, commencer un nouveau cycle : poser que $d=d+1$ et retourner à l'étape 3.Sinon (fin d'une boucle connectée, mais non la fin d'un cycle), commencer une nouvelle boucle connectée : poser que $c=c+1$ et retourner à l'étape 3.

Étape 5 : À la fin de $d=m_d-1$ cycles, recommencer au premier cycle  $–$ retourner à l'étape 2.

Le schéma AL1 possède les caractéristiques suivantes :

• - Chacun des cycles $d=1,2,\dots ,m_d-1$ de l'AL attribue $m_d$ paires de lignes. Cela crée un total de $m_d\left(m_d-1\right)$ paires de lignes.
• - Le schéma d'AL se répète après $m_d-1$ cycles. F et T suggèrent de redémarrer l'AL après 10 cycles. Nous recommandons d'utiliser chacun des $m_d-1$ cycles avant de redémarrer l'AL.
• - Les valeurs de $a_i$ et $b_i$ sont toujours espacées de $c$ unités.
• - Au milieu de la séquence, le schéma se répète en ordre inverse. Si $m$ est un nombre pair, les cycles avant et après le $\left(m_d+1\right)/2^{\text{e}}$ cycle se répètent en ordre inverse.

Le schéma AL1 diffère de du schéma AL de Sukasih et Jang (2003), en ce sens que nous ne suggérons pas de sauter la ligne 1 ni de répéter le schéma AL après 10 cycles et nous n'exigeons pas que $k-1$ soit un nombre premier.Premièrement, une ligne dont tous les éléments valent 1 peut paraître étrange, mais cela ne pose pas de problème.Comme dans le cas d'une colonne dont tous les éléments valent 1 dans $M$ , ce qui donne une réplique morte, une ligne ne contenant que des 1 n'aura d'effet que sur la distribution des facteurs de rééchantillonnage. Une unité $i$ à laquelle a été attribuée la ligne 1 (soit $a_i=1$ ou $b_i=1$ ) possédera un plus grand nombre de facteurs de rééchantillonnage valant 1,0 qu'autrement.Cela n'est pas incorrect; il s'agit simplement de la façon dont les facteurs de rééchantillonnage sont distribués par $H_A.$ La deuxième différence est que nous suggérons de répéter l'attribution après $m$ cycles, c'est-à-dire au moment où le schéma se répète, plutôt qu'après un nombre fixé de 10 cycles.Enfin, nous n'exigeons pas que $k-1$ soit un nombre premier, mais notons que si $m_d=k-1$ et que $k-1$ est un nombre premier, il est garanti que chaque cycle ne possédera qu'une seule boucle connectée.

Nous fournissons un deuxième schéma AL plus facile à mettre en œuvre, appelé AL2, que nous comparons au schéma AL1 dans les exemples empiriques.

AL2 : Pas de mélange des attributions de lignes. Répéter la même AL simple toutes les $m_d$ unités, c.-à-d. $\left(1,2\right),\left(2,3\right),\dots ,\left(m_d,1\right).$

Précédent | Suivant