1. Introduction
Daniel Manrique-Vallier et Jerome P. Reiter
De nombreux organismes réalisent des enquêtes qui comprennent un grand nombre de variables exclusivement catégoriques. Inévitablement, ces enquêtes souffrent de non‑réponse partielle qui, non prise en compte, peut réduire la précision ou augmenter le biais (Little et Rubin 2002). L’une des approches pour traiter la non‑réponse partielle est l’imputation multiple (Rubin 1987), suivant laquelle l’organisme procède à un échantillonnage répété à partir de lois de probabilité prédictives pour remplacer les réponses manquantes. Cela crée ensembles de données complets qui peuvent être analysés ou diffusés aux membres du public. Si les modèles d’imputation satisfont certaines conditions (Rubin 1987, chapitre 4), les analystes des ensembles de données complets peuvent faire des inférences valides en utilisant des méthodes et des logiciels statistiques pour données complètes. Pour une revue de l’imputation multiple, voir Rubin (1996), Barnard et Meng (1999), Reiter et Raghunathan (2007), et Harel et Zhou (2007).
L’imputation multiple peut généralement être mise en œuvre selon deux stratégies. La première consiste à postuler un modèle conjoint pour toutes les variables et à estimer ce modèle en utilisant des techniques bayésiennes, qui incluent habituellement une augmentation des données et un échantillonnage Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC). Les modèles conjoints habituels comprennent les modèles normaux multivariés pour les données continues et les modèles log-linéaires pour les données catégoriques (Schafer 1997). La deuxième stratégie consiste à adopter des approches basées sur des équations chaînées (Van Buuren et Oudshoorn 1999; Raghunathan, Lepkowski, van Hoewyk et Solenberger 2001; White, Royston et Wood 2011). L’analyste estime une série de modèles conditionnels univariés et impute les valeurs manquantes séquentiellement en se servant de ces modèles. Les modèles conditionnels types comprennent les régressions normales pour variables dépendantes continues et les régressions logistiques ou multinomiales logistiques pour les variables dépendantes catégoriques.
Comme l’ont mentionné Vermunt, Ginkel, der Ark et Sijtsma (2008) ainsi que Si et Reiter (2013), les stratégies axées sur des équations chaînées conviennent mal pour les ensembles de données catégoriques présentant des dépendances complexes. Pour toute régression logistique (multinomiale) conditionnelle, le nombre de modèles possibles est énorme si l’on tient compte des effets d’interaction potentiels. Spécifier minutieusement chaque modèle conditionnel demande beaucoup de temps sans que l’on soit certain d’obtenir un ensemble de modèles cohérents sur le plan théorique. En effet, de nombreux praticiens des équations chaînées utilisent pour cette raison des paramètres par défaut qui n’incluent que les effets principaux dans les modèles conditionnels. En excluant les interactions, les analystes risquent de produire des ensembles de données complets qui fournissent des estimations biaisées. Il convient de souligner que les mêmes difficultés de sélection des modèles frappent les approches fondées sur des modèles log‑linéaires.
Pour éviter ces problèmes, Si et Reiter (2013) proposent une approche conjointe, entièrement bayésienne, de modélisation de l’imputation multiple basée sur des modèles à classes latentes pour les données catégoriques de haute dimensionnalité. L’idée est de modéliser le tableau de contingence implicite des variables catégoriques comme un mélange de lois multinomiales indépendantes, en estimant le mélange de lois non paramétriquement au moyen de lois a priori issues du processus de Dirichlet. Les mélanges de lois multinomiales peuvent décrire des dépendances arbitrairement complexes et les calculs sont commodes et rapides, de sorte qu’ils constituent des outils d’imputation multiple d’usage général efficace. Par exemple, Si et Reiter (2013) ont appliqué leurs modèles pour imputer les valeurs manquantes pour 80 variables catégoriques de la Trends in International Mathematics and Science Study.
Dans leur approche, Si et Reiter (2013) ne traitent pas la complication importante et répandue dans les données d’enquête due au fait que certaines combinaisons de variables pourraient être impossibles a priori. On donne à ces cas le nom de zéros structurels (Bishop, Fienberg et Holland 1975). Par exemple, aux États‑Unis, il est impossible que des enfants de moins de 15 ans se marient. Des zéros structurels peuvent aussi résulter des enchaînements de questions dans les enquêtes. Les algorithmes d’imputation de Si et Reiter (2013), s’ils sont appliqués directement, permettent d’obtenir une probabilité non nulle pour les zéros structurels, ce qui à son tour biaise les estimations des probabilités pour les combinaisons possibles.
Dans le présent article, nous présentons le problème de modélisation conjointe entièrement bayésienne pour l’imputation multiple de grands ensembles de données catégoriques contenant des zéros structurels. Notre approche combine le modèle d’imputation à classes latentes de Si et Reiter (2013) et la méthode de traitement des zéros structurels élaborée par Manrique-Vallier et Reiter (à paraître en 2014). Au moyen de simulations, nous montrons que l’approche produit des ensembles de données multi‑imputés qui ne violent pas les contraintes des zéros structurels et peuvent avoir des propriétés d’échantillonnage répété bien calé.
- Date de modification :