3 Analyse empirique

Stephen J. Kaputa et Katherine Jenny Thompson

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3.1  Plan de sondage de la SOC

Comme il est mentionné dans l'introduction, notre étude a été motivée par une demande des utilisateurs des données de l'enquête Survey of Construction (SOC). La SOC est une enquête nationale conçue pour recueillir des renseignements sur les caractéristiques des logements résidentiels neufs aux États-Unis. Les données de la SOC sont utilisées pour produire trois indicateurs économiques importants publiés chaque mois par le U.S. Census Bureau, à savoir les mises en chantier, les logements achevés et les ventes de logements (logements unifamiliaux seulement). En outre, le programme de la SOC publie des estimations mensuelles, trimestrielles et annuelles pour diverses caractéristiques des logements, telles que le prix de vente, le prix de vente moyen par pied carré de logements vendus, le délai entre l'obtention du permis de bâtir et la mise en chantier, et le délai entre la mise en chantier et l'achèvement de la construction du logement. Dans le présent article, nous examinons deux caractéristiques importantes des logements qui sont publiées annuellement, à savoir le prix de vente et le prix par pied carré de logements vendus. Pour les deux caractéristiques, les données sont recueillies mensuellement à mesure qu'elles deviennent disponibles auprès des constructeurs. À l'heure actuelle, les estimations moyennes et médianes des deux caractéristiques sont incluses dans les rapports annuels; les prix de vente moyens et médians des logements vendus sont également publiés mensuellement.

L'univers de la SOC comprend deux sous-populations : les régions où un permis de bâtir est exigé et les régions où il ne l'est pas. Les régions qui exigent un permis de bâtir sont couvertes par l'enquête Survey of the Use of Permits (SUP) et celles qui ne délivrent pas de permis de bâtir sont couvertes par l'enquête Nonpermit Survey (NP). La grande majorité de l'échantillon provient de la SUP. Les deux populations sont échantillonnées à partir des mêmes UPE, mais les échantillons sont indépendants aux degrés d'échantillonnage ultérieurs. Puisque la majorité de l'échantillon de la SOC est constitué de permis échantillonnés, nous nous concentrons entièrement sur le volet SUP de la SOC dans notre étude.

L'échantillon de la SUP est sélectionné en trois étapes. L'échantillon de premier degré est un sous-échantillon sélectionné avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT) des unités primaires d'échantillonnage (UPE) définies dans le plan de sondage de l'enquête Current Population Survey (CPS) de 2000 et dont le tirage a lieu tous les dix ans. Les UPE de la CPS sont des zones de territoire telles que les comtés ou les cantons. L'échantillon de deuxième degré de la SUP est un échantillon systématique stratifié de localités délivrant des permis et comprises dans les UPE, et il est également tiré tous les dix ans. L'échantillonnage de troisième degré est effectué mensuellement dans chacune des localités émettrices de permis échantillonnées. Chaque mois, les agents de terrain dressent les listes complètes des nouveaux permis de bâtir d'après les données des bureaux des permis dans les localités échantillonnées et sélectionnent un échantillon systématique de permis de bâtir. Des taux d'échantillonnage sont appliqués aux bureaux des permis de manière à obtenir un taux d'échantillonnage global d'un sur cinquante pour les immeubles comptant d'une à quatre unités. Les immeubles plus grands comptant cinq unités et plus sont inclus avec certitude (c'est-à-dire qu'ils sont autoreprésentatifs).

Le programme de la SOC utilise la méthode de rééchantillonnage MHS pour estimer les variances à l'aide d'une matrice de Hadamard de dimensions $200\times 200,$ en attribuant un total de 198 lignes aux groupes répétés. Puisque la SOC n'est pas réalisée selon un plan de sondage à deux UPE par strate, une approche de regroupement de strates est adoptée pour créer les répliques : voir Thompson (1998) pour des renseignements détaillés.

3.2  Analyse empirique des données de la SOC

Nos analyses empiriques portent sur des données de la SOC recueillies de 2006 à 2009. Dans le cas de la SOC, on utilise la méthode de groupement par classe dépendante des données décrite à la section 2.1 avec 41 classes pour produire les estimations de la médiane. Nous utilisons 51 classes pour la méthode C95, avec 95 % de l'échantillon réparti sur 50 classes de taille égale; la 51^e classe contient toutes les données supérieures au 95^e centile. Pour la méthode C75, nous utilisons 40 classes de taille égale pour toutes les valeurs inférieures au 75^e centile et 10 classes de taille égale pour toutes les valeurs comprises entre le 75^e centile et la valeur maximale de la distribution d'échantillon. Enfin, pour la méthode CN, nous utilisons un total de 45 classes.

Pour le prix de vente et le prix de vente par pied carré, toutes les estimations des déciles obtenues par les méthodes C75, C95 et DE étaient assez comparables du 10^e au 70^e décile; les déciles CN étaient généralement un peu plus élevés que leurs homologues pour les autres méthodes. Cependant, les estimations pour les 80^e et 90^e déciles par la méthode C75 étaient systématiquement plus élevées que celles obtenues par les trois autres méthodes. L'explication est simple : dans le cas de la méthode C75, les 80^e et 90^e déciles sont tous deux presque toujours situés dans la même classe. Les distributions des caractéristiques sont toutes deux relativement asymétriques. Par conséquent, la majorité des 25 % supérieurs de l'échantillon est contenue dans la classe la plus proche du 75^e centile.

Les courbes des estimations des déciles obtenues par chaque méthode étaient très cohérentes tant aux niveaux national que régional. Contrairement aux estimations des caractéristiques, les comparaisons des estimations de variance révèlent moins de tendances claires. Les estimations de variance pour le 80^e décile obtenues par la méthode C75 étaient considérablement plus grandes que celles obtenues par les trois autres méthodes et celles pour le 90^e décile étaient, de même, considérablement plus petites. En ce qui concerne les trois autres méthodes, les variances pour la méthode CN avaient tendance à être plus faibles que les variances correspondantes obtenues par les méthodes C95 et DE; ces différences étaient plus prononcées pour les estimations des déciles du prix de vente par pied carré.

Trois des quatre méthodes considérées ont donné des ensembles comparables d'estimations des déciles. La méthode C75 s'est avérée impossible à appliquer en raison la forte asymétrie des distributions considérées; nous n'avons tout simplement pas pu trouver une « largeur de classe » adéquate pour le quartile supérieur des données. Donc, à la suite de l'évaluation empirique des données, notre jeu de méthodes d'estimation proposées a été réduit à trois. Cependant, même si ces trois méthodes donnaient des estimations fort semblables, les estimations de variance étaient clairement différentes. Par conséquent, nous avons décidé de réaliser une étude en simulation pour évaluer les propriétés statistiques des divers estimateurs sur des échantillons répétés.

3.3  Étude en simulation

3.3.1  Modélisation et procédure de sélection de l'échantillon

Pour notre simulation, nous avons élaboré une population qui imite les qualités de la majorité de la population de la SUP. Autrement dit, nous avons créé des populations stratifiées de bureaux des permis (UPE), à partir desquelles nous avons sélectionné des échantillons de permis (USE). La création de conditions de simulation aussi complexes offrait plusieurs avantages. D'un point de vue purement pratique, ces conditions étaient avantageuses pour l'interprétation des résultats empiriques présentés à la section 3.2. Fait plus important, les travaux de recherche antérieurs menés par Thompson et Sigman (2000) avaient donné des résultats presque parfaits pour les médianes interpolées dépendantes des données sur une population simulée qui ne comprenait pas de mise en grappes; la distinction entre les propriétés statistiques de chaque méthode n'est devenue évidente qu'après avoir intégré la mise en grappes dans le plan de sondage.

Nous avons utilisé une approche « ascendante » pour créer des données de population simulées valables. Premièrement, nous avons modélisé des populations multivariées de données sur les permis dans chaque région. Ensuite, nous avons combiné les données sur les permis modélisées pour former des « grappes » représentant les bureaux des permis (les unités primaires d'échantillonnage). En guise de protection contre les erreurs de spécification du modèle, nous avons créé indépendamment deux populations artificielles de données sur les permis pour lesquelles chaque enregistrement de permis contenait le prix de vente et le prix par pied carré, puis nous avons modélisé une population à distribution log-normale dans chaque région en utilisant l'algorithme décrit dans Lienhard (2004) et l'autre en utilisant un algorithme SIMDATA non paramétrique (Thompson 2000) dans chaque région.

En général, les données sur les permis modélisées dans la population non paramétrique donnent une meilleure représentation des niveaux correspondants à chaque décile du jeu de données d'apprentissage. En revanche, les distributions des permis dans la population log-normale sont assez lisses, tandis que les distributions dans la population non paramétrique sont « irrégulières » et présentent des discontinuités (escalier) importantes entre les estimations ponctuelles adjacentes. Le tableau 3.1 donne les principaux centiles et les moyennes des populations simulées pour les deux caractéristiques modélisées, en les comparant aux valeurs empiriques provenant des données de la SOC (figurant dans la colonne intitulée « Données d'apprentissage »).

Notre méthode de simulation comprenait la création de populations de permis (les USE), puis la création de grappes de premier degré artificielles (bureaux des permis) et enfin leur stratification. La création de grappes en deux étapes et le processus de stratification décrits plus bas reposent sur l'hypothèse que les permis dans une strate de population sont hétérogènes en ce qui concerne le prix de vente et le prix par pied carré, et que les permis émis par un même bureau des permis ont des caractéristiques de logement similaires. Ces critères ont été fournis par les spécialistes du domaine, qui pensent que la modélisation des variations entre bureaux des permis est plus réaliste que la modélisation des variations à l'intérieur de ces bureaux. La population log-normale multivariée se prête mieux à cet exercice que la population non paramétrique; les éléments assignés dans chaque grappe ont tendance à être homogènes en raison de la distribution plus lisse.

Tableau 3.1
Statistiques des populations simulées et statistiques des données empiriques
Sommaire du tableau
Le tableau montre Statistiques des populations simulées et statistiques des données empiriques. Les données sont présentées selon prix de vente et Prix de vente par pied carré(titres de rangée) et population simulée et Données d'apprentissage (figurant comme en-tête de colonne).

			Population simulée		Données d'apprentissage (pondérées)
			Log-normale	Non paramétrique
Prix de vente	Décile	1	74 747,74	94 323,27	95 000,00
		5	105 009,64	120 073,33	120 000,00
		10	126 492,43	136 009,85	140 000,00
		20	158 517,61	158 931,57	160 000,00
		30	186 927,58	181 941,12	180 000,00
		40	215 346,44	205 003,46	210 000,00
		50	245 502,91	230 188,69	230 000,00
		60	280 064,08	260 524.68	260 000,00
		70	322 790,68	301 374,90	300 000,00
		80	381 501,24	359 138,64	360 000,00
		90	482 209,62	488 517,45	490 000,00
		95	586 359,10	622 185.68	630 000,00
		99	855 983,47	1 167 704,85	1 300 000,00
	Moyenne		283 085,94	287 134,16	290 000,00
			Population simulée		Données d'apprentissage (pondérées)
			Log-normale	Non paramétrique
Prix de vente par pied carré	Décile	1	32,76	32,68	35,00
		5	43,11	47,27	47,00
		10	49,86	54,70	55,00
		20	59,26	63,74	64,00
		30	67,22	70,71	72,00
		40	74,91	77,14	78,00
		50	83,11	83,60	84,00
		60	92,42	90,60	91,00
		70	103,75	98,70	99,00
		80	119,61	109,57	110,00
		90	147,62	130,02	130,00
		95	178,94	155,08	160,00
		99	265,10	262,68	270,00
	Moyenne		93,58	94,90	96,00

Nous avons recouru à l'analyse discriminante pour grouper les permis simulés en strates disjointes. Après avoir appliqué la même fonction discriminante à chaque population de données sur les permis simulées (log-normale et non paramétrique), nous avons regroupé les permis dans les strates pour former environ 14 000 bureaux des permis actifs par population. L'application de classification automatique a créé des bureaux des permis de taille variable à l'intérieur desquels les caractéristiques étaient homogènes.

Nous avons sélectionné 5 000 échantillons répétés dans notre population simulée en utilisant une version très simplifiée du plan de sondage de la SOC décrit plus haut. Le premier degré d'échantillonnage correspond à la sélection des bureaux des permis. Les 250 bureaux les plus grands à l'échelle des États-Unis ont été sélectionnés avec une probabilité de un (certitude), de manière que chaque échantillon répété contienne les mêmes bureaux autoreprésentatifs. Donc, nous avons sélectionné avec probabilité proportionnelle à la taille un échantillon de deux bureaux des permis non autoreprésentatifs dans chaque strate, en attribuant à chaque bureau son propre poids de bureau des permis.

Au deuxième degré d'échantillonnage, nous avons sélectionné des enregistrements de permis dans chacun des bureaux des permis échantillonnés. Nous avons sélectionné un échantillon aléatoire simple (EAS) de permis dans chaque bureau, avec un taux d'échantillonnage de bureau obtenu en divisant le poids du bureau des permis par 50, afin d'obtenir un échantillon global de permis de 1 sur 50 (si le poids du bureau de permis est supérieur à 50, tous les permis émis par ce bureau sont échantillonnés). Pour calculer le poids final de chaque enregistrement, nous avons multiplié le poids du bureau des permis par le poids du permis. Les permis sélectionnés dans les bureaux échantillonnés avec certitude varient dans chaque échantillon répété en raison de l'échantillonnage indépendant, à moins que le bureau contienne plus de 50 permis.

Enfin, dans chaque échantillon, nous avons assigné des permis ou des bureaux des permis aux répliques. Nous n'avons pas imité l'application à demi-échantillon partiellement équilibré de la SOC décrite à la section 3.1. Le regroupement des strates induit un biais dans les estimations de variance. Pour éliminer cette composante du biais de notre simulation, nous avons utilisé un plan à deux UPE par strate et 572 répliques (c'est-à-dire une matrice de Hadamard de dimensions $572\times 572),$ de sorte que chacun des 250 bureaux autoreprésentatifs et chacune des 321 strates non autoreprésentatives (paires de bureaux des permis échantillonnés) reçoive sa propre ligne dans la matrice de Hadamard. En imitant la méthode de production de la SOC, chaque bureau autoreprésentatif a été traité comme une « pseudo-strate », et les panels de répliques ont été obtenus en répartissant aléatoirement les permis dans chaque bureau.

Dans chaque échantillon, nous avons calculé un jeu d'estimations aux échelles nationale et régionale pour les trois méthodes d'estimation des déciles prises en considération dans chaque réplique et nous avons calculé les estimations de la variance par la méthode MHS pour chaque décile en utilisant (2.2) avec $R=572.$

3.3.2  Méthodologie d'évaluation

L'étude en simulation a pour but d'examiner les propriétés statistiques de chaque méthode d'estimation des déciles et les estimations de variance connexes sur des échantillons répétés. Soit ${\zeta }_m^d$ l'estimation du décile $d$ calculée par la méthode $m(m=\text{DE},\text{C}95,\text{CN}).$

Pour évaluer les propriétés d'estimation de la méthode $m$ pour le décile $d$ sur des échantillons répétés, nous avons calculé le biais relatif et l'erreur quadratique moyenne empirique. Le biais relatif de chaque estimation de décile pour chaque méthode d'estimation est donné par

$$\widehat{B}({\xi }_m^d)=100\times \left[{\overline{\xi }}_m^d/{\xi }_p^d\right]-1$$

où ${\xi }_{ms}^d$ est l'estimation du décile $d$ par la méthode $m$ dans l'échantillon $s,{\overline{\xi }}_m^d$ est la moyenne sur les 5 000 échantillons, et ${\xi }_p^d$ est le décile de population [les mesures d'évaluation pour les estimations et les estimations de la variance pour le domaine $i$ (Nord-Est, Midwest, Sud et Ouest dans l'étude en simulation présentée à la section 4) peuvent être obtenues sur demande auprès des auteurs, mais sont omises par souci de concision].

L'erreur quadratique moyenne (EQM) empirique de chaque estimation de décile pour chaque méthode d'estimation est donnée par

$$\begin{array}{c}\text{EQM}\left({\xi }_m^d\right)=\frac{1}{\text{5 000}}{\displaystyle \sum _{s=1}^{\text{5 000}}{\left({\xi }_{ms}^d-{\xi }_p^d\right)}^2}=\frac{1}{\text{5 000}}{\displaystyle \sum _{s=1}^{\text{5 000}}{\left({\xi }_{ms}^d-{\overline{\xi }}_m^d\right)}^2}+{\left({\overline{\xi }}_m^d-{\xi }_p^d\right)}^2\\ \text{EQM}\left({\xi }_m^d\right)=\widehat{\sigma }\left({\xi }_m^d\right)+{\widehat{B}}^2\left({\xi }_m^d\right).\end{array}$$

Pour évaluer les propriétés d'estimation de la variance de la méthode d'estimation pour le décile $d$ sur les échantillons répétés, nous avons calculé les statistiques suivantes :

Biais relatif de la variance $100\times \left[(\widehat{\overline{v}}({\xi }_m^d)/\text{EQM}({\xi }_m^d)\right]-1$ où $\widehat{\overline{v}}({\xi }_m^d)$ est l'estimation de variance moyenne du décile  $d$ par la méthode $m$ sur 5 000 échantillons, c'est-à-dire $\widehat{\overline{v}}({\xi }_m^d)=\widehat{v}({\xi }_{ms}^d)/5000.$ Dans notre étude de cas, les estimations de variance dans chaque échantillon $s,\widehat{v}({\xi }_{ms}^d),$ sont des estimations de variance par la méthode des demi-échantillons répétés modifiée décrite à la section 3.3.1.

Stabilité de l'estimation de la variance $\sqrt{{\displaystyle \sum _{s=1}^{\text{5 000}}{\left(\widehat{v}\left({\xi }_{ms}^d\right)-\text{EQM}\left({\xi }_m^d\right)\right)}^2}/\text{5 000}}/\text{EQM}\left({\xi }_m^d\right).$

Taux de couverture (TC)= la proportion de l'intervalle de confiance à 90 % pour une méthode donnée qui contient le décile de population réel ${\xi }_p^d.$

La stabilité de la variance est une mesure de la variance des estimations de la variance. Idéalement, tant le biais relatif que les mesures de stabilité devraient s'approcher de zéro. Les taux de couverture montrent l'effet combiné de l'estimation et de l'estimation de la variance sur l'inférence.

3.3.3  Résultats de l'étude en simulation

Les sections qui suivent résument les résultats de notre étude en simulation, présentés dans des graphiques illustratifs (les tableaux peuvent être obtenus sur demande auprès des auteurs).

3.3.3.1  Propriétés d'estimation de chaque méthode

La figure 3.1 représente les biais relatifs des estimations des déciles à l'échelle nationale selon la méthode d'estimation pour la population log-normale. Rappelons que des estimations sans biais auront un biais relatif nul indiqué par l'asymptote horizontale grise sur chaque figure. La comparaison visuelle des niveaux de biais doit se faire avec prudence, car les graphiques pour les deux caractéristiques étudiées pourraient ne pas être à la même échelle.

Description de la figure 3.1

Figure 3.1 Biais relatif des estimations du prix de vente et du prix de vente par pied carré pour la population log-normale (exprimé en pourcentage)

La méthode DE produit les estimations des déciles les moins biaisées tant pour le prix de vente que pour le prix par pied carré. Cela dit, les biais des estimations des déciles pour les deux caractéristiques obtenus en utilisant les méthodes C95 et CN sont triviaux. Les biais les plus importants s'observent au 10^e centile et au 90^e centile, c'est-à-dire près des queues de la distribution, où l'échantillon est en principe moins stable. Bien que les estimations des déciles par la méthode DE soient moins biaisées que celles obtenues par les méthodes C95 et CN, elles sont moins précises. En général, les déciles par la méthode C95 ont l'EQM la plus faible parmi les trois méthodes concurrentes, quoique dans de nombreux cas, l'écart entre les EQM des méthodes C95 et CN soit négligeable.

La figure 3.2 représente le biais relatif des estimations des déciles à l'échelle nationale selon la méthode d'estimation dans la population non paramétrique. Pour le prix par pied carré, les courbes de biais suivent les mêmes tendances que plus haut, de même que celles des EQM. Par contre, pour le prix de vente, les tendances du biais et de l'EQM sont différentes. Ici, les estimations par la méthode DE sont les moins biaisées, mais le biais le plus important a lieu à la médiane (0,005). Il en est de même pour les deux méthodes d'interpolation, les médianes C95 et CN ayant un biais relatif positif de sept dixièmes de pour-cent. Pour les 50^e et 60^e déciles, l'EQM de l'estimation C95 est un peu plus grande que celle des autres estimations correspondantes, ce qui reflète l'effet de cet estimateur.

Description de la figure 3.2

Figure 3.2 Biais relatif des estimations du prix de vente et du prix de vente par pied carré pour la population non paramétrique (exprimé en pourcentage)

Dans le cas de la population non paramétrique, certains biais sont suffisamment grands pour être préoccupants, surtout pour l'estimation de la médiane. Cela dit, la population log-normale semble imiter plus fidèlement les données réelles de la SOC, si bien que les résultats non paramétriques ne sont pas nécessairement un reflet de la « réalité » de la SOC. Ces résultats traduisent l'effet du terme de biais constant causé par l'interpolation dans les estimations des déciles.

Dans l'ensemble, les EQM suivent des tendances similaires pour les deux populations et les deux caractéristiques. Les EQM minimales s'observent autour des déciles centraux. Les déciles de la queue inférieure de la distribution ont des EQM légèrement plus grandes et les EQM des déciles de la queue supérieure augmentent rapidement.

3.3.3.2  Propriétés d'estimation de la variance (par rééchantillonnage MHS) pour chaque méthode

Comme le montre la figure 3.3, tous les biais relatifs de variance des estimations de variance MHS dans la population log-normale sont positifs quel que soit l'estimateur, et les estimations de variance DE sont celles dont le biais est le plus important. Les méthodes C95 et CN donnent des biais relatifs similaires pour toutes les caractéristiques, le biais étant plus faible qu'avec la méthode DE dans tous les cas. Dans l'ensemble, ce sont les estimations de variance C95 qui sont les moins biaisées. Notons que, pour le prix de vente, toutes les estimations de variance présentent un biais positif avec tous les estimateurs; pour économiser l'espace, l'axe des y commence à 5 %. Les mêmes mises en garde concernant les comparaisons visuelles que celles énoncées à la section 3.3.3.1 s'appliquent aux figures de la présente section.

Description de la figure 3.3

Figure 3.3 Biais relatif de la variance pour le prix de vente et le prix de vente par prix carré pour la population log-normale (exprimé en pourcentage)

Les estimations de la variance sous la méthode DE sont de loin les moins stables pour les deux caractéristiques. Ce résultat est prévisible, puisque les estimations de variance sous interpolation bénéficient du lissage. Des deux méthodes d'interpolation, la méthode C95 est celle qui donne les estimations de variance les plus stables pour tous les déciles, sauf pour quelques-uns situés dans la queue supérieure de la distribution. Les variances plus stables pour les déciles supérieurs sous la méthode CN découlent vraisemblablement de l'utilisation des propriétés d'une distribution normale pour obtenir des pourcentages égaux de l'échantillon dans chaque classe.

Aucune des trois méthodes étudiées n'a donné des taux de couverture de 90 % pour le prix de vente ni pour le prix par pied carré (figure 3.4). La plupart des taux de couverture sont légèrement anticonventionnels (sous l'asymptote horizontale de 90 %), aucune méthode d'estimation des déciles ne paraît offrir de meilleures propriétés de couverture que les autres.

Description de la figure 3.4

Figure 3.4 Taux de couverture pour le prix de vente et pour le prix par pied carré (population log-normale)

La figure 3.5 illustre les biais relatifs des variances MHS obtenues pour la population non paramétrique. Ces biais relatifs sont généralement beaucoup plus faibles dans le cas des méthodes d'interpolation C95 et CN que dans le cas de la méthode DE, et la méthode C95 a tendance à produire des estimations de variance moins biaisées pour les deux caractéristiques. Le biais relatif du prix de vente ne suit pas la même courbe pour la population non paramétrique que pour la population log-normale. Les biais relatifs sous la méthode DE sont toujours positifs et plus élevés que dans le cas des deux méthodes d'interpolation. Ces dernières produisent des résultats différents selon la population de prix de vente. Dans le cas de la population non paramétrique, de nombreux biais relatifs sont négatifs au lieu d'être tous positifs. Pour le prix de vente par pied carré, les biais relatifs présentent la même tendance que pour la population log-normale, de grands biais positifs étant observés pour la méthode DE et des biais positifs similaires plus faibles, pour les deux méthodes d'interpolation.

Description de la figure 3.5

Figure 3.5 Biais relatif de la variance du prix de vente et du prix de vente par pied carré (population non paramétrique)

La stabilité des estimations de variance non paramétrique concordait bien avec celle obtenue pour la population log-normale, à quelques différences près pour les estimations des déciles du prix de vente. Dans le cas du prix de vente, les estimations de la stabilité pour la méthode DE restent plus grandes que pour les deux méthodes d'interpolation, mais suivent une courbe plus irrégulière. Dans le cas de la méthode CN, on observe pour le 40^e décile une grande estimation de la stabilité qui ne suit pas la tendance prévue.

Pour le prix de vente par pied carré, les taux de couverture affichent la même tendance que dans le cas de la population log-normale (figure 3.6). Toutefois, pour le prix de vente, la courbe des taux est plus variable.

Description de la figure 3.6

Figure 3.6 Taux de couverture du prix de vente et du prix de vente par pied carré (population non paramétrique)

3.3.3.3  Simulations supplémentaires pour évaluer les effets de taille de classe

Dans l'ensemble, les propriétés statistiques des estimations C95 et des estimations de variance obtenues pour la population log-normale (pour les deux caractéristiques) et pour la population non paramétrique pour le prix de vente par pied carré sont assez prometteuses. Cependant, aucune des méthodes examinées ne possède des propriétés qui sont près d'être aussi solides pour le prix de vente dans la population non paramétrique. Cette constatation est préoccupante, malgré les mises en garde faites plus haut au sujet de la modélisation de la population non paramétrique.

Dans la population non paramétrique, les classes de prix de vente proches de la médiane contenaient un plus grand nombre d'observations que celles se trouvant dans la queue de la distribution [remarque : cela est le cas pour les méthodes C95 et CN]. Ces grandes classes peuvent lisser exagérément la distribution, donnant lieu à des estimations très stables. Le lissage excessif se manifeste dans la méthode d'estimation de la variance par rééchantillonnage sous forme d'une sous-estimation due au manque de variabilité entre les estimations répétées pour les déciles « du milieu ». Inversement, comme prévu, la méthode DE produit des estimations instables tout au long de la distribution et, par conséquent, surestime la variance (biais positif).

Le but de la transformation des données avant le groupement par classe est d'obtenir des distributions uniformes dans les classes. Pour le prix de vente, ni l'une ni l'autre transformation ne donne une distribution uniforme dans les classes, ce qui donne lieu à un biais d'interpolation non négligeable, qui à son tour affecte les estimations de l'EQM.

Afin de mieux comprendre comment la méthode d'estimation influe sur la méthode d'estimation de la variance, rappelons que nos estimations de la variance sont évaluées d'après l'erreur quadratique moyenne (EQM) obtenue sous la méthode d'estimation. La méthode DE donne des estimations essentiellement sans biais, mais au prix d'une variance importante et instable. Le recours à l'interpolation réduit la variance d'échantillonnage et améliore sa stabilité, mais peut accroître considérablement le terme du carré du biais de l'EQM.

En dernière analyse, la méthode C95 est celle qui donne les résultats les plus prometteurs pour la plupart des caractéristiques. Elle suscite néanmoins plusieurs préoccupations quant au biais de l'estimation médiane pour le prix de vente dans une population non paramétrique. Pour aborder ces préoccupations, nous avons exécuté des simulations supplémentaires sur les deux populations et les deux caractéristiques, en utilisant la méthode C95 avec 50 classes, 75 classes et 100 classes.

Dans la plupart des cas, l'utilisation de 75 classes avec la méthode C95 réduit généralement le biais de l'estimation et l'EQM sans nuire aux propriétés des estimations de variance. Il s'agit définitivement d'un exercice d'équilibre. À mesure que le nombre de classes augmente, les statistiques d'évaluation correspondantes commencent à ressembler à celles obtenues avec la méthode DE. Cela améliore les estimations interpolées dans les cas où les déciles calculés par la méthode DE ont de meilleures propriétés statistiques. Cependant, augmenter le nombre de classes a un effet nuisible sur les propriétés statistiques des estimations des déciles et des estimations de variance dans les cas où la méthode C95 avec 50 classes donnait des estimations ayant un biais plus faible et des estimations de variance plus stables.

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