Série analytique des prix
Mesure de la variation des prix des véhicules d’occasion dans l’Indice canadien des prix à la consommation

• L'introduction des prix des véhicules d'occasion dans l'Indice des prix à la consommation (IPC) fait partie de l'engagement de Statistique Canada à fournir les données les plus actuelles, les plus fiables et les plus précises qui reflètent l'expérience des Canadiens.
• Dans le cadre des efforts rigoureux et continus de Statistique Canada pour maintenir la qualité et la pertinence de l'IPC, le présent document technique explique le calendrier, les données et la méthodologie proposés pour inclure les prix des véhicules d'occasion dans l'indice des achats de véhicules automobiles de l'IPC.
• Statistique Canada a identifié une source de données fiable pour les prix  et les caractéristiques des véhicules d'occasion, et la prochaine mise à jour annuelle du panier en juin intégrera cette nouvelle source de données dans son calcul de l'IPC. L'IPC tenait auparavant compte des prix des véhicules d'occasion en incluant une pondération pour les véhicules d'occasion et en utilisant les prix des véhicules neufs comme approximation.
• Nous continuerons à surveiller les prix des véhicules d'occasion et à exploiter de nouvelles sources de données pour l'indice des achats de véhicules automobiles. Ainsi, l'IPC demeurera un moyen précis, robuste et pertinent de mesurer l'inflation.

Le logarithme du prix est modélisé en fonction du logarithme de l’âge du modèle^Note 6 et du logarithme de l’odomètre des véhicules avec des effets fixes de modèle et une variable nominale pour chacun des quatre derniers mois de la période. En termes formels :

$ln{p}_{i,}^{classe,w,\mathrm{...}}={\beta }_0^{classe,w,\mathrm{...}}+{\beta }_1^{classe,w,\mathrm{...}}\ln Odomètr{e}_i+{\beta }_2^{classe,w,\mathrm{...}}lnAg{e}_i+{\sum }_{m=1}^M{\gamma }_m^{classe,w,\mathrm{...}}{D}_i^{modèle}(\text{m})$ $+{\sum }_{t=1}^T{\delta }_t^{classe,w,\mathrm{...}}{D}_i^{période}(\text{t})+{\epsilon }_i$

où :

• l’observation $i$ est l’ensemble moyen de caractéristiques (prix, odomètre, âge de modèle) pour une catégorie-marque-modèle $m$ vendue dans le mois $t$
• ces observations sont déclarées nationalement, bien que les prix mentionnés soient assujettis aux taxes provinciales
• $D_i^{modèle}(\text{m})$ est égal à 1 si le modèle de l’observation $i$ est égal à $m$ et à zéro dans les autres cas
• $D_i^{période}(\text{t})$ est égal à 1 si le mois de vente de l’observation $i$ est égal à $t$ et à zéro dans les autres cas
• la fenêtre de régression $w$ est l’intervalle comprenant la période en cours et $T=4$ périodes antérieures; par exemple si janvier est la période en cours, l’intervalle serait de 5 mois de septembre $(t=0)$ à janvier $(t=4=T)$
• les modèles de véhicule font l’objet d’une pondération selon les dépenses estimatives qui y sont consacrées pendant la période; on élabore les poids séparément pour chaque strate de l’IPC

Nous donnons ci-après plus de détails sur le calcul des rapports de prix mensuels par le modèle de variable nominale de temps à caractère hédonique. Il est d’abord question de la pondération dans le modèle de régression et ensuite de la construction des rapports de prix à partir des coefficients estimatifs de régression.

Le modèle de régression est estimé à l’aide de la méthode des moindres carrés pondérés où le poids de l’observation $i$ au temps $t$ s’obtient de la manière suivante :

• nous prenons les dépenses de l’échantillon observé d’un modèle dans chaque période, ce qui donne $e_{i,t}^m=T{C}_{i,t}^m\cdot p_{i,t}^m$
  • $T{C}_{i,t}^m$ est le chiffre transactionnel d’échantillon de $i$ pendant $t$
  • $p_{i,t}^m$ est le prix de $i$ pendant $t$
• nous répartissons le total des dépenses observées d’un modèle également entre les périodes de la fenêtre^Note 10, d’où ${\overline{e}}_{i,w}^{m,cm}=\frac{{\sum }_{t=0}^T{e}_{i,t}^m}{n(m)}$
  • $n(m)$ est le nombre de mois d’observation d’un modèle de véhicule dans la fenêtre
  • un modèle $m$ existe seulement dans une catégorie-marque donnée $cm$
• nous prenons la part de l’observation $i$ dans les dépenses d’une catégorie-marque pendant $t$ (dans chaque période de la fenêtre, les dépenses d’une catégorie-marque se répartissent selon les dépenses échantillonnées en modèles de la fenêtre), d’où $s_{i,t,w}^{m,cm,\mathrm{...}}=\frac{{\overline{e}}_{i,w}^{m,cm}}{{\Sigma }_{i\in S_{t,cm}}{\overline{e}}_{i,w}^{m,cm}}$
  • $S_{t,cm}$ est l’ensemble d’échantillons de véhicules de classe-marque $cm$ correspondant à la période $t$
• les dépenses de l’observation $i$ pendant $t$ sont alors la portion des dépenses d’une catégorie-marque multipliées par les dépenses en prix mises à jour de la fenêtre précédente de la catégorie-marque, d’où $e_{i,t,w}^{m,cm,\mathrm{...}}=PP{V}_{T-1,occasion}^{cm,\mathrm{...}}\cdot s_{i,t,w}^{m,cm,\mathrm{...}}$
  • $PP{V}_{T-1,occasion}^{cm,\mathrm{...}}$ correspond aux dépenses mises à jour de la période précédente pour la catégorie-marque $cm$ de véhicules d’occasion
• le poids utilisé dans le modèle de régression est alors les dépenses de la catégorie-marque en proportion de celles de la période et en division par le nombre de périodes de la fenêtre, d’où $pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}=\frac{e_{i,t,w}^{m,cm,\mathrm{...}}}{(T+1)\cdot {\Sigma }_{i\in S_{t,classe}}{e}_{i,t,w}^{m,cm,\mathrm{...}}}$

Bref, les poids du modèle de régression sont construits de sorte que :

• Pour chaque période observée dans la fenêtre, un modèle de véhicule d’occasion présente une valeur constante et absolue de dépenses
• Dans chaque période, une catégorie-marque ait la même valeur absolue de dépenses que dans toute autre période de la fenêtre où une vente est relevée dans l’échantillon
• La part de la catégorie-marque soit variable par période, mais seulement proportionnellement, car il n’y a changement que si une catégorie-marque n’a aucune observation dans cette période de la fenêtre
• Chaque période ait une part égale de la pondération dans le modèle de régression, c’est-à-dire que $pd{s}_{w,t}^{classe,\mathrm{...}}\equiv {\displaystyle {\sum }_{i}pd{s}_{i,t,w}^{classe,\mathrm{...}}={\displaystyle {\sum }_{i}pd{s}_{i,T,w}^{classe,\mathrm{...}}}}$ pour tous les $t$

Il sera ensuite question de la construction des rapports des prix mensuels à partir du modèle de régression. Le traitement est semblable à celui de l’indice à variables nominales temps-produit dont parlent de Haan et Hendriks (2013) et de Haan et Krsinich (2018).

Pour l’observation $i$ , le prix imputé dans la période $t$ pour le modèle de régression serait :

${\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}}=E(p_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}})=e^{{\widehat{\delta }}_t^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_0^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_1^{classe,w,\mathrm{...}}\ln Odomètr{e}_i+{\widehat{\beta }}_2^{classe,w,\mathrm{...}}lnAg{e}_i+{\Sigma }_{m=1}^M{\widehat{\gamma }}_m^{classe,w,\mathrm{...}}{D}_i^{modèle}}$

La moyenne géométrique des prix imputés à partir des estimations des moindres carrés pondérés pour la période $t$ sera alors :

${\displaystyle \prod _i{\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}{\overline{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}}}}$ $=e^{{\widehat{\delta }}_t^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_0^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_1^{classe,w,\mathrm{...}}\frac{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,t,w}^{classe,\mathrm{...}}\cdot \ln Odomètr{e}_{i,t}}{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}+{\widehat{\beta }}_2^{classe,w,\mathrm{...}}\frac{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}\cdot lnAg{e}_{i,t}}{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}+{\Sigma }_{m=1}^M{\widehat{\gamma }}_m^{classe,w,\mathrm{...}}\frac{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}\cdot D_{i,t}^{modèle}}{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}}$

En d’autres termes,

${\displaystyle \prod _i{\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}{\overline{{\Sigma }_{i}pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}}}}=e^{{\widehat{\delta }}_t^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_0^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_1^{classe,w,\mathrm{...}}{\overline{\ln Odomètre}}_t+{\widehat{\beta }}_2^{classe,w,\mathrm{...}}{\overline{lnAge}}_t+{\Sigma }_{m=1}^M{\widehat{\gamma }}_m^{classe,w,\mathrm{...}}{\overline{D}}_t^{modèle}}$

où ${\overline{lnOdomètre}}_t$ est la moyenne d’échantillon de $lnOdomètre$ dans $t$ ; le traitement est le même pour les autres caractéristiques. Si nous prenons le rapport des moyennes géométriques entre $t$ et $T$ , nous obtenons :

$\frac{{\displaystyle \prod {}_i{\widehat{p}}_{i,T}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,T}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}}{{\displaystyle \prod {}_i{\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}}=e^{{\Delta }^t{\widehat{\delta }}_T^{classe,w,\mathrm{...}}+{\widehat{\beta }}_1^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^t{\overline{\ln Odomètre}}_T+{\widehat{\beta }}_2^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^t{\overline{lnAge}}_T+{\Sigma }_{m=1}^M{\widehat{\gamma }}_m^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^t{\overline{D}}_T^{modèle}}$

où ${\Delta }^t$ $x_T$ est l’opérateur de différence dans $x$ entre $t$ et $T$ .

En réarrangeant les termes, nous obtenons (à noter la permutation de valeurs en indice par variation des moyennes d’échantillon) :

$\frac{{\displaystyle \prod {}_i{\widehat{p}}_{i,T}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,T}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}}{{\displaystyle \prod {}_i{\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}}\cdot e^{{\widehat{\beta }}_1^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^T{\overline{lnOdomètre}}_t+{\widehat{\beta }}_2^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^T{\overline{lnAge}}_t+{\Sigma }_{m=1}^M{\widehat{\gamma }}_m^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^T{\overline{D}}_t^{modèle}}=e^{{\Delta }^t{\widehat{\delta }}_T^{classe,w,\mathrm{...}}}$

Comme le poids d’une observation est nul si elle est inexistante dans une période, ${\displaystyle \prod {}_i{\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}={\displaystyle \prod {}_{i\in S_t}{\widehat{p}}_{i\in S_{t\text{'}}t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i\in S_t,w,t}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}$ . Comme les variables nominales de temps font que la somme des résidus des moindres carrés ordinaires (MCO) est nulle dans chaque période de la fenêtre de régression, ${\displaystyle \prod {}_i{\widehat{p}}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}={\displaystyle \prod {}_i{p}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{...}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}$ . Ainsi, l’équation finale équivaut à $\frac{{\displaystyle \prod {}_i{p}_{i,T}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,t}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}}{{\displaystyle \prod {}_i{p}_{i,t}^{classe,w,\mathrm{...}\stackrel{pd{s}_{i,w,T}^{classe,\mathrm{....}}}{\overline{pd{s}_w^{classe,\mathrm{...}}}}}}}\cdot e^{{\widehat{\beta }}_1^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^T{\overline{lnOdomètre}}_t+{\widehat{\beta }}_2^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^T{\overline{lnAge}}_t+{\Sigma }_{m=1}^M{\widehat{\gamma }}_m^{classe,w,\mathrm{...}}{\Delta }^T{\overline{D}}_t^{modèle}}=e^{{\Delta }^t{\widehat{\delta }}_T^{classe,w,\mathrm{...}}}$ .

C’est là une interprétation du modèle à variable nominale de temps à caractère hédonique qui nous fait considérer la variation des coefficients de variable nominale de temps comme une certaine mesure de la variation des prix moyens après une correction de qualité en fonction des variations des moyennes d’échantillon des caractéristiques des véhicules^Note 11. Comme nous estimons la variation des prix entre $T-1$ et $T$ , le rapport des prix se définit comme $e^{\Delta {\widehat{\delta }}_T^{classe,w,\mathrm{...}}}$ .

Les rapports de prix de catégorie-marque nous viennent des coefficients de variable nominale de temps, ${\frac{p_t}{p_{t-1}}}^{classe,marque,\mathrm{...}}=e^{\Delta {\delta }_t^{classe,\mathrm{...}}}={\frac{p_t}{p_{t-1}}}^{classe,\mathrm{...}}$ , et ils servent à mettre à jour les dépenses de catégorie-marque, $PP{V}_{t,occasion}^{classe,marque,\mathrm{...}}={\frac{p_t}{p_{t-1}}}^{classe,\mathrm{...}}\cdot PP{V}_{t-1,occasion}^{classe,marque,\mathrm{...}}$ , où $PP{V}_{t,occasion}^{classe,marque,\mathrm{...}}$ correspond aux dépenses en véhicules d’occasion d’une catégorie-marque dans la période $t$ .

Les dépenses mises à jour des véhicules d’occasion dans l’ensemble sont la sommation sur les catégories-marques, d’où $PP{V}_{t,occasion}^{,\mathrm{...}}={\Sigma }_{classe}{\Sigma }_{marque}PP{V}_{t,occasion}^{classe,marque,\mathrm{...}}$ . Pour les catégories-marques, le mouvement d’ensemble des prix des véhicules d’occasion n’est alors que la somme des dépenses mises à jour de la période en cours sur la somme correspondante de la période précédente, soit ${\frac{p_t}{p_{t-1}}}^{occasion,\mathrm{...}}=\frac{PP{V}_{t,occasion}^{\mathrm{...}}}{PP{V}_{t-1,occasion}^{\mathrm{...}}}$ .